Esfera 3d

Una esfera tridimensional ( hiperesfera tridimensional , a veces 3 esferas ) es una esfera en un espacio de cuatro dimensiones . Consiste en un conjunto de puntos equidistantes de un punto central fijo en un espacio euclidiano de cuatro dimensiones . Al igual que una esfera bidimensional, que forma el límite de una esfera en tres dimensiones, una esfera tridimensional tiene tres dimensiones y es el límite de una esfera tetradimensional.

Ecuación

En coordenadas cartesianas, una esfera tridimensional de radio puede estar dada por la ecuación ${\ estilo de visualización (x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})}$ $r$

{\ estilo de visualización (x_{0}-C_{0})^{2}+(x_{1}-C_{1})^{2}+(x_{2}-C_{2})^{2} +(x_{3}-C_{3})^{2}=r^{2}.}

Considerando el espacio complejo como real , la ecuación de la esfera se puede ver como ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {2}}$ $\R^4$

S^{3}=\left\{(z_{1},z_{2})\in \mathbb {C} ^{2}:|z_{1}|^{2}+|z_{ 2}|^{2}=1\derecho\}.

Del mismo modo, en el espacio de cuaterniones : ${\ estilo de visualización \ mathbb {H} ^ {1}}$

S^{3}=\left\{q\in \mathbb {H} :\|q\|=1\right\}.

Al ser una variedad tridimensional, una esfera tridimensional se puede definir paramétricamente utilizando tres coordenadas. Un ejemplo son las coordenadas hiperesféricas:

x_{0}=r\cos \psi ,

x_{1}=r\sen\psi\cos\theta,

x_{2}=r\sin \psi \sin \theta \cos \phi ,

x_{3}=r\sin \psi \sin \theta \sin \phi .

Propiedades

Una esfera tridimensional es el límite de una esfera tetradimensional. $S^{3}$

Una esfera tridimensional es una variedad tridimensional compacta conectada . Una esfera tridimensional es simplemente conexa , es decir, cualquier curva cerrada sobre ella puede contraerse continuamente hasta un punto.

Una esfera tridimensional es homeomorfa a una compactación de un punto de un espacio real tridimensional . $\mathbb{R} ^{3}$

Estructura del grupo

Al ser un conjunto de cuaterniones unitarios, la esfera tridimensional hereda una estructura de grupo.

Así la esfera es un grupo de Lie . Entre las esferas dimensionales, solo y tienen esta propiedad . $S^{3}$ $norte$ $S^{1}$ $S^{3}$

Usando la representación matricial de cuaterniones, se puede definir una representación de grupo usando matrices de Pauli : $S^{3}$

x_{1}+x_{2}i+x_{3}j+x_{4}k\mapsto {\begin{pmatrix}\;\;\,x_{1}+ix_{2}&x_{ 3}+ix_{4}\\-x_{3}+ix_{4}&x_{1}-ix_{2}\end{pmatriz}}.

Por lo tanto, el grupo es isomorfo al grupo de Lie de la matriz . $S^{3}$ ${\matemáticas {SU}}(2)$

La acción del grupo U(1) y la fibración de Hopf

Si define una acción de grupo : $tu(1)$

(z_{1},z_{2})\cdot \lambda =(z_{1}\lambda ,z_{2}\lambda )\quad \forall \lambda \in \mathbb {U} (1) ,

entonces el espacio de las órbitas es homeomorfo a la esfera bidimensional . En este caso , surge sobre la esfera una estructura de haz con base y capas que son homeomorfas , es decir, círculos . Este paquete se llama paquete de Hopf . [una] $S^{2}$ $S^{3}$ $S^{2}$ $tu(1)$ $S^{1}$

El paquete Hopf es un ejemplo de un paquete principal no trivial. En coordenadas viene dada por la fórmula

p:(z_{1},z_{2})\mapsto (z_{1}:z_{2}).

El punto ( z 1 , z 2 ) de la esfera se asigna al punto [ z 1 : z 2 ] de la línea proyectiva compleja CP 1 , que es difeomorfa a la esfera bidimensional . $S^{3}$ $S^{2}$

Grupos de homotopía de la esfera

La conexión simple de la esfera significa que el primer grupo de homotopía . También cero es el grupo . ${\ estilo de visualización \ pi _ {1} (S ^ {3}) = \ {0 \}}$ ${\ estilo de visualización \ pi _ {2} (S ^ {3}) = \ {0 \}}$

Notas

↑ Postnikov M. M. Lectures on algebraic topology, p. 20. - Moscú, Nauka, 1984.

Véase también

Conjetura de Poincaré

Literatura

Fomenko A. T., Fuchs D. B. Un curso de topología homotópica. - M. , 1989.

Enlaces

Weisstein, Eric W. Hypersphere (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld . (ing.) Nota : Este artículo utiliza esquemas de denominación alternativos para esferas, en los que una esfera en un espacio N -dimensional se denomina N -esfera .