Curva

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Una curva o línea es un concepto geométrico que se define de manera diferente en diferentes secciones de las matemáticas .

Geometría elemental

En el marco de la geometría elemental, el concepto de curva no recibe una formulación distinta. Por ejemplo, en los "Elementos" de Euclides, se definía como "largo sin ancho", ya veces también se definía como "el borde de una figura".

En esencia, en geometría elemental, el estudio de las curvas se reduce a la consideración de ejemplos ( recta , segmento , línea quebrada , círculo , etc.). Careciendo de métodos generales, la geometría elemental profundizó bastante en el estudio de las propiedades de las curvas concretas ( secciones cónicas , algunas curvas algebraicas de orden superior y algunas curvas trascendentales ), aplicando técnicas especiales en cada caso.

Definición en topología

Visualización de segmento de línea

Más comúnmente, una curva se define como un mapeo continuo de un segmento de línea a un espacio topológico :

\gamma \colon [a,b]\to X

En este caso, las curvas pueden ser diferentes, incluso si sus imágenes son las mismas. Este tipo de curvas se denominan curvas parametrizadas o, en su caso , trayectorias . $[a,b]=[0,1]$

Relación de equivalencia

A veces se define una curva hasta una reparametrización , es decir, hasta una relación de equivalencia mínima tal que las curvas paramétricas

\gamma _{1}\colon [a_{1},b_{1}]\to X

{\ estilo de visualización \ gamma _ {2} \ dos puntos [a_ {2}, b_ {2}] \ a X}

son equivalentes si existe una función monótona continua (a veces no decreciente) del segmento al segmento , tal que $h$ $[a_{1},b_{1}]$ $[a_{2},b_{2}]$

\gamma_{1}\equiv \gamma_{2}\circ h.

Las clases de equivalencia definidas por esta relación se denominan curvas no parametrizadas o simplemente curvas .

Comentario

La definición anterior nos permite en gran medida transmitir nuestra idea intuitiva de una curva como algo “dibujado sin levantar el lápiz”, siempre que sea posible dibujar secciones infinitamente largas. Cabe señalar que muchas figuras que son difíciles de considerar como curvas también pueden "dibujarse sin levantar el lápiz".

Por ejemplo, es posible construir un mapeo tan continuo de un segmento en un plano que su imagen llene un cuadrado (ver la curva de Peano ). Además, según el teorema de Mazurkiewicz , todo espacio topológico compacto conexo y localmente conexo es una imagen continua de un segmento. Así, no sólo un cuadrado sino también un cubo de cualquier número de dimensiones e incluso un ladrillo de Hilbert son imágenes continuas de un segmento de línea.

Dado que una imagen (figura) puede obtenerse mediante diferentes mapeos de un segmento (curvas), en el caso general, una curva no puede definirse como una imagen continua de un segmento, a menos que se impongan restricciones adicionales en el mapeo.

Curva Jordan

Una curva de Jordan o una curva simple es la imagen de un mapeo inyectivo continuo ( incrustación ) de un círculo o segmento en el espacio. En el caso de un círculo, la curva se llama curva de Jordan cerrada , y en el caso de un segmento, se llama arco de Jordan .

El conocido teorema de Jordan establece que cualquier curva de Jordan cerrada en un plano lo divide en una parte "interior" y otra "exterior".

La curva de Jordan es un objeto bastante complejo. Por ejemplo, es posible construir una curva de Jordan plana con una medida de Lebesgue distinta de cero , lo que fue hecho por Osgood [1] por analogía con la curva de Peano .

Definición en análisis

En el análisis matemático , a menudo se utiliza la definición de una curva suave . Primero definamos una curva plana (es decir, una curva en ). Sean y sean funciones en el intervalo , que son continuamente diferenciables en este intervalo y tales que para no t es igual a cero. Luego, el mapeo define una curva que es suave; se dice que una curva no parametrizada es suave si admite tal parametrización. La longitud de una curva suave se puede calcular usando la fórmula $\matemáticas R^2$ $x(t)$ $y(t)$ $[a,b]$ $(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}$ $\gamma :[a,b]\to {\mathbb R}^{2},t\mapsto (x(t),y(t))$

{\text{L}}(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}} }\,dt.

Esta definición se puede generalizar a las asignaciones a otros espacios, así como a las asignaciones de otra clase de suavidad, consulte a continuación.

Definición en geometría diferencial

Si es una variedad suave , se puede definir una curva suave como un mapa suave cuyo diferencial no desaparece en ninguna parte. Si la clase de suavidad de la variedad es , entonces la curva se introduce como una curva para la cual es un mapeo continuamente diferenciable. Si es una variedad analítica (por ejemplo, el espacio euclidiano ) y es un mapa analítico , la curva se llama analítica. $X$ $X$ $\gamma \colon [a,b]\to X$ $X$ $k$ $C_{k}$ $\gama$ $k$ $X$ $\gama$

Las curvas suaves y se denominan equivalentes si existe un difeomorfismo (cambio de parámetro) tal que . Las clases de equivalencia con respecto a esta relación se denominan curvas suaves no parametrizadas. ${\ estilo de visualización \ gamma _ {1} \ dos puntos I \ a X}$ ${\ estilo de visualización \ gamma _ {2} \ dos puntos J \ a X}$ $p\dos puntos I\a J$ $\gamma_1=\gamma_2\circ p$

Curvas algebraicas

Las curvas algebraicas se estudian en geometría algebraica . Una curva algebraica plana es un conjunto de puntos con coordenadas x , y , un conjunto dado de soluciones a la ecuación f ( x , y ) = 0, donde f es un polinomio en dos variables con coeficientes en el campo F . En geometría algebraica, normalmente se tienen en cuenta no solo los puntos cuyas coordenadas pertenecen a F , sino también los puntos con coordenadas en el cierre algebraico de F . Si C es una curva algebraica plana tal que los coeficientes del polinomio que la define están en el campo F , se llama curva definida sobre F. Los puntos de una curva definida sobre F cuyas coordenadas pertenecen a G se denominan puntos racionales sobre G (o simplemente puntos G ). Ejemplo: la curva x 2 + y 2 + 1 = 0, definida sobre números reales , tiene puntos, pero ninguno de ellos es un punto real.

Las curvas algebraicas también se pueden definir en espacios de mayor dimensión ; se definen como el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones polinómicas .

Cualquier curva plana se puede completar a una curva en el plano proyectivo . Si una curva plana está definida por un polinomio f ( x , y ) de grado completo d , entonces el polinomio

z^{d}\cdot f(x/z,y/z)

después del paréntesis, la expansión se simplifica a un polinomio homogéneo f ( x , y , z ) de grado d . Los valores x , y , z tales que f ( x , y , z ) = 0 son coordenadas homogéneas de la terminación de la curva plana, mientras que los puntos de la curva original son los puntos para los que z no es igual a cero. Ejemplo: la curva de Fermat x n + y n = z n en forma afín se convierte en x n + y n = 1. El proceso de transición de una curva afín a una proyectiva se puede generalizar a dimensiones superiores.

Ejemplos comunes de curvas planas son las cónicas (curvas de segundo orden) y las curvas elípticas , que tienen importantes aplicaciones en criptografía . Como ejemplos de curvas algebraicas dadas por ecuaciones de mayor grado, se pueden indicar las siguientes:

Curvas de cuarto orden: lemniscata de Bernoulli y óvalo de Cassini .
Curvas de sexto orden: la astroide y la nefroide .
Curva definida por una ecuación de grado par arbitrario: (multifocal) lemniscata .

Curvas trascendentes

Las curvas trascendentales son curvas que no son algebraicas. Más precisamente, las curvas trascendentales son curvas que pueden definirse como la línea de nivel de una función analítica pero no algebraica (o, en el caso multidimensional, un sistema de funciones). Ejemplos de curvas trascendentales:

Tipos de curvas

Una curva cerrada es una curva cuyo comienzo coincide con el final.
Una curva plana es una curva cuyos puntos se encuentran todos en el mismo plano.
Una curva simple es lo mismo que una curva de Jordan.
Un camino es un mapeo continuo de un segmento en un espacio topológico . $[0,1]$

Tipos de puntos en una curva

Curvas generalizadas

Cantor dio una definición más general de una curva para el caso plano en la década de 1870:

Una curva de Cantor es un subconjunto conexo compacto del plano tal que su complemento es denso en todas partes .

La alfombra de Sierpinski proporciona un ejemplo importante de una curva de Cantor . Cualquiera que sea la curva de Cantor , se puede incrustar en una alfombra de Sierpinski, es decir, la alfombra de Sierpinski contiene un subconjunto que es homeomorfo a . Así, la alfombra de Sierpinski es una curva de Cantor plana universal. $L$ $L'$ $L$

Esta definición fue posteriormente generalizada por Uryson :

Una curva de Urysohn es un espacio topológico compacto conectado de dimensión topológica 1. $C$

La alfombra de Sierpinski satisface esta definición, por lo que cualquier curva de Cantor es también una curva de Urysohn. Por el contrario, si un conjunto compacto conexo plano es una curva de Urysohn, entonces es una curva de Cantor.

Véase también

Notas

↑ WF Osgood. Una curva de Jordan de área positiva (inglés) // Trans. Soy. Matemáticas. Soc.. - 1903. - Vol. 4 . — pág. 107–112 .

Literatura

Boltyansky V. G. , Efremovich V. A. Topología visual. — M .: Nauka, 1982. — 160 p.
Burago D. Yu., Burago Yu. D., Ivanov S. V. Un curso de geometría métrica. - Moscú, Izhevsk: Instituto de Investigación Informática, 2004. - 496 p. — (Matemáticas modernas). — ISBN 5-93972-300-4 .
Diccionario enciclopédico matemático . M. " Enciclopedia soviética " , 1988
Curvas // Diccionario enciclopédico de Brockhaus y Efron : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - San Petersburgo. , 1890-1907.

Enlaces

Cáusticos _
superficies , curvas
curvas planas especiales [1] (rus.)

Curvas

Definiciones

transformado

no plano

algebraica plana

Secciones cónicas

3er orden ( cúbico )

Elíptico	curva elíptica Funciones elípticas de Jacobi Integral elíptica Funciones elípticas
Otro	Verziera Agnesi hoja cartesiana Trisector de Maclaurin Chirnhaus Ofiurida estrofoides parábola semicúbica Tridente Cisoide de Diocles

4to orden

lemniscatas

Aproximación

Ranura
- B-spline
- Cúbico
- monospline
- Suavizado
- Perfecto
- hermita
Béziers

cicloidal

Otro

granja torcida

Plana
trascendental

Espirales	Arquímedov Granja galilea Hiperbólico "Varita mágica" Dorado clotoide logarítmico sinusoidal
cicloidal	trocoide Cicloide epitrocoide epicicloide hipotrocoide hipocicloide cuasitrocoide "Rosa" cuadrifolio Descenso rápido (braquistocrona, arco cicloide)
Otro	cuadratriz cocleoide Perseguir tractor trocoide línea de cadena arco invertido ancho constante sinusoide Ribokura Súper fórmula superelipse Triángulo de Reuleaux polígono figuras de lissajous

fractales

Simple	gilberto Gosper curva de dragón Koch Exacción Minkowski Peaño Sierpinsky
topológico	Servilleta Sierpinski alfombra sierpinski Esponja Menger fractal circular alfombra apolonio