Teorema de pascual

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El teorema de Pascal [1] es un teorema clásico de la geometría proyectiva .

Redacción

Si un hexágono está inscrito en un círculo (o cualquier otra sección cónica : elipse , parábola , hipérbola o incluso un par de líneas rectas ), entonces los puntos de intersección de tres pares de lados opuestos se encuentran en la misma línea recta. Esta línea se llama línea de Pascal [2] .

Historia

Formulado y demostrado por primera vez por Blaise Pascal a la edad de 16 años como una generalización del teorema de Pappus . Pascal tomó este teorema como base de su tratado sobre las secciones cónicas. El tratado propiamente dicho ha desaparecido y sólo se conoce un resumen del mismo a partir de una carta de Leibniz, que durante su estancia en París lo tuvo en sus manos, y un resumen de los principales teoremas de este tratado, recopilados por el propio Pascal (Experimento sobre las cónicas). secciones). El propio Pascal consideró que el par de líneas del teorema de Pappus eran una sección cónica y que el teorema de Pappus era un caso especial de su teorema.

Acerca de la evidencia

Una de las demostraciones utiliza la doble contabilidad .
Una posible prueba se basa en una aplicación consistente del teorema de Menelao .
Mediante una transformación proyectiva, se puede transformar la cónica descrita en un círculo, mientras se conserva la condición del teorema. Para un círculo, el teorema se puede demostrar a partir de la existencia de una conjugación isogonal .
- En el caso de un polígono convexo inscrito en una circunferencia, es posible realizar una transformación proyectiva que deja la circunferencia en su sitio, y la recta que pasa por los puntos de intersección de dos pares de lados opuestos puede llevarse al infinito. En este caso, la afirmación del teorema se vuelve obvia.
Una posible prueba también podría basarse en el teorema de los 9 puntos en un dado .

Aplicación

Permite construir una sección cónica por cinco puntos, como el lugar geométrico de los puntos correspondientes al sexto punto del hexágono en la configuración.

Variaciones y generalizaciones

El teorema de Pascal es dual al teorema de Brianchon .

Si las diagonales principales de un hexágono se cortan en un punto, entonces la línea correspondiente que surge del teorema de Pascal es la polar de este punto con respecto a la cónica en la que está inscrito el hexágono.
- En general, la línea del teorema de Pascal para un hexágono inscrito en una cónica es polar con respecto al punto del teorema de Brianchon para un hexágono formado por tangentes en los vértices del hexágono original. ${\mathcal {K}}$ ${\mathcal {K}}$ ${\mathcal {K}}$

El teorema también es cierto en el caso de que coincidan dos o incluso tres vértices vecinos (pero no más de dos en un punto). En este caso, la tangente a la recta en este punto se toma como una recta que pasa por dos vértices coincidentes. En particular:
- Una tangente a una línea de segundo orden trazada en uno de los vértices de un pentágono inscrito se corta con el lado opuesto a este vértice en un punto que se encuentra en una línea recta que pasa por los puntos de intersección de los pares restantes de lados no adyacentes de este pentágono.
- Si ABCD es un cuadrilátero inscrito en una recta de segundo orden, entonces los puntos de intersección de las tangentes en los vértices C y D, respectivamente, con los lados AD y BC, y el punto de intersección de las rectas AB y CD están en uno línea.
- Si ABCD es un cuadrilátero inscrito en una recta de segundo orden, entonces los puntos de intersección de las tangentes en los vértices C y D, las rectas AC y BD, y las rectas AD y BC se encuentran en la misma recta.
- Los puntos de intersección de las tangentes en los vértices de un triángulo inscrito en una línea de segundo orden con lados opuestos se encuentran en la misma línea recta.
  - Esta línea se llama la línea de Pascal del triángulo dado.

En 1847 , apareció una generalización del teorema de Pascal hecha por Möbius , que suena así:
- Si un polígono con lados está inscrito en una sección cónica y sus lados opuestos se prolongan de tal manera que se cortan en un punto, entonces si estos puntos están en una línea, el último punto estará en la misma línea. $4n+2$ $2n+1$ $2n$

Teorema de Kirkman : Sean los puntos , , , y en la misma sección cónica. Luego las rectas de hexágonos de Pascal , y se intersecan en un punto. $A$ $B$ $C$ $D$ $mi$ $F$ $ABFDCE$ $AEFBDC$ $ABDFEC$

Teorema sobre 9 puntos en un cubo

Ilustraciones adicionales

Notas

↑ También conocido por el nombre latino hexagrammum mysticum teorema
↑ Dmitri Efremov . Nueva geometría triangular Archivado el 25 de febrero de 2020 en Wayback Machine . - Odessa, 1902. - S. 7-8. Capítulo I, punto 11.

Literatura

El hexágono de Kotelnikov K. Pascal // V.O.F.E.M. . - 1888. - Nº 50 . - S. 34-35 .
Pascual . Un experimento sobre secciones cónicas con un apéndice de la carta de Leibniz a E. Perrier. Traducción y comentario de G. I. Ignatius. // Investigación histórica y matemática . Número XIV.
Freivert D. M. Un nuevo tema en geometría euclidiana en el plano: la teoría de los "puntos de Pascal" formados usando un círculo en los lados de un cuadrilátero . - 2019. - S. 37-42 .
chal _ Una revisión histórica del origen y desarrollo de los métodos geométricos . cap. 2, § 16-19. M, 1883.
R. Courant, G. Robbins, ¿Qué son las matemáticas? Capítulo IV, § 8.4.
Dibujos en vivo (en Java )
- Teorema de Pascal sobre Cortar el nudo
- teorema de pascual
Ponarin Ya. P. Geometría elemental. En 2 tomos - M. : MTSNMO , 2004. - S. 76-78. — ISBN 5-94057-170-0 .
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D. Fraivert. Propiedades de un círculo de puntos de Pascal en un cuadrilátero con diagonales perpendiculares // Forum Geometricorum. - 2017. - Vol. 17.- Pág. 509-526.