Espacio afín

Un espacio afín es un objeto matemático (espacio) que generaliza algunas propiedades de la geometría euclidiana . A diferencia de un espacio vectorial , un espacio afín opera no en uno, sino en dos tipos de objetos: "vectores" y "puntos".

Definición

El espacio afín asociado a un espacio vectorial sobre un campo es un conjunto con una acción transitiva libre de un grupo aditivo (si el campo no se especifica explícitamente, entonces se supone que es el campo de los números reales ). $V$ $\matemáticas {K}$ $A$ $V$ $\matemáticas {K}$

Comentario

Esta definición significa [1] que se define la operación de sumar elementos espaciales (llamados puntos de un espacio afín) con vectores de un espacio (que se denomina espacio de vectores libres para un espacio afín ), satisfaciendo los siguientes axiomas: $A$ $V$ $A$

${\ estilo de visualización (M + v) + w = M + (v + w) \ en A}$ para todos y todas ; $M\en A$ $v,w\en V$
$M+0=M$ para todos ; $M\en A$
para dos puntos cualesquiera , existe un único vector (denotado por o ) con la propiedad . $M,N\en A$ $v\en V$ $\overrightarrow {MN}$ $\overrightarrow {NM}$ $N=M+v$

Por lo tanto, el modo de acción en se denota por . $v\en V$ $M\en A$ $m+v$

Subespacio afín

Un subespacio afín de un espacio afín es un subconjunto que es un desplazamiento de algún subespacio lineal , es decir, en algún punto . El conjunto se define de forma única, mientras que se define sólo hasta un desplazamiento por un vector de . La dimensión se define como la dimensión del subespacio . $A$ $A'\subconjunto A$ $V'\subconjunto V$ $A'=x+V'$ $x \ en A$ $A'$ $V'$ $X$ $V'$ $A'$ $V'$

Si y , entonces si y sólo si y . $A_{1}=v_{1}+V'$ $A_{2}=v_{2}+V'$ ${\ estilo de visualización A_ {1} = A_ {2}}$ $v_{1}-v_{2}\en V'$

La intersección de subespacios afines es un subespacio afín o vacío. Si no está vacío, entonces su dimensión satisface la relación

\dim(A_{1}\cap A_{2})\geq \dim A_{1}+\dim A_{2}-\dim A

Un subespacio afín al que corresponde un subespacio de codimensión 1 se denomina hiperplano .

A menudo se consideran subespacios afines de un espacio lineal (provisto de una estructura afín estándar, la acción sobre sí mismo por adición). A veces se les llama variedades lineales [2] [3] .

Tal subespacio afín es un subespacio lineal si y solo si contiene 0.

Definiciones relacionadas

Es posible considerar [4] combinaciones lineales arbitrarias de puntos en un espacio afín. Sin embargo, el resultado tiene sentido en los siguientes dos casos:

la combinación es una combinación baricéntrica (es decir, la suma de sus coeficientes es 1), y entonces será un punto de ; $A$
combinación es una combinación balanceada (es decir, la suma de sus coeficientes es 0), y entonces será un vector de . $V$

Por analogía con el concepto de independencia lineal de vectores, se introduce el concepto de independencia afín de puntos en un espacio afín. A saber: los puntos se llaman [5] dependientes afines si alguno de ellos, por ejemplo, puede representarse como una combinación baricéntrica de otros puntos. De lo contrario, se dice que estos puntos son afinemente independientes . $P_{0},P_{1},\ldots,P_{n}$ $P_0$

La condición de independencia afín de los puntos se puede dar de otra forma: es verdadera la proposición de que los puntos de un espacio afín son afinemente independientes si y sólo si no existe una combinación equilibrada no trivial de estos puntos igual al vector cero [6] .

La dimensión de un espacio afín es [7] por definición de la dimensión del correspondiente espacio de vectores libres. En este caso, el número de puntos en el máximo conjunto de puntos afinemente independientes de un espacio afín resulta ser uno mayor que la dimensión del espacio.

Cualquiera de los conjuntos máximos de puntos afinemente independientes en un espacio afín puede tratarse como una base de puntos (renumerando estos puntos de una forma u otra).

Cualquier punto en el espacio se puede representar como una combinación baricéntrica de puntos incluidos en una base de puntos; los coeficientes de esta combinación se denominan [8] coordenadas baricéntricas del punto considerado.

Variaciones y generalizaciones

Un espacio afín sobre un anillo de división se define de manera similar .

Notas

↑ Kostrikin, Manin, 1986 , pág. 193.
↑ Ulyanov A.P. Álgebra y geometría del plano y el espacio para estudiantes de física Copia de archivo fechada el 22 de septiembre de 2018 en Wayback Machine Lectures para estudiantes de primer año de la Facultad de Física de NSU.
↑ Dieudonné J. Álgebra lineal y geometría elemental. Traducido del francés por G. V. Dorofeev. — M.: Nauka, 1972. — 335 p.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , pág. 198.
↑ Boltyansky, 1973 , p. 138.
↑ Alexandrov P. S. , Pasynkov V. A. Introducción a la teoría de la dimensión. — M .: Nauka, 1973. — 576 p. — C. 193.
↑ Boltyansky, 1973 , p. 135.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , pág. 199.

Literatura

Beklemishev DV Geometría analítica y álgebra lineal. - M. : Escuela superior, 1998. - 320 p.
Boltyansky VG Control óptimo de sistemas discretos. — M .: Nauka, 1973. — 446 p.
Kostrikin A. I. , Manin Yu. I. Álgebra lineal y geometría. - M. : Nauka, 1986. - 304 p.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Álgebra lineal y geometría. - M. : Fizmatlit, 2009. - 511 p.

Vectores y matrices

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Tipos de espacio	espacio vectorial espacio afín espacio euclidiano Espacio pseudo-euclidiano espacio normado espacio minkowski

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