Función continua

Función continua : una función que cambia sin "saltos" instantáneos (llamados interrupciones ), es decir, una cuyos pequeños cambios en el argumento conducen a pequeños cambios en el valor de la función. La gráfica de una función continua es una recta continua .

Una función continua, en términos generales, es sinónimo del concepto de mapeo continuo , sin embargo, la mayoría de las veces este término se usa en un sentido más estricto: para mapeos entre espacios numéricos, por ejemplo, en la línea real . Este artículo está dedicado a las funciones continuas definidas en un subconjunto de números reales y que toman valores reales. Para una variación de este concepto para funciones de una variable compleja, consulte el artículo Análisis complejo .

Definición

Sea y . Hay varias definiciones equivalentes para la continuidad de una función en un punto . $D\subconjunto \mathbb {R}$ $f:D\a\mathbb {R}$ $x_{0}\en D$

Definición en términos de un límite : una función es continua en un punto límite para un conjunto si tiene un límite en un punto , y este límite coincide con el valor de la función : $F$ $x_{0}$ $D$ $F$ $x_{0}$ $f(x_{0})$ $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$
Definición usando el formalismo ε-δ : Una función es continua en un punto si para cualquiera existe tal que para cualquier , $F$ $x_{0}\en D$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $x \ en D$ $|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .$

Comentario: En comparación con la definición del límite de una función según Cauchy , no hay ningún requisito en la definición de continuidad que obligue a todos los valores del argumento a satisfacer la condición , es decir, a ser diferentes de a.

X

0<\left\vert xa\right\vert

Definición usando o-símbolos : una función es continua en un punto si $F$ $x_{0}$ $f(x_{0}+\delta )=f(x_{0})+o(1)$ , en . ${\ estilo de visualización \ delta \ a 0}$
Definición por fluctuaciones : una función es continua en un punto si su fluctuación en un punto dado es cero.

Una función es continua en un conjunto si es continua en todos los puntos del conjunto dado. $F$ $mi$

En este caso, dicen que la clase funciona y escriben: o, más detalladamente, . $F$ $C^{0}$ $f\en C^{0}(E)$ $f\in C^{0}(E,\mathbb {R} )$

Puntos de ruptura

Si en algún punto se viola la condición incluida en la definición de la continuidad de una función, entonces se dice que la función considerada sufre una discontinuidad en ese punto . En otras palabras, si es el valor de la función en el punto , entonces el límite de dicha función (si existe) no coincide con . En el lenguaje de vecindades, la condición de discontinuidad para una función en un punto se obtiene negando la condición de continuidad para la función en consideración en un punto dado, a saber: existe tal vecindad del punto del rango de la función que no importa cuánto cerca llegamos al punto del dominio de la función , siempre habrá puntos cuyas imágenes estarán fuera de la vecindad del punto . $A$ $F$ $a$ $A$ $F$ $a$ $A$ $F$ $a$ $F$ $A$

Clasificación de puntos de discontinuidad en R¹

La clasificación de las discontinuidades de las funciones depende de cómo estén ordenados los conjuntos X e Y. Aquí hay una clasificación para el caso más simple: . Los puntos singulares (puntos donde la función no está definida) se clasifican de la misma manera . Vale la pena señalar que la clasificación en difiere de autor a autor. $f:X\a Y$ $f:\mathbb {R} \a \mathbb {R}$ $\matemáticas {R}$

Si la función tiene una discontinuidad en un punto dado (es decir, el límite de la función en un punto dado está ausente o no coincide con el valor de la función en un punto dado), entonces para funciones numéricas hay dos posibles opciones asociadas con la existencia de límites unilaterales para funciones numéricas :

si ambos límites unilaterales existen y son finitos, entonces dicho punto se llama punto de discontinuidad de primera clase . Los puntos de discontinuidad del primer tipo incluyen discontinuidades removibles y saltos .
si al menos uno de los límites unilaterales no existe o no es un valor finito, dicho punto se denomina punto de discontinuidad de segunda clase . Los puntos de discontinuidad del segundo tipo incluyen polos y puntos esenciales de discontinuidad .

Brecha reparable
Romper tipo "salto"
Punto singular de tipo "polo". Si redefinimos la función para x=2, obtenemos una discontinuidad de "polo".
Punto de quiebre importante

Punto de interrupción extraíble

Si el límite de la función existe y es finito , pero la función no está definida en este punto, o el límite no coincide con el valor de la función en este punto:

\lim \limits _{x\to a}f(x)\neq f(a)

entonces el punto se llama punto de discontinuidad desechable de la función (en análisis complejo es un punto singular desechable ). $a$ $F$

Si “corregimos” la función en el punto de una discontinuidad removible y ponemos , entonces obtenemos una función que es continua en este punto. Tal operación sobre una función se llama extender la definición de una función a continua o extender la definición de una función por continuidad , lo que justifica el nombre del punto como punto de una discontinuidad removible . $F$ $f(a)=\lim\limits _{x\to a}f(x)$

Punto de quiebre "salto"

Un "salto" de discontinuidad ocurre si

\lim \limits _{x\to a-0}f(x)\neq \lim \limits _{x\to a+0}f(x)

. Punto de quiebre "polo"

Se produce una discontinuidad de "polo" si uno de los límites unilaterales es infinito.

\lim \limits _{x\to a-0}f(x)=\pm \infty

o .

\lim \limits _{x\to a+0}f(x)=\pm \infty

Punto de quiebre esencial

En el punto de una discontinuidad significativa, al menos uno de los límites unilaterales está completamente ausente.

Clasificación de puntos singulares aislados en R n , n>1

Para funciones y no hay necesidad de trabajar con puntos de interrupción, pero a menudo hay que trabajar con puntos singulares (puntos donde la función no está definida). La clasificación de los puntos singulares aislados (es decir, aquellos donde no hay otros puntos singulares en alguna vecindad) es similar. $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ $f:\mathbb {C} \a \mathbb {C}$

Si , entonces es un punto singular removible (similar a la función de argumento real). $\exists \lim \limits _{x\to a}f(x)$
El polo se define como . En espacios multidimensionales, si el módulo de un número crece, se considera que no importa cuánto crezca. $\lim \limits _{x\to a}f(x)=\infty$ $f(x)\a\infty$
Si el límite no existe en absoluto, es un punto singular esencial .

Falta el concepto de "salto". Lo que se considera un salto en espacios de mayores dimensiones es un punto singular esencial. $\matemáticas {R}$

Propiedades

locales

Una función continua en un punto está acotada en alguna vecindad de este punto. $a$
Si la función es continua en el punto y (o ), entonces (o ) para todos lo suficientemente cerca de . $F$ $a$ ${\ estilo de visualización f (a)> 0}$ ${\ estilo de visualización f (a) <0}$ ${\ estilo de visualización f (x)> 0}$ ${\ estilo de visualización f (x) <0}$ $X$ $a$
Si las funciones y son continuas en el punto , entonces las funciones y también son continuas en el punto . $F$ $gramo$ $a$ $f + g$ $f\cdot g$ $a$
Si las funciones y son continuas en el punto y , entonces la función también es continua en el punto . $F$ $gramo$ $a$ $g(a)\neq 0$ $g/f$ $a$
Si una función es continua en un punto y una función es continua en un punto , entonces su composición es continua en un punto . $F$ $a$ $gramo$ ${\ estilo de visualización b = f (a)}$ $h=g\circ f$ $a$

Mundiales

Teorema de continuidad uniforme : una función que es continua en un segmento (o cualquier otro conjunto compacto ) es uniformemente continua en él.
Teorema de Weierstrass sobre una función sobre un compacto : una función que es continua sobre un segmento (o cualquier otro conjunto compacto ) está acotada y alcanza sus valores máximo y mínimo en él.
El rango de una función que es continua en el intervalo es el intervalo donde se toman el mínimo y el máximo a lo largo del intervalo . $F$ $[a,b]$ ${\ estilo de visualización [\ min f, \ \ max f],}$ $[a,b]$
Si la función es continua en el intervalo y entonces hay un punto en el que . $F$ $[a,b]$ $f(a)\cdot f(b)<0,$ $\xi \in(a,b),$ ${\ estilo de visualización f (\ xi) = 0}$
Teorema del valor intermedio : si la función es continua en el intervalo y el número satisface la desigualdad o desigualdad, entonces hay un punto en el que . $F$ $[a,b]$ $\varphi$ ${\ estilo de visualización f (a) <\ varphi <f (b)}$ $f(a)>\varphi >f(b),$ $\xi \in(a,b),$ ${\ estilo de visualización f (\ xi) = \ varphi}$
Una aplicación continua de un segmento a la línea real es inyectiva si y solo si la función dada en el segmento es estrictamente monótona .
Una función monótona en un segmento es continua si y solo si su rango es un segmento con extremos y . $[a,b]$ $fa)$ $pensión completa)$
Si las funciones y son continuas en el segmento , y y entonces existe un punto en el cual De esto, en particular, se sigue que cualquier aplicación continua del segmento en sí mismo tiene al menos un punto fijo . $F$ $gramo$ $[a,b]$ ${\ estilo de visualización f (a) <g (a)}$ ${\ estilo de visualización f (b)> g (b),}$ $\xi \in(a,b),$ ${\ estilo de visualización f (\ xi) = g (\ xi).}$

Ejemplos

Funciones elementales

Polinomios arbitrarios , funciones racionales , funciones exponenciales , logaritmos , funciones trigonométricas (directas e inversas) son continuas en todas partes en su dominio de definición.

Función de interrupción extraíble

Función dada por fórmula $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,$

f(x)={\begin{casos}{\frac {\sin x}{x)),&x\neq 0\\0,&x=0\end{casos))

es continua en cualquier punto El punto es un punto de discontinuidad, porque el límite de la función $x\neq 0.$ $x=0$

\lim \limits _{x\to 0}f(x)=\lim \limits _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1\neq f(0).

Función de signo

Función

f(x)=\operatorname {sgn} x={\begin{casos}-1,&x<0\\0,&x=0\\1,&x>0\end{casos}},\quad x\in \matemáticas {R}

se llama función de signo .

Esta función es continua en todos los puntos . $x\neq 0$

El punto es un punto de discontinuidad del primer tipo , y $x=0$

\lim \limits _{x\to 0-}f(x)=-1\neq 1=\lim \limits _{x\to 0+}f(x)

mientras que la función se desvanece en el punto mismo.

Función Heaviside

La función de Heaviside , definida como

f(x)={\begin{casos}1,&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{casos}},\quad x\in \mathbb {R}

es continua en todas partes, excepto en el punto donde la función sufre una discontinuidad de primera especie. Sin embargo, hay un límite por la derecha en el punto, que es el mismo que el valor de la función en el punto dado. Por lo tanto, esta función es un ejemplo de una función continua a la derecha en todo el dominio de definición . $x=0$ $x=0$

De manera similar, la función escalonada definida como

f(x)={\begin{casos}1,&x>0\\0,&x\leqslant 0\end{casos}},\quad x\in \mathbb {R}

es un ejemplo de una función continua a la izquierda sobre todo el dominio de .

Función de Dirichlet

Función

f(x)={\begin{casos}1,&x\in \mathbb {Q} \\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{casos))

se llama función de Dirichlet . En esencia, la función de Dirichlet es la función característica del conjunto de los números racionales . Esta función es discontinua en todos los puntos , ya que en una vecindad arbitrariamente pequeña de cualquier punto hay números racionales e irracionales.

Función de Riemann

Función

f(x)={\begin{casos}{\frac {1}{n)),&x={\frac {m}{n))\in \mathbb {Q} ,\ {\text{ gcd}}(m,n)=1\\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{casos}}

se llama la función de Riemann o "función de Thomas".

Esta función es continua en el conjunto de números irracionales ( ), ya que el límite de la función en cada punto irracional es igual a cero (si la sucesión es , entonces con necesidad ). En todos los puntos racionales es discontinua. $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ $x_{k}=m_{k}/n_{k}\to x\notin \mathbb {Q}$ $n_{k}\to \infty$

Variaciones y generalizaciones

Continuidad uniforme

Una función se llama uniformemente continua si para cualquiera existe tal que para cualesquiera dos puntos y tal que , . $F$ $mi$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $x_{1}$ $x_{2}$ $|x_{1}-x_{2}|<\delta$ $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$

Toda función uniformemente continua en un conjunto es obviamente también continua en él. Lo contrario generalmente no es cierto. Sin embargo, si el dominio de definición es compacto, entonces la función continua también resulta ser uniformemente continua en el segmento dado. $mi$

Semicontinuidad

Hay dos propiedades que son simétricas entre sí: la semicontinuidad inferior y la semicontinuidad superior :

se dice que una función es semicontinua inferior en un punto si para cualquier existe una vecindad tal que para cualquier ; $F$ $a$ $\varepsilon >0$ $U_{E}(a)$ $f(x)>f(a)-\varepsilon$ $x\en U_{E}(a)$
Se dice que una función es semicontinua superior en un punto si para cualquier existe una vecindad tal que para cualquier . $F$ $a$ $\varepsilon >0$ $U_{E}(a)$ $f(x)<f(a)+\varepsilon$ $x\en U_{E}(a)$

Existe la siguiente relación entre continuidad y semicontinuidad:

si tomamos una función que es continua en el punto y disminuimos el valor (en un valor finito), entonces obtenemos una función que es semicontinua inferior en el punto ; $F$ $a$ $fa)$ $a$
si tomamos una función que es continua en el punto y aumentamos el valor (en una cantidad finita), entonces obtenemos una función que es semicontinua superior en el punto . $F$ $a$ $fa)$ $a$

De acuerdo con esto, podemos admitir infinitos valores para funciones semicontinuas:

si , entonces suponemos que tal función es semicontinua inferior en el punto ; $f(a)=-\infty$ $a$
si , entonces asumimos que tal función es semicontinua superior en el punto . $f(a)=+\infty$ $a$

Continuidad unidireccional

Una función se llama continua por la izquierda (derecha) en un punto en su dominio de definición si se cumple la siguiente igualdad para el límite unilateral : $F$ $x_{0}$ $f(x_{0})=\lim\limits _{x\to x_{0}-}f(x)$ $(f(x_{0})=\lim\limits _{x\to x_{0}+}f(x)).$

Continuidad en casi todas partes

En la recta real se suele considerar la medida de Lebesgue lineal simple . Si una función es tal que es continua en todas partes excepto, quizás, en un conjunto de medida cero, entonces se dice que tal función es continua en casi todas partes . $F$ $mi$

En el caso de que el conjunto de puntos de discontinuidad de una función sea como máximo contable, obtenemos una clase de funciones integrables de Riemann (ver el criterio de integrabilidad de Riemann para una función).

Notas

Literatura

Zorich V. A. Análisis matemático, parte I. - M. : Fizmatlit, 1984. - 544 p.