Teorema de stolz

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El teorema de Stolz es una declaración de análisis matemático , que en algunos casos ayuda a encontrar el límite de una secuencia de números reales . El teorema lleva el nombre del matemático austriaco Otto Stolz , quien publicó su demostración en 1885 [1] . Por su naturaleza, el teorema de Stolz es un análogo discreto de la regla de L'Hôpital .

Redacción

Sean y dos sucesiones de números reales, además, positivos, ilimitados y estrictamente crecientes (al menos a partir de algún término). entonces si hay un limite $un$ $b_n$ $b_n$

\lim \limits _{{{n\to \infty}}{\frac {a_{n}-a_{{n-1}}}{b_{n}-b_{{n-1}}}}

entonces hay un límite

\lim \limits_{{n\to \infty}}{\frac {a_{n}}{b_{n}}}

y estos límites son iguales.

Prueba

A continuación se muestra una prueba según Fikhtengolts [2] , otra prueba se da en el libro de Arkhipov, Sadovnichy y Chubarikov [3] .

Supongamos primero que el límite es igual a un número finito , luego para cualquier dado existe un número tal que tendrá lugar para: $L$ $\varepsilon >0$ $N>0$ $n>N$

L-{\frac {\varepsilon }{2}}<{\frac {a_{n}-a_{{n-1}}}{b_{n}-b_{{n-1}}}}<L+ {\frac{\varepsilon}{2))

Entonces, para cualquiera, todas las fracciones son: $n>N$

{\frac {a_{{N+1}}-a_{N}}{b_{{N+1}}-b_{N}}},{\frac {a_{{N+2}}-a_{ {N+1}}}{b_{{N+2}}-b_{{N+1}}}},...,{\frac {a_{n}-a_{{n-1}}} {b_{n}-b_{{n-1}}}}

se encuentran entre estos límites. Dado que los denominadores de estas fracciones son positivos (debido a la secuencia estrictamente creciente ), entonces, por la propiedad de la mediante , una fracción también está contenida entre los mismos límites: $b_n$

{\frac{a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}

cuyo numerador es la suma de los numeradores de las fracciones escritas arriba, y el denominador es la suma de todos los denominadores. Entonces, en : $n>N$

\left|{\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}-L\right|<{\frac {\varepsilon}{2}}

Ahora considere la siguiente identidad (verificable directamente):

{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-L={\frac {a_{N}-Lb_{N}}{b_{n}}}+\left(1-{\frac { b_{N}}{b_{n}}}\derecha)\izquierda({\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}-L\derecha)

de donde tenemos

\left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-L\right|\leq \left|{\frac {a_{N}-Lb_{N}}{b_{n}}} \derecha|+\izquierda|{\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}-L\derecha|

El segundo término en se vuelve menor que , el primer término también se vuelve menor que , en , donde hay un número suficientemente grande, debido al hecho de que . Si tomamos , pues tendremos $n>N$ ${\frac{\varepsilon}{2))$ ${\frac{\varepsilon}{2))$ $n>M$ $METRO$ $b_{n}\to +\infty$ $M>N$ $n>M$

\left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-L\right|<\varepsilon

lo que prueba nuestra afirmación.

El caso de un límite infinito se puede reducir a uno finito. Sea, para mayor precisión:

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {a_{n}-a_{{n-1}}}{b_{n}-b_{{n-1}}}}=+ \infty

se sigue que para suficientemente grande : $norte$

a_{n}-a_{{n-1}}>b_{n}-b_{{n-1}}

\lim \limits _{{{n\to \infty}}a_{n}=+\infty

y la secuencia es estrictamente creciente (a partir de un cierto número). En este caso, la parte demostrada del teorema se puede aplicar a la relación inversa : $un$ ${b_{n} \sobre un_{n}}$

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=\lim \limits_{{n\to \infty }}{\frac {b_ {n}-b_{{n-1}}}{a_{n}-a_{{n-1}}}}=0

de donde se sigue que:

\lim \limits _{{n\to \infty}}{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=+\infty

Si el límite es , entonces debe considerar la secuencia . $-\infty$ $\{-un}\}$

Consecuencia

Una consecuencia del teorema de Stolz es la regularidad del método de suma de Cesaro . Esto significa que si la sucesión converge al número , entonces la sucesión de medias aritméticas converge al mismo número. $un$ $a$ ${\frac {a_{1}+\puntos +a_{n}}{n}}$

Notas

↑ Otto Stolz. Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: nach den Neueren Ansichten (alemán) . - Leipzig: Teubners, 1885. - S. 173-175.
↑ Fikhtengolts, 2003 .
↑ Arkhipov, Sadovnichy, Chubarikov, 1999 .

Literatura

Fikhtengol'ts G. M. Curso de cálculo diferencial e integral. - M. : Fizmatlit, 2003. - T. 1. - S. 78-79.
Arkhipov G.I. , Sadovnichiy V. A. , Chubarikov V. N. Conferencias sobre Análisis Matemático / Ed. V. A. Sadovnichy. - M. : Escuela Superior , 1999. - S. 43-44. - ISBN 5-06-003596-4 .