Proceso aleatorio

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 1 de octubre de 2021; la verificación requiere 1 edición .

Un proceso aleatorio (proceso probabilístico, función aleatoria, proceso estocástico) en la teoría de la probabilidad es una familia de variables aleatorias indexadas por algún parámetro , la mayoría de las veces desempeñando el papel de tiempo o coordenadas .

Definición

Sea un espacio medible , un conjunto de valores del parámetro . Una función de parámetro cuyos valores son variables aleatorias en el espacio de eventos elementales en el espacio de fase se denomina proceso aleatorio en el espacio de fase . [una] $(E,{\mathfrak{B}})$ $T$ $t$ ${\ estilo de visualización \ xi = \ xi (t)}$ $t\en T$ ${\ estilo de visualización \ xi (t) = \ xi (\ omega, t)}$ $(\Omega,{\mathfrak {A}),\mathbb {P})$ $(E,{\mathfrak{B}})$ $(E,{\mathfrak{B}})$

Terminología

La clasificación y terminología utilizada en el campo de la investigación y aplicación aplicada de procesos aleatorios no es estricta. En particular, el término "proceso aleatorio" se usa a menudo como sinónimo incondicional del término "función aleatoria". [2] Según el tipo de conjunto , a menudo se utilizan los siguientes términos. $T$

Si , entonces el parámetro puede interpretarse como tiempo . Entonces la función aleatoria se llama proceso aleatorio . Si el conjunto es discreto, por ejemplo , ese proceso aleatorio se denomina secuencia aleatoria . $T\subconjunto \mathbb {R}$ $t\en T$ $\{X_{t}\}$ $T$ $T\subconjunto {\mathbb {N}}$

Si , donde , entonces el parámetro se puede interpretar como un punto en el espacio, y luego la función aleatoria se llama campo aleatorio . $T\subconjunto {\mathbb {R}}^{n}$ $n\geqslant 1$ $t\en T$

Información básica

Todas las posibles distribuciones de probabilidad conjunta de valores : ${\ estilo de visualización \xi (t_{1}),...,\xi (t_{n}),t_{1},...,t_{n}\en T}$

P_{t_{1}},...,_{t_{n}}(B_{1},...B_{n})=P\izquierda\{\xi (t_{1}) \en B_{1},...,\xi (t_{n})\en B_{n}\right\}(B_{1},...B_{n}\en {\mathfrak {B} })

se denominan distribuciones de probabilidad de dimensión finita de un proceso aleatorio . Los procesos aleatorios y la toma de valores en el espacio de fases se denominan equivalentes si para alguno los valores correspondientes y son equivalentes . ${\ estilo de visualización \ xi = \ xi (t)}$
${\ estilo de visualización \ xi = \ xi (t)}$ ${\ estilo de visualización \ eta = \ eta (t)}$ $(E,{\mathfrak{B}})$ $t\en T$ ${\ estilo de visualización \ xi (t) = \ xi (\ omega, t)}$ ${\ estilo de visualización \ eta (t) = \ eta (\ omega, t)}$

A cada función de parámetro fijo con valores en el espacio de fase se le llama implementación o trayectoria de un proceso aleatorio . Un proceso aleatorio se llama directamente especificado si cada resultado elemental se describe mediante una trayectoria correspondiente en el espacio funcional de todas las funciones en el conjunto con valores en el espacio de fase ; más precisamente, si y — el álgebra es generada por todos los conjuntos cilíndricos posibles , donde y , y los valores tienen la forma , . Cualquier proceso aleatorio se puede asociar con un proceso aleatorio dado directamente con las mismas distribuciones de dimensión finita. Para cada familia consistente de distribuciones de probabilidad de dimensión finita ( tales que son medidas densas en el espacio topológico de fase ), existe un proceso aleatorio directamente dado con las mismas distribuciones de probabilidad de dimensión finita. $\omega \en \Omega$ ${\ estilo de visualización \ xi (t) = \ xi (\ omega, t)}$ $t$ $(E,{\mathfrak{B}})$ ${\ estilo de visualización \ xi = \ xi (t)}$ ${\ estilo de visualización \ xi = \ xi (t)}$ ${\ estilo de visualización x = x (t)}$ $E=E^{T}$ $T$ $(E,{\mathfrak{B}})$ ${\ estilo de visualización \ Omega = X}$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}$ ${x(t_{1})\en B_{1},...,x(t_{n})\en B_{n))$ $t_{1},...,t_{n}\en T$ $B_{1},...B_{n}\in {\mathfrak {B)))$ ${\ estilo de visualización \ xi (t) = \ xi (x, t)}$ ${\ estilo de visualización \ xi (x, t) = x (t)}$ ${\ estilo de visualización x \ en X}$ $P_{t_{1}},...,_{t_{n}}(B_{1},...B_{n})$ $t_{1},...,t_{n}\en T,B_{1},...B_{n}\en {\mathfrak {B))$ $P_{t}=P_{t}(B),t\in T$ $(E,{\mathfrak{B}})$ ${\ estilo de visualización \ xi = \ xi (t)}$

función de covarianza . Sea un proceso aleatorio real o complejo sobre el conjunto que tiene segundos momentos: . Los valores de un proceso aleatorio se pueden considerar como elementos del espacio de Hilbert - el espacio de todas las variables aleatorias , con el producto escalar ${\ estilo de visualización \ xi = \ xi (t)}$ $T$ $E|\xi (t)|^{2}<\infty$ ${\ estilo de visualización \ xi = \ xi (t)}$ $L^{2}(\Omega)$ $\eta$ $E|\eta (t)|^{2}<\infty$

({\eta }_{1},{\eta }_{2})=E{\eta }_{1}{\overline {\eta }}_{2}

Las características más importantes de tal proceso aleatorio son su expectativa matemática $\xi (t)$

A(t)=E\xi (t)=(\xi (t),1)

y función de covarianza

B(s,t)=E{\xi (s)}{\overline {\xi (t)))=(\xi (s),\xi (t))

En lugar de la función de covarianza, se puede utilizar la función de correlación , que es la función de covarianza del proceso con expectativa matemática cero. Si los argumentos ( ) son iguales, la función de correlación es igual a la varianza del proceso aleatorio $B(s,t)=E{\xi (s)}{\overline {\xi (t)))-A(s){\overline {A(t)))$ ${\ estilo de visualización \ xi (t) -A (t)}$
${\ estilo de visualización s = t}$

B(s,s)=E(\xi (s)-A(s))({\overline {\xi (s)-A(s))))=D(s)

Una función de dos variables y es una función de covarianza de algún proceso aleatorio , , si y solo si satisface la siguiente condición de definición positiva para todos: ${\ estilo de visualización B (s, t)}$ $s$ $t$ $\xi (t)$ $E|\xi (t)|^{2}<\infty$ ${\ estilo de visualización n = 1,2,...}$

\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{B(t_{k},t_{j})c_{k)){\overline {c_ {j}}}\geqslant 0

para cualquier número complejo . $t_{1},t_{2},...t_{n}\en T$ ${\ estilo de visualización c_{1},c_{2}...,c_{n))$

Clasificación

Un proceso aleatorio se llama proceso discreto en el tiempo , si el sistema en el que fluye cambia sus estados solo en momentos , cuyo número es finito o contable. Un proceso aleatorio se denomina proceso de tiempo continuo si la transición de un estado a otro puede ocurrir en cualquier momento. $X(t)$ $\;t_{1},t_{2},\ldots$
Un proceso aleatorio se denomina proceso con estados continuos si el valor del proceso aleatorio es una variable aleatoria continua. Un proceso aleatorio se denomina proceso aleatorio con estados discretos si el valor del proceso aleatorio es una variable aleatoria discreta:
Un proceso aleatorio se llama estacionario si todas las leyes de distribución multidimensional dependen solo de la posición relativa de los momentos de tiempo , pero no de los valores de estas cantidades en sí. En otras palabras, un proceso aleatorio se llama estacionario si sus patrones probabilísticos no cambian en el tiempo. De lo contrario, se llama no estacionario . $\;t_{1},t_{2},\ldots,t_{n}$
Una función aleatoria se llama estacionaria en sentido amplio , si su expectativa matemática y su varianza son constantes, y el ACF depende solo de la diferencia en los puntos de tiempo para los que se toman las ordenadas de la función aleatoria. El concepto fue introducido por A. Ya. Khinchin .
Un proceso aleatorio se denomina proceso con incrementos estacionarios de cierto orden, si los patrones probabilísticos de dicho incremento no cambian en el tiempo. Tales procesos fueron considerados por Yaglom [3] .
Si las ordenadas de una función aleatoria obedecen la ley de distribución normal , entonces la función en sí se llama normal .
Funciones aleatorias, cuya ley de distribución de ordenadas en un momento futuro está completamente determinada por el valor de la ordenada del proceso en el momento presente y no depende de los valores de las ordenadas del proceso en momentos anteriores del tiempo, son llamados Markov .
Un proceso aleatorio se denomina proceso con incrementos independientes si para cualquier conjunto , donde , a , las variables aleatorias , , , son mutuamente independientes. $t_{1},t_{2},\ldots,t_{n}$ $n>2$ $t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{n}$ $(X_{{t_{2}}}-X_{{t_{1}}})$ $(X_{{t_{3}}}-X_{{t_{2}}})$ $\ldots$ $(X_{{t_{n}}}}-X_{{t_{{n-1}}}})$
Si, al determinar las funciones de momento de un proceso aleatorio estacionario, la operación de promediar sobre un conjunto estadístico se puede reemplazar por promediar sobre el tiempo, entonces dicho proceso aleatorio estacionario se denomina ergódico .
Entre los procesos aleatorios, se distinguen los procesos aleatorios de impulso .
Un proceso aleatorio de ramificación puede describir fenómenos asociados con la reproducción, división o transformación de objetos.

Ejemplos

$\{X_{n}\}_{n\en \mathbb {N} }$ , donde se denomina secuencia aleatoria gaussiana (normal) estándar. $\;X_{i}\sim {\matemáticas {N}}(0,1)$
Sea , y una variable aleatoria. Después $f\dos puntos {\mathbb {R}}\a {\mathbb {R}}$ $Y$

X_{t}(\omega )=f(t)\cdot Y(\omega )

es un proceso aleatorio.

Véase también

Notas

↑ 1 2 Prokhorov Yu. V., Rozanov Yu. A. Teoría de la probabilidad (Conceptos básicos. Teoremas de límite. Procesos aleatorios) - M .: Edición principal de literatura física y matemática, Nauka Publishing House, 1973. - 496 páginas.
↑ Función aleatoria . www.booksite.ru _ Recuperado: 20 Agosto 2021. (indefinido)
↑ Yaglom A. M. Teoría de correlación de procesos con incrementos paramétricos estacionarios aleatorios // Colección matemática. T. 37. Emisión. 1. Art. 141-197. — 1955.

Literatura

Sveshnikov AA Métodos aplicados de la teoría de funciones aleatorias. - Editor jefe de literatura física y matemática, 1968.
Baskakov S.I. Radio/circuitos técnicos y señales. - Escuela Superior, 2000.
Natan A. A. , Gorbachev O. G., Guz S. A. Fundamentos de la teoría de los procesos aleatorios : libro de texto. manual sobre el curso "Procesos aleatorios" - M .: MZ Press - MIPT, 2003. - 168 p. ISBN 5-94073-055-8 .
Ventzel E. S. , Ovcharov L. A. Teoría de procesos aleatorios y sus aplicaciones de ingeniería. - M. : Nauka, 1991. - 384 p. — ISBN 5-02-014125-9 .
Kulikov EI Métodos para medir procesos aleatorios. - M. : Radio y comunicación, 1986. - 272 p.
Ralph diciembre. Transformaciones no lineales de procesos aleatorios. - M. : radio soviética, 19656. - 206 p.

diccionarios y enciclopedias

En catálogos bibliográficos
BNE : XX4576445 BNF : 119326416 TIERRA : 4057630-9 J9U : 987007536303605171 LCCN : sh85128181 NDL : 00564752 NKC : ph116285