Teorema de rotación de nudos de Fari-Milnor

El teorema de Fary-Milnor establece que la variación de rotación de cualquier nudo excede .

Historia

La pregunta fue formulada por Karol Borsuk y probada de forma independiente por tres matemáticos: Istvan Fary , Heinz Hopf en 1949 y John Milnor en 1950 . Heinz Hopf no publicó su demostración. Esta prueba se evidencia por el comentario agregado por Istvan Fari a las pruebas de su artículo. Dice que Hopf usó el trabajo de Erkika Panwitz sobre la existencia de una línea que corta el nudo en cuatro puntos.

Redacción

Sea un nodo en el espacio euclidiano tridimensional. Si la variación de rotación no excede , entonces el nudo es trivial .

En particular, si  es un nudo liso y su curvatura en el punto , entonces

implica que el nudo es trivial .

Acerca de la evidencia

La prueba de Milnor se basa en una variante de la fórmula de Crofton para variar el giro de una curva y el simple hecho de que la proyección de un nudo sobre cualquier línea tiene al menos 4 puntos de giro. La prueba de Farey es más complicada, también usa un análogo de la fórmula de Crofton para la variación de la rotación de una curva y el hecho no trivial de que la variación de la rotación de la proyección de un nudo en cualquier plano no es menor que .

La demostración de Alexander y Bishop es más elemental, no usa las fórmulas de Crofton y se basa en el uso repetido del hecho de que la variación de la rotación de una polilínea inscrita no excede la variación de la rotación de una curva.

Otra prueba se basa en la existencia de una secante cuádruple alternante. Es decir, para cualquier nodo, puedes encontrar una línea que lo corte en cuatro corrientes que aparecen en la línea en el mismo orden, y en la curva en el mismo orden . [1] Aparentemente, esta es la prueba encontrada, pero no publicada por Heinz Hopf.

También hay una prueba basada en el uso de superficies mínimas, se basa en el hecho de que si la rotación de la curva no excede , entonces se anida el disco con el límite en la curva que minimiza el área. [2]

Variaciones y generalizaciones

Véase también

Notas

  1. ↑ Denne, Elizabeth Jane (2004), Cuadrisecantes alternantes de nudos , Ph.D. tesis, Universidad de Illinois en Urbana-Champaign  .
  2. ↑ Ekholm T., White B., Wienholtz, D. Incrustación de superficies mínimas con curvatura límite total como máximo 4π   // Ann . Matemáticas.. - 2002. - P. 209–234 . Archivado desde el original el 15 de febrero de 2022.
  3. ↑ Alexander, Stephanie B.; Bishop, Richard L. El teorema de Fary-Milnor en las variedades de Hadamard   // Proc . amer Matemáticas. Soc.. - 1998. - Vol. 126 , núm. 11 _ — Pág. 3427–3436 .

Literatura