Ecuaciones de compatibilidad de deformaciones

Las ecuaciones de compatibilidad de deformaciones son ecuaciones matemáticas que expresan uno de los principios fundamentales de la mecánica continua : el principio de compatibilidad de deformaciones . La esencia de esto último es que las componentes del tensor de deformación deben obedecer a las ecuaciones de compatibilidad, ya que, de lo contrario, el cuerpo en cuestión no será un medio continuo . Las ecuaciones de compatibilidad de deformación a menudo se denominan identidades de Saint-Venant .

Expresión matemática del principio

Matemáticamente, se imponen restricciones al tensor de deformación. Dependiendo de la situación, se pueden utilizar tensores de deformación de Cauchy-Green

E_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\parcial u_{i}}{\parcial x_{j}}}+{\frac {\parcial u_{ j)){\parcial x_{i))}+\sum \limits _{l}{\frac {\parcial u_{l)){\parcial x_{i))}{\frac {\parcial u_{l }}{\parcial x_{j}}}}\right)

Tensor de deformación de Almanzi-Hamel

A_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\parcial u_{i}}{\parcial x_{j}}}+{\frac {\parcial u_{ j)){\parcial x_{i))}-\sum \limits _{l}{\frac {\parcial u_{l)){\parcial x_{i))}{\frac {\parcial u_{l }}{\parcial x_{j}}}}\right)

O bien el tensor de deformación pequeña

\varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\parcial u_{i}}{\parcial x_{j}}}+{\frac {\parcial u_{j}}{\parcial x_{i}}}\right)

Tres componentes del campo de desplazamiento están asociados con 6 componentes del tensor de deformación. Para que este sistema de ecuaciones tenga una solución univaluada en un dominio cerrado simplemente conexo, es necesario y suficiente que se cumplan las siguientes ecuaciones:

\nabla \times E\times \nabla =0

\nabla \times A\times \nabla =0

\nabla \times \varepsilon \times \nabla =0

Literatura

Birger I. A., Mavlyutov R. R. Resistencia de los materiales. - Moscú: "Nauka", 1986. - 560 p.
Loytsyansky L.G. Mecánica de líquidos y gases. - M. : Avutarda, 2003. - 840 p. — ISBN 5-7107-6327-6 .

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