Teorema de Rees-Fischer

El teorema de Ries-Fischer es una declaración de análisis funcional sobre la isometría y el isomorfismo del espacio de Lebesgue y el espacio de Hilbert . $L_{{2}}\izquierda(a,b\derecha)$ $yo_{{2}}$

Probado en 1907 de forma independiente por Frigyes Ries y Ernst Fischer ( Ernst Sigismund Fischer ) .

Prueba

Tomemos en el espacio algún sistema ortonormal completo . Entonces para cualquier tenemos , y en virtud de la igualdad de Parseval . Por lo tanto, la secuencia de coeficientes de Fourier de una función puede verse como un elemento de un espacio de Hilbert . En este caso, la correspondencia es clara. Sea, por el contrario, dado un elemento del espacio de Hilbert . Consideremos formalmente la serie , donde es el mismo sistema ortonormal completo. La secuencia de sumas parciales de esta serie converge en promedio en sí misma, porque por y debido a la convergencia de la serie . Como el espacio es completo, esto quiere decir que la serie converge, su sumatoria tiene coeficientes de Fourier , y ponemos esta suma en correspondencia con el elemento . Una vez más, la correspondencia es clara. Entonces, hemos establecido una correspondencia uno a uno entre los elementos del espacio y . Ya que, obviamente, y , se sigue de , es decir, la correspondencia establecida por nosotros es un isomorfismo. Finalmente, para dos elementos cualesquiera , tenemos, en virtud de la igualdad de Parseval , y la correspondencia establecida por nosotros conservará la distancia, es decir, son isométricos . $L_{{2}}\izquierda(a,b\derecha)$ $\izquierda\{\varphi _{{i}}(t)\derecha\}$ $x(t)\en L_{{2}}\izquierda(a,b\derecha)$ $x(t)=\sum_{{i=1}}^{{\infty}}\xi_{{i}}\varphi_{{i}}(t),\xi_{{i}} =\izquierda(x,\varphi _{{i}}\derecha)$ $\sum _{{i=1}}^{{\infty}}\xi _{{i}}^{{2}}=\left\|x\right\|^{{2}}<\infty$ $x(t)\en L_{{2}}\izquierda(a,b\derecha)$ $x\en l_{{2}}$ $yo_{{2}}$ $x=\izquierda\{\xi _{{1}},\xi _{{2}},...,\xi _{{n}},...\derecha\}$ $x(t)\flecha derecha x$ ${\bar {y}}=\izquierda\{\eta _{{1}},\eta _{{2}},...,\eta _{{n}},...\derecha\}$ $yo_{{2}}$ $L_{{2}}\izquierda(a,b\derecha)$ $\sum _{{i=1}}^{{\infty}}\eta _{{i}}\varphi _{{i}}(t)$ $\izquierda\{\varphi _{{i}}(t)\derecha\}$ $s_{{n}}(t)=\sum_{{i=1}}^{{n}}\eta_{{i}}\varphi_{{i}}(t)$ $\left\|s_{{n+p}}-s_{{n}}\right\|^{2}}=\left\|\sum _{{i=n+1}}^{{n +p}}\eta _{{i}}\varphi _{{i}}(t)\right\|^{2}}=\sum_{{i=n+1}}^{{n +p}}\eta _{{i}}^{2}}\rightarrow 0$ $n \rightarrow \infty$ $p>0$ $\sum_{{i=1}}^{{\infty}}\eta_{{i}}^{{2}}$ $L_{{2}}\izquierda(a,b\derecha)$ $\sum _{{i=1}}^{{\infty}}\eta _{{i}}\varphi _{{i}}(t)$ $\eta _{{i}}$ $y(t)\en L_{{2}}\izquierda(a,b\derecha)$ ${\bar {y}}$ ${\bar {y}}\flecha derecha y(t)$ $L_{{2}}\izquierda(a,b\derecha)$ $yo_{{2}}$ $x(t)+y(t)=\sum_{{i=1}}^({\infty}}\xi_{{i}}\varphi_{{i}}(t)+\sum_ {{i=1}}^{{\infty}}\eta_{{i}}\varphi_{{i}}(t)=\sum_{{i=1}}^{{\infty} }\izquierda(\xi _{{i}}+\eta _{{i}}\derecha)\varphi _{{i}}(t)$ $\lambda x(t)=\lambda \sum_{{i=1}}^({\infty}}\xi_{{i}}\varphi_{{i}}(t)=\sum_{ {i=1}}^{{\infty}}\lambda \xi _{{i}}\varphi _{{i}}(t)$ $x(t)\flecha izquierda-derecha x,y(t)\flecha izquierda-derecha y$ $x(t)+y(t)\leftrightarrow x+y,\lambda x(t)\leftrightarrow \lambda x$ $x(t),y(t)\en L_{{2}}\izquierda(a,b\derecha)$ $\left\|x(t)-y(t)\right\|^{{2}}=\left\|\sum _{{i=1}}^{{\infty }}\left(\xi _{{i}}-\eta_{{i}}\right)\varphi_{{i}}(t)\right\|^{2}}=\sum_{{i=1}} ^{{\infty}}\left(\xi _{{i}}-\eta _{{i}}\right)^{{2}}=\left\|xy\right\|^{{2 }}$ $L_{{2}}\izquierda(a,b\derecha)$ $yo_{{2}}$

Literatura

Sobolev VI Conferencias sobre capítulos adicionales de análisis matemático. - M.: Nauka, 1968 - Pág. 218.