Teorema de Pappus

El teorema de Pappus es un teorema clásico en geometría proyectiva .

Redacción

Sean A , B , C tres puntos de una recta, A' , B' , C' tres puntos de otra recta. Sean tres rectas AB' , BC' , CA' cortadas a tres rectas A'B , B'C , C'A , respectivamente, en los puntos X , Y , Z . Entonces los puntos X , Y , Z se encuentran en la misma línea.

Notas

La formulación dual del teorema de Pappus es solo una reformulación del teorema mismo:

Deja que las rectas pasen por el punto A, pasen por el punto A'. se interseca y en los puntos B y C, se interseca en los puntos C' y Z, y se interseca en los puntos B' y X. Entonces las rectas BC', B'C y XZ se intersecan en un punto (punto Y en el dibujo) o son paralelas . $a_{1},a_{2},a_{3}$ $a_{1}',a_{2}',a_{3}'$ $un_{1}$ $un_{2}'$ $un_{3}'$ $un_{2}$ $un_{1}'$ $un_{3}'$ $un_{3}$ $un_{1}'$ $un_{2}'$

Historia

La formulación y demostración de este teorema se encuentran en la Colección Matemática de Pappus de Alejandría (principios del siglo IV d.C.). En tiempos modernos, el teorema fue publicado en 1566 por el editor y comentarista de las obras de Pappus, Federico Commandino .

Evidencia

Prueba borrando puntos hasta el infinito

Sea el punto el punto de intersección de las rectas sobre las que se encuentran los puntos , , y , . $O$ $A$ $B$ $C$ $A'$ $B'$ $C'$

Considere las intersecciones de las líneas:

$AB'\cap A'B=X$

$AC'\cap A'C=Y$

$CB'\cap C'B=Z$

Ahora aplicamos un mapeo proyectivo que lleva la línea al infinito. $XY$

Desde : , : . Ahora tenemos que probar eso . $X=\infty$ $AB'\parallel A'B$ $Y=\infty$ $AC'\parallel A'C$ $BC'\parallel B'C$

Considera triángulos semejantes.

$\bigtriangleup OAC'\sim \ \bigtriangleup OCA'\Rightarrow {\frac {OC}{OA'}}={\frac {OA}{OC'}}\Rightarrow OA\cdot OA'=OC\cdot JEFE'$

$\bigtriangleup OAB'\sim \ \bigtriangleup OBA'\Rightarrow {\frac {OB}{OA'}}={\frac {OA}{OB'}}\Rightarrow OA\cdot OA'=OB\cdot TRANSMISIÓN EXTERIOR'$

De aquí se sigue que (según el segundo criterio de semejanza de triángulos ) . ${\frac {OB}{OC}}={\frac {OB'}{OC'}}\Rightarrow \bigtriangleup OCB'\sim \bigtriangleup OBC'$ $\Rightarrow BC'\parallel B'C$

QED

Demostración mediante el teorema de Menelao

Aplicando a los triángulos y al teorema de Menelao , también puedes demostrar esta afirmación. ${\ estilo de visualización \ bigtriangleup AXB}$ $\bigtriangleup AYC$ ${\ estilo de visualización \ bigtriangleup BZC}$

Variaciones y generalizaciones

El teorema de Pappus es un caso degenerado en el teorema de Pascal : si uno reemplaza un hexágono inscrito en una cónica con uno inscrito en un par de líneas que se cruzan en el teorema de Pascal, entonces se vuelve equivalente al teorema de Pappus. El propio Pascal consideró que un par de líneas eran una sección cónica (es decir, consideró que el teorema de Pappus era un caso especial de su teorema).

La formulación dual es un caso degenerado del Teorema de Brianchon .

Véase también

Teorema del área de Pappus

Literatura

R. Courant, G. Robbins, ¿Qué son las matemáticas? Capítulo IV, § 5.3.