Teoría del surf

En el límite de la teoría de la singularidad y la topología diferencial , la teoría de Cerf estudia familias de funciones suaves de valor real.

f\dos puntos M\to \mathbb {R}

sobre una variedad suave , sus singularidades típicas y la topología de los subespacios que estas singularidades definen como subespacios del espacio de funciones. La teoría lleva el nombre de Jaune Cerf , quien comenzó a desarrollar la teoría a fines de la década de 1960. $METRO$

Ejemplo

Marston Morse probó que si es compacto, cualquier función suave $METRO$

f\dos puntos M\to \mathbb {R}

se puede aproximar mediante la función de Morse . Por lo tanto, para muchos propósitos, se pueden reemplazar funciones arbitrarias con funciones de Morse. $METRO$

El siguiente paso, uno podría preguntarse: "Si tiene una familia de funciones de 1 parámetro que comienza y termina con funciones Morse, ¿podemos estar seguros de que toda la familia consta de funciones Morse?" En general, la respuesta es no . Consideremos, por ejemplo, la familia

f_{t}(x)=(1/3)x^{3}-tx

como una familia de funciones de 1 parámetro en . En el momento $M=\mathbb{R}$

t=-1

la función no tiene puntos críticos, y por el momento

t=1

la función es una función de Morse con dos puntos críticos

{\ estilo de visualización x = \ pm 1}

Cerf demostró que una familia de funciones de 1 parámetro entre dos funciones de Morse puede aproximarse mediante una familia de funciones de Morse en todos menos en un número finito de puntos en el tiempo. La degeneración se manifiesta en la aparición/desaparición de puntos críticos, como en el ejemplo anterior.

Paquete de espacio de dimensión infinita

Volvamos al caso general cuando es una variedad compacta. Denotemos el espacio de las funciones de Morse $METRO$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Morse} (M)}$

f\dos puntos M\to \mathbb {R} \,

a denota el espacio de funciones suaves $\operatorname {Función} (M)$

f\dos puntos M\to \mathbb {R}

Morse demostró que

{\ estilo de visualización \ nombre del operador {Morse} (M) \ subconjunto \ nombre del operador {Función} (M)}

es abierto y denso en la topología . $C^\infty$

Hay una analogía intuitiva. Considere las funciones de Morse como una fibra abierta de máxima dimensión en el paquete (no afirmamos que tal paquete exista, pero asumimos que existe). Tenga en cuenta que en los espacios de fibra una fibra abierta de codimensión 0 es abierta y densa. Para simplificar la notación, invertimos las convenciones sobre indexación de haces en un espacio de fibras e indexamos la capa abierta no por su dimensión, sino por su codimensión. Esto es más conveniente, ya que es de dimensión infinita si no es un conjunto finito. Por suposición, la capa abierta con codimensión 0 del espacio es , es decir, . En un espacio estratificado , a menudo está desconectado. Una característica esencial de una capa con codimensión 1 es que cualquier camino en , que comienza y termina en , puede ser aproximado por un camino que se corta perpendicularmente en un número finito de puntos y no se corta en ninguno . $\operatorname {Función} (M)$ $\operatorname {Función} (M)$ $METRO$ $\operatorname {Función} (M)$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Morse} (M)}$ $\operatorname {Func} (M)^{0}=\operatorname {Morse} (M)$ $X$ $X^{0}$ ${\ estilo de visualización X^{1}}$ $X$ $X^{0}$ ${\ estilo de visualización X^{1}}$ ${\ estilo de visualización X ^ {i}}$ $yo>1$

Entonces la teoría de Cerf es una teoría que estudia capas con codimensión positiva, es decir, para . Cuando $\operatorname {Función} (M)$ $\operatorname {Función} (M)^{i}$ ${\ estilo de visualización i> 0}$

f_{t}(x)=x^{3}-tx

solo porque la función no es una función Morse y $t=0$

{\displaystyle f_{0}(x)=x^{3))

tiene un punto crítico degenerado cúbico correspondiente a la aparición/desaparición de una singularidad.

El único parámetro (tiempo), el enunciado del teorema

El teorema de Morse establece que si es una función de Morse, entonces cerca del punto crítico es conjugada a una función de la forma $f\dos puntos M\to \mathbb {R}$ $pags$ $g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$

g(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})=f(p)+\epsilon _{1}x_{1}^{2}+\epsilon _{2} x_{2}^{2}+\dotsb +\epsilon _{n}x_{n}^{2}

donde _ ${\displaystyle \epsilon _{i}\in \{\pm 1\))$

El teorema de Cerf para una familia de 1 parámetro establece una propiedad esencial de una fibra de codimensión uno.

Es decir, si es una familia de 1 parámetro de funciones suaves en c y son funciones de Morse, entonces existe una familia suave de 1 parámetro , tal que , es uniformemente cercana a la topología de las funciones . Además, son funciones de Morse en todo menos un número finito de puntos. En los puntos donde la función no es una función de Morse, la función tiene solo un punto crítico degenerado , y cerca de este punto la familia es conjugada a la familia $f_{t}\dos puntos M\to \mathbb {R}$ $METRO$ ${\ estilo de visualización t \ en [0,1]}$ ${\ estilo de visualización f_ {0}, f_ {1}}$ $F_{t}\dos puntos M\to \mathbb {R}$ ${\ estilo de visualización F_{0}=f_{0},F_{1}=f_{1))$ $F$ $F$ $C^k$ $M\times [0,1]\to \mathbb {R}$ $Pie$ $pags$ $Pie$

g_{t}(x_{1},x_{2},\dotsc,x_{n})=f(p)+x_{1}^{3}+\epsilon_{1}tx_{1 }+\epsilon _{2}x_{2}^{2}+\dotsb +\epsilon _{n}x_{n}^{2}

donde _ Si , esta será una familia de funciones de 1 parámetro en la que se crean dos puntos críticos (a medida que ) aumenta , y para esto será una familia de 1 parámetro en la que desaparecen dos puntos críticos. $\epsilon _{i}\en \{\pm 1\},t\en [-1,1]$ ${\ estilo de visualización \ épsilon _ {1} = -1}$ $t$ ${\ estilo de visualización \ épsilon _ {1} = 1}$

Orígenes

El problema lineal por partes - Schoenflies pararesuelto por JW Alexander en 1924. Su demostración fue adaptada para el caso suave por Morse y Bayad [1] . Cerf usó la propiedad esencial para demostrar que cualquier difeomorfismo que conserva la orientación es isotópico a la identidad [2] , que se considera como una extensión de 1 parámetro del teorema de Schoenflies para. El corolarioen ese momento fue ampliamente utilizado en topología diferencial. La propiedad esencial fue utilizada más tarde por Cerf para demostrar el teorema de la pseudoisotopía [3] para variedades multidimensionales simplemente conectadas. La prueba es una extensión de 1 parámetro de la prueba de Smale del teorema del cobordismo h (Morse, así como Milnor [4] y Cerf-Gramain-Maurin [5] reescribieron la prueba de Smale en términos del concepto funcional, siguiendo una sugerencia de Tomás). ${\displaystyle S^{2}\subconjunto \mathbb {R} ^{3))$ $S^{3}$ ${\displaystyle S^{2}\subconjunto \mathbb {R} ^{3))$ ${\ estilo de visualización \ Gamma _ {4} = 0}$

La prueba de Cerf se basa en el trabajo de Tom y Mather [6] . Una descripción moderna útil del trabajo de Tom y Mather es el libro de Glubitsky y Guilman [7] .

Aplicaciones

Además de las aplicaciones anteriores, Robion Kirby utilizó la teoría de Cerf como un paso clave en la justificación del cálculo de Kirby .

Generalización

El paquete de complemento de un subespacio de codimensión infinita del espacio de aplicaciones suaves fue finalmente desarrollado por Sergeraer [8] . ${\displaystyle \{f\dos puntos M\to \mathbb {R} \))$

En la década de 1970, el problema de la clasificación de pseudoisotopías de variedades que no están simplemente conectadas fue resuelto por Hatcher y Waggoner [9] , quienes descubrieron las destrucciones algebraicas $K_{yo}$ en ( ) y ( ), y por Kiyoshi Igusa , quien descubrió las destrucciones de similar naturaleza en ( ) [10] . ${\ estilo de visualización \ pi _ {1} M}$ $yo=2$ ${\ estilo de visualización \ pi _ {2} M}$ $yo=1$ ${\ estilo de visualización \ pi _ {1} M}$ ${\ estilo de visualización i = 3}$

Notas

↑ Morse, Baiada, 1953 , pág. 142–165.
↑ Cerf, 1968 .
↑ Cerf, 1970 , pág. 5–173.
↑ Milnor, 1965 .
↑ Cerf, Gramain, 1968 .
↑ Mather, 1969 .
↑ Golubitsky, Guillemin, 1973 .
↑ Sergeraert, 1972 , pág. 599–660.
↑ Hatcher, Waggoner, 1973 .
↑ Igusa, 1988 , pág. vi+355.

Literatura

Marston Morse , Emilio Baiada Homotopía y homología relacionadas con el problema de Schoenflies // Annals of Mathematics . - 1953. - T. 58 . — S. 142–165 . -doi : 10.2307/ 1969825.
Mather J. Clasificación de gérmenes estables por R-álgebras // Publ. Matemáticas. IHES. — 1969.
Golubitsky M., Guillemin V. Mapeos estables y sus singularidades. - Springer-Verlag, 1973. - V. 14. - (Textos de Grado en Matemáticas).
Jean Cerf. Sur les difféomorphismes de la sphère de dimension trois ( ). - Berlín-Nueva York: Springer-Verlag, 1968. - V. 53. - (Lecture Notes in Mathematics). ${\ estilo de visualización \ Gamma _ {4} = 0}$
Jean Cerf. La stratification naturelle des espaces de fonctions différentiables réelles et le théorème de la pseudo-isotopie // Publications Mathématiques de l'IHÉS . - 1970. - T. 39 . — Pág. 5–173 .
Milnor J. Conferencias sobre el teorema del h-cobordismo, Notas de L.Siebenmann y J.Sondow. — Matemáticas de Princeton. Notas, 1965.
Jean Cerf, André Gramain. Le theoreme du h-cobordisme (Smale) . — École Normale Supérieure, 1968.
Sergeraert F. Un teorema de funciones implícitas en ciertos espacios de Fréchet y quelques aplicaciones // Ann. ciencia Estándar de la Escuela. Sup.. - 1972. - V. 5 , núm. 4 .
Allen Hatcher, John Wagoner. Pseudoisotopías de variedades compactas // Asterisque. - París: Société Mathematique de France, 1973. - Vol. 6 _
Igusa K. Teorema de estabilidad para pseudoisotopías suaves. K-Teoría 2. - 1988. - Edición. 1-2 .