Teorema de Chall sobre la clasificación de los movimientos

El teorema de Chall clasifica todas las transformaciones isométricas (movimientos) del plano.

Nombrado en honor a Michel Chall . Algunas otras declaraciones en física también se llaman teorema de Shall .

Formulaciones

Plano

Cualquier movimiento del plano que preserve la orientación es una rotación (en particular, una simetría central , así como un mapeo de identidad ) o una traslación paralela .

Cualquier movimiento de cambio de orientación de un plano es una simetría axial o deslizante .

Espacio

Todo movimiento del espacio que conserva la orientación es un giro deslizante .

Cualquier movimiento del espacio que cambie de orientación es una composición de simetría especular y rotación deslizante.

Prueba

Ideas principales de la prueba:

Cualquier movimiento se define únicamente por tres puntos diferentes y sus imágenes.
Cualquier movimiento puede representarse como una composición de no más de tres simetrías axiales .
Enumeración de opciones: el movimiento se puede representar como una composición de una, dos o tres simetrías axiales.

Lema de tres clavos

Cualquier movimiento se define únicamente por tres puntos no mentirosos y sus imágenes. En otras palabras, para cualquier punto no lineal y sus imágenes, existe un movimiento único $A B C$ $A B C'$ $f:A\mapsto A',B\mapsto B',C\mapsto C'$

Prueba

Toma cualquier punto y su imagen . - movimiento, que significa ; de donde se sigue que se encuentra en una circunferencia con centro en y radio . $D\neq A,B,C$ $D'$ $F$ $AD=A'D'$ $D'$ $A'$ $ANUNCIO$

Un argumento similar para puntos y muestra que también se encuentra en un círculo con centro en y radio y en un círculo con centro en y radio . $B$ $C$ $D'$ $B'$ $BD$ $C'$ $CD$

Dado que tres círculos cuyos centros no se encuentran en una línea recta solo pueden intersecarse en un punto, existe una imagen única para cualquier punto . Esta afirmación es equivalente a la unicidad del movimiento. $D'$ $D$

Lema sobre tres simetrías

Cualquier movimiento puede representarse como una composición de no más de tres simetrías axiales . En otras palabras, cualquier movimiento es representable como o como o como . $F$ ${\ Displaystyle S_ {l}}$ $S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}$ $S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}\circ S_{l_{3}}$

Prueba

Tomemos un movimiento arbitrario y puntos con sus imágenes . Si probamos que para hay una composición de simetrías equivalente a , entonces por el lema de tres clavos en el caso general. $F$ $A B C$ $A B C'$ $A B C$ $gramo$ $F$ $f = gramo$

Nótese que , dado que y $S_{l_{i}}\circ \cdots \circ S_{l_{1}}\circ f=Id\Leftrightarrow f=S_{l_{1}}\circ \cdots \circ S_{l_{i }}$ $S_{l}^{-1}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}S_{l}$ $(f\circ g)^{-1}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}g^{-1}\circ f^{-1}$

Encontremos una representación en forma de composición de simetrías axiales: $F$

Considere una simetría tal que . Con tal simetría, un punto irá a algún punto nuevo o regresará a . De manera similar, el punto irá a algunos o regresará a . Si y volvió a y , entonces , donde es la transformación idéntica de . En ese caso ${\ Displaystyle S_ {l_ {1}}}$ $A\mapsto A'$ $B$ $B'_{1}$ $B'$ $C$ $C'_1$ $C'$ $B$ $C$ $B'$ $C'$ $S_{l_{1}}\circ f=Id$ ${\ ID de estilo de visualización}$ ${\ Displaystyle f = S_ {l_ {1}}}$
Ahora, si el punto es , entonces considere una simetría tal que . Tenga en cuenta que es la bisectriz perpendicular al segmento , por definición de simetría axial. ${\displaystyle B\mapsto B'_{1))$ ${\ Displaystyle S_ {l_ {2}}}$ $B'_{1}\mapsto B'$ $l_{2}$ $B'B'_{1}$

$F$ , son movimientos, y por lo tanto . Por tanto, se encuentra sobre la bisectriz perpendicular al segmento (por la propiedad de la bisectriz perpendicular), es decir, sobre la recta . De esto se deduce que al transformar - . Si , entonces de manera similar , es decir, cuándo irá a . De lo contrario , significa que volverá a pasar a algunos oa . Total, si o en ; o en , entonces . Esto significa que . ${\ Displaystyle S_ {l_ {1}}}$ $AB{\overset {\underset {\mathrm {f} }{}}{=}}A'B'~{\text{u}}~AB{\overset {\underset {\mathrm {S_{ l_{1}}} }{}}{=}}A'B'_{1}$ ${\ estilo de visualización A'}$ $B'B'_{1}$ $l_{2}$ ${\ Displaystyle S_ {l_ {2}}}$ $A'\mapsto A'$ $C'\mapsto C$ $CB=^{f}C'B'=^{S_{l_{1}}}CB'_{1}$ ${\ Displaystyle S_ {l_ {2}}}$ $C$ $C'$ ${\displaystyle C\mapsto C'_{1))$ $C'_1$ $C'_2$ $C'$ $C'_{1}\mapsto C'$ ${\ Displaystyle S_ {l_ {2}}}$ $C\mapsto C'$ ${\ Displaystyle S_ {l_ {1}}}$ $S_{l_{2}}\circ S_{l_{1}}\circ f=Id$ $f=S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}$

Si , considere una simetría tal que . ${\displaystyle C\mapsto C'_{1}\mapsto C'_{2))$ ${\ Displaystyle S_ {l_ {3}}}$ $C'_{2}\mapsto C'$

Obviamente, es la bisectriz perpendicular al segmento . , , son movimientos, y por lo tanto . Por tanto, pertenece a la bisectriz perpendicular al segmento , es decir, . Esto significa que se traduce a . Si , entonces de manera similar . De lo contrario, , por lo tanto , también se encuentra en .Esto significa que se traduce en . Por lo tanto, , que significa . ${\ estilo de visualización l_3}$ $C'C'_{2}$ $F$ ${\ Displaystyle S_ {l_ {1}}}$ ${\ Displaystyle S_ {l_ {2}}}$ $AC{\overset {\underset {\mathrm {f} }{}}{=}}A'C'{\overset {\underset {\mathrm {S_{l_{1}}} }{}} {=}}A'C'_{1}{\overset {\underset {\mathrm {S_{l_{2}}} }{}}{=}}A'C'_{2}$ $A'$ $C'C'_{2}$ ${\ estilo de visualización l_3}$ ${\ Displaystyle S_ {l_ {3}}}$ $A'$ $A'$ $B\mapsto B'$ $B'\en l_{3}$ $B\mapsto B'_{1}\mapsto B'$ $BC{\overset {\underset {\mathrm {f} }{}}{=}}B'C'{\overset {\underset {\mathrm {S_{l_{1}}} }{}} {=}}B'_{1}C'_{1}{\overset {\underset {\mathrm {S_{l_{2}}} }{}}{=}}B'C'_{2}$ $B'$ ${\ estilo de visualización l_3}$ ${\ Displaystyle S_ {l_ {3}}}$ $B'$ $B'$ $S_{l_{3}}\circ S_{l_{2}}\circ S_{l_{1}}\circ f=Id$ $f=S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}\circ S_{l_{3}}$

Lista de opciones

Ahora bien, cada movimiento dado puede representarse como una composición de no más de tres simetrías mediante el lema de tres simetrías . $F$

Clasificamos la igualdad resultante, clasificando así cualquier movimiento dado:

Si , entonces es simetría axial . ${\ Displaystyle f = S_ {l}}$ $F$
Si , entonces y luego es una traslación paralela , o y luego es una rotación . $f=S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}$ ${\displaystyle l_{1}\parallel l_{2))$ $F$ ${\displaystyle l_{1}\nparalelo l_{2))$ $F$
De lo contrario, y luego - simetría deslizante (según la propiedad de simetría deslizante). $f=S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}\circ S_{l_{3}}$ $F$

Aplicaciones

Teorema de los medios medios de Hjelmslev

Fuentes

Curso optativo de matemáticas. 7-9 / Comp. I. L. Nikolskaya. - M .: Educación , 1991. - S. 228-229. — 383 pág. — ISBN 5-09-001287-3 .
Teorema de Chall en problemas
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