Operador unitario

Un operador unitario es un operador lineal acotado : → en un espacio de Hilbert que satisface la relación $tu$ $H$ $H$ $H$

U^{*}U=UU^{*}=Yo

donde es el operador adjunto hermitiano de k, y : → el operador identidad. Esta propiedad es equivalente a la siguiente: $U^{*}$ $tu$ $yo$ $H$ $H$

$tu$ conserva el producto interno〈 , 〉 del espacio de Hilbert, es decir, para todos los vectores y en el espacio de Hilbert $X$ $y$ $\langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle .$
$tu$ es un operador sobreyectivo .

Esto también es equivalente a la condición aparentemente más débil:

$tu$ conserva el producto escalar , y
la imagen es un conjunto denso . $tu$

Para ver esto, tenga en cuenta que es isométrico (y, por lo tanto, un operador lineal acotado). Esto se deduce del hecho de que el producto escalar se conserva. La imagen es un conjunto denso . Es obvio que = . $tu$ $tu$ $tu$ $U^{-1}$ $U^{*}$

Un elemento unitario es una generalización de la noción de operador unitario. En un *-álgebra unitaria , un elemento U del álgebra se llama elemento unitario si

U^{*}U=UU^{*}=Yo

donde I es el elemento de identidad. [una]

Propiedades de las transformaciones unitarias:

el operador de transformación unitario siempre es invertible
si el operador es hermitiano , entonces el operador es unitario. $\ que H$ ${\sombrero U}=\exp(i{\sombrero H})$

Ejemplos

El operador de identidad es un ejemplo trivial de un operador unitario.
Rotaciones en es el ejemplo no trivial más simple de un operador unitario. Las rotaciones no cambian la longitud de los vectores y el ángulo entre dos vectores. Este ejemplo también se puede generalizar a . ${\ matemáticas {R}}^{2}$ ${\ matemáticas {R}}^{3}$
En el espacio vectorial de los números complejos, la multiplicación por un número con módulo , es decir, un número de la forma , es un operador unitario. llamado fase. Se puede observar que el valor de , que es múltiplo de , no afecta el resultado, por lo que el conjunto de operadores unitarios independientes en es topológicamente equivalente a un círculo. $\mathbb{C}$ $una$ $e^{{i\theta}}$ $\theta \in {\mathbb {R}}$ $\ theta$ $\ theta$ $2\pi$ $\mathbb{C}$

Propiedades

El espectro del operador unitario U se encuentra en el círculo unitario. Esto se puede ver a partir del teorema espectral para el operador normal . Por este teorema, U es unitariamente equivalente a la multiplicación por una función medible de Borel sobre , para algún espacio con medida ( , ). De sigue . $F$ $L^{2}(\mu)$ $X$ $\mu$ $UU^{*}=Yo$ $|f(x)|^{2}=1$

Transformaciones unitarias en física

En mecánica cuántica , el estado de un sistema cuántico se describe mediante un vector en un espacio de Hilbert . La norma del vector de estado de un sistema cuántico aislado describe la probabilidad de encontrar el sistema en al menos algún estado, lo que significa que debe ser igual a uno. En consecuencia, la evolución de un sistema cuántico en el tiempo es un operador dependiente del tiempo y, debido al requisito de conservación de la norma, es unitaria. Los operadores de evolución no unitarios (o, lo que es lo mismo, hamiltonianos no hermitianos) para un sistema cuántico aislado están prohibidos en la mecánica cuántica.

Literatura

Operador unitario // Uzhi - Fidel. - M .: Enciclopedia soviética, 1956. - S. 242. - ( Gran enciclopedia soviética : [en 51 volúmenes] / editor -en jefe B. A. Vvedensky ; 1949-1958, v. 44).

Notas

↑ Doran, Robert S.; Víctor A. Belfi. Caracterizaciones de C*-Álgebras: los teoremas de Gelfand-Naimark (inglés) . Nueva York: Marcel Dekker , 1986. - ISBN 0824775694 .