Números surrealistas

Números surrealistas ( número surrealista inglés ): una generalización de los números reales ordinarios y los números ordinales infinitos . Se utilizaron por primera vez en los trabajos del matemático inglés John Conway para describir una serie de aspectos de la teoría de juegos [1] .

Historia

En 1907, el matemático austriaco Hans Hahn introdujo la "serie de Hahn" como una generalización de las series de potencias formales , y el matemático alemán Felix Hausdorff introdujo algunos conjuntos ordenados llamados η α -conjuntos para ordinales α y preguntó si un compatible un grupo ordenado o estructura de campo. En 1962, Norman Alling usó una forma modificada de la serie de Hahn para construir tales campos ordenados asociados con ciertos ordinales α, y tomando α como la clase de todos los ordinales en su construcción se obtiene una clase que es un campo ordenado isomorfo a los números surrealistas [2] .

El estudio de yose en el juego de Go llevó a John Conway a otra definición y construcción de números surrealistas [3] . El diseño de Conway se utilizó en el libro Surreal Numbers de Donald Knuth de 1974. En su libro, que toma la forma de un diálogo, Knuth acuñó el término "números surrealistas" para lo que Conway llamó "meros números" [4] . Más tarde, Conway adoptó los términos de Knuth y los usó en su libro Numbers and Games de 1976.

Además de Conway y Knuth, el matemático Martin Kruskal hizo una gran contribución a la teoría de los números surrealistas . En ese momento, los números surrealistas ya tenían todas las propiedades y operaciones básicas de los números reales e incluían todos los números reales junto con muchos tipos de infinitos e infinitesimales. Kruskal contribuyó a los fundamentos de la teoría: la definición de funciones surrealistas y el análisis de su estructura [5] . También descubrió una conexión entre los números surrealistas, las asintóticas y las asintóticas exponenciales. Una pregunta importante planteada por Conway, Kruskal y Norton a fines de la década de 1970, y explorada con gran tenacidad por Kruskal, es si todas las funciones surrealistas tienen integrales definidas . Esta pregunta fue respondida negativamente por Kostin, Friedman y Erlich en 2015 [6] . Sin embargo, el análisis de Kostin et al., muestra que existen integrales definidas para una clase bastante amplia de funciones surrealistas a las que son aplicables las ideas de Kruskal sobre el análisis asintótico .

Resumen

En la construcción de Conway [7] , los números surrealistas se construyen por etapas. Los números surrealistas se construyen simultáneamente con la relación binaria ⩽. Además, para dos números surrealistas cualquiera y , o . (Ambas desigualdades pueden cumplirse simultáneamente, en cuyo caso ambas son equivalentes y denotan el mismo número). Los números se forman construyendo un par de subconjuntos de números ya construidos: un par de subconjuntos de números surrealistas y tales que todos los elementos son estrictamente menores que todos los elementos , definen un nuevo número, denotado por, mientras que este número es intermedio entre todos los elementos y todos los elementos $a$ $b$ $a\leqslant{}b$ $b\leqslant{}a$ $a$ $b$ $L$ $R$ $L$ $R$ ${\displaystyle \{L\mid {}R\))$ $L$ $R$

Diferentes yel mismo número incluso sidefinirpuedenysubconjuntos pueden definir los mismos números: Entonces, estrictamente hablando, los números surrealistas son clases de equivalencia de representaciones de la forma con respecto a la relación de equivalencia. ${\displaystyle \{L\mid {}R\))$ $\{L'\mid {}R'\}$ $L\neq {}L'$ $R\neq {}R'$ ${\frac{1}{2))$ ${\frac{2}{4))$ ${\displaystyle \{L\mid {}R\))$

En la primera etapa de construcción, todavía no hay números, por lo que puede usar solo el conjunto vacío : . Esta representación, donde y están vacíos, se llama 0. Los pasos posteriores dan formas como: ${\ estilo de visualización \ {\ medio \}}$ $L$ $R$

{\ estilo de visualización \ {0 \ mid \} = 1}

{\ estilo de visualización \ {1 \ mid \} = 2}

{\ estilo de visualización \ {2 \ mid \} = 3}

tanto como

\{\mid 0\}=-1

\{\mid -1\}=-2

\{\mid -2\}=-3

Por lo tanto, los números enteros son un subconjunto de números surrealistas. (Las identidades anteriores son definiciones en el sentido de que el lado derecho es el nombre del lado izquierdo). De manera similar, se pueden construir los siguientes números:

\{0\mid 1\}={\frac{1}{2}}

\{0\mid {\frac {1}{2}}\}={\frac {1}{4}}

\{{\frac {1}{2}}\mid 1\}={\frac {3}{4}}

y así. Por lo tanto, todos los números racionales diádicos (números racionales cuyos denominadores son potencias de 2) están contenidos dentro de los números surrealistas.

Después de un número infinito de pasos, quedan disponibles infinitos subconjuntos (una definición más rigurosa requiere la noción de inducción transfinita ), de modo que cualquier número real a puede ser representado por , donde el conjunto de todos los números racionales diádicos es menor que , y es el conjunto de todos los números racionales diádicos, grande (similar a la sección de Dedekind ). Por lo tanto, los números reales también se pueden construir en la clase de números surrealistas. $\{L_{a}\mid {}R_{a}\}$ ${\ Displaystyle L_ {a}}$ $a$ $Real academia de bellas artes}$ $a$

También hay opiniones como

\{0,1,2,3,\ldots \mid \}=\omega

\{0\mid 1,{\frac {1}{2)),{\frac {1}{4)),{\frac {1}{8)),\ldots \}=\varepsilon

donde es un número transfinito mayor que todos los enteros, y es infinitesimal mayor que 0 pero menor que cualquier número real positivo (número hiperreal ). Además, las operaciones aritméticas estándar (suma, resta, multiplicación y división) se pueden extender a estos números no reales de una manera que convierte un conjunto de números surrealistas en un campo ordenado, de modo que se puede hablar de o etc. $\omega$ $\varepsilon$ ${\ estilo de visualización 2 \ omega}$ ${\ estilo de visualización \ omega-1}$

Construcción

Los números surrealistas se construyen inductivamente como clases de equivalencia de pares de conjuntos de números surrealistas, restringidos por la condición de que cada elemento del primer conjunto debe ser menor que cualquier elemento del segundo conjunto. La construcción consta de tres partes interdependientes: reglas de construcción, reglas de comparación y reglas de equivalencia.

Formularios

La forma de un número surrealista es un par de conjuntos de números surrealistas, llamados conjuntos izquierdo y derecho. La forma con el conjunto izquierdo L y el conjunto derecho R se escribe como { L | R }. Cuando L y R se dan como listas de elementos, se pueden omitir los paréntesis que los rodean. Uno o ambos conjuntos de formas pueden estar vacíos. Formulario {{} | {}} con conjuntos vacíos izquierdo y derecho se escribe { | }.

Formas Numéricas

Regla de diseño

Forma { L | R } es numérico si la intersección de L y R es el conjunto vacío y cualquier elemento de R es mayor que cualquier elemento de L , según la relación de orden ⩽ dada por la siguiente regla.

Clases de equivalencia de forma numérica

Las formas numéricas se ubican en clases de equivalencia; cada clase de equivalencia es un número surrealista. Los elementos de los conjuntos izquierdo y derecho de la forma están tomados precisamente del universo [8] de los números surrealistas (no formas, sino clases de equivalencia).

Regla de equivalencia

Dos formas numéricas x e y son formas del mismo número (están en la misma clase de equivalencia) si y solo si x ⩽ y y y ⩽ x .

La definición de la relación ⩽ se dará a continuación.

En otras palabras, la relación de orden es antisimétrica , es decir, la expresión x = y (es decir, x ⩽ y e y ⩽ x son verdaderas) debe ser verdadera solo cuando x e y son el mismo objeto. Esto no se aplica a las formas de números surrealistas, pero es cierto para los números surrealistas (clases de equivalencia).

Una clase de equivalencia que implica { | } se llama 0; también { | } es una forma del número surrealista 0.

Ordenar

La definición recursiva del orden de las formas surrealistas se da de la siguiente manera:

Sean formas numéricas x = { X L | X R } y y = { Y L | Y R }, entonces x ≤ y si y solo si:

no existe x L ∈ X L tal que y ⩽ x L (cada uno en el conjunto de la izquierda x es menor que y ), y
no existe y R ∈ Y R tal que y R ⩽ x (todos los elementos del conjunto derecho y son mayores que x ).

La comparación y ⩽ c para una forma y y un número surrealista c se determina eligiendo cualquier forma z de la clase de equivalencia c y verificando y ⩽ z ; de manera similar para c ⩽ x y para comparar b ⩽ c de dos números surrealistas.

Inducción

Este grupo de definiciones es recursivo y requiere cierta inducción matemática para definir el universo de objetos (formas y números) que ocurren en ellos. Los únicos números surrealistas alcanzados a través de la "inducción finita" son los números racionales binarios . Se puede lograr un universo más amplio utilizando la inducción transfinita .

Regla de inducción

Existe S 0 = {0}, en la que 0 es una clase de equivalencia que consta de la única forma { | }.
Para cualquier número ordinal n , tenemos S n - el conjunto de todos los números surrealistas que se pueden obtener aplicando la regla de construcción a todos los subconjuntos de . ${\ estilo de visualización \ taza _ {i <n} S_ {i}}$

El caso base es en realidad un caso especial de la regla de inducción, siendo 0 la etiqueta para el "ordinal más pequeño". Como no hay S i con i < 0, la expresión es el conjunto vacío; el único subconjunto del conjunto vacío es el conjunto vacío, por lo que S 0 consiste en la única forma surrealista { | } de la clase de equivalencia 0. ${\ estilo de visualización \ taza _ {i <0} S_ {i}}$

Para todo número ordinal finito n , el conjunto está bien ordenado con respecto a la comparación de números surrealistas. $S_{n}$

La primera aplicación de la regla de inducción produce tres formas numéricas { | 0 } < { | } < { 0 | } (La forma { 0 | 0 } no es numérica porque 0 ⩽ 0). Una clase de equivalencia que contiene { 0 | } se denota por 1, y la clase de equivalencia que contiene { | 0}, indicado por −1. Estas tres notaciones tienen un significado especial en los axiomas que definen un anillo: son la suma neutral (0), la multiplicación neutral (1) y el inverso de la suma de 1 (−1). Las operaciones aritméticas definidas a continuación son consistentes con estos nombres.

Para todo i < n , todos los números contenidos en también están contenidos en (como superconjuntos de sus representaciones en ) (En nuestra regla de construcción se utiliza la expresión condicional para la unión de todos los anteriores, en lugar de la forma más simple de , por lo que la definición y esta propiedad también tienen sentido cuando n es un ordinal límite ). Se dice que los números en que son un superconjunto de algún número en han sido "heredados de la generación i ". El valor más pequeño de α para el que aparece un número surrealista dado se llama su "cumpleaños" . Por ejemplo, el cumpleaños 0 es 0 y el cumpleaños −1 es 1. $Si}$ $S_{n}$ $Si}$ $S_{{n-1}}$ $S_{n}$ $Si}$ ${\ Displaystyle S_ {\ alfa}}$

La segunda iteración de la regla de construcción da el siguiente orden de clases de equivalencia:

{| -1 } = { | −1, 0 } = { | −1, 1 } = { | −1, 0, 1}

< { | 0 } = { | 0, 1} < { −1 | 0 } = { −1 | 0, 1} < { | } = { −1 | } = { | 1 } = { −1 | una } < { 0 | 1 } = { −1, 0 | una } < { 0 | } = { −1, 0 | } < { 1 | } = {0, 1 | } = { −1, 1 | } = { −1, 0, 1 | }.

La comparación de estas clases de equivalencia es consistente, independientemente de la elección de la forma. Se puede ver que:

En hay cuatro nuevos números surrealistas. Dos de ellos contienen formas "extremas": { | −1, 0, 1 } que incluye todos los números de generaciones anteriores en su conjunto derecho, y { −1, 0, 1 | } - en el conjunto de la izquierda. Otros tienen una forma que divide todos los números de generaciones anteriores en dos conjuntos no vacíos. $S_{2}$
Cada número surrealista x que existió en la "generación" anterior también existe en esta generación y recibe al menos una nueva forma: la división de todos los números distintos de x de generaciones anteriores en el conjunto de la izquierda (todos los números menores que x ) y en el conjunto derecho (todos los números son mayores que x ).
La clase de equivalencia de un número depende únicamente del elemento máximo de su conjunto izquierdo y del elemento mínimo de su conjunto derecho.

Interpretaciones informales { 1 | } y { | −1 } — “número inmediatamente después de 1” y “número antes de −1”, respectivamente; sus clases de equivalencia se denotan 2 y −2. Interpretaciones informales { 0 | 1 } y { −1 | 0 } es "un número a medio camino entre 0 y 1" y "un número a medio camino entre −1 y 0", respectivamente; Sus clases de equivalencia están etiquetadas como 1/2 y −1/2. Estas notaciones también serán consistentes con las definiciones de suma y multiplicación surrealistas a continuación.

La clase de equivalencia en cada paso n se puede caracterizar por su forma n -completa (que contiene tantos elementos como sea posible en sus conjuntos izquierdo y derecho). O esta forma completa contiene todos los números de generaciones anteriores, en cuyo caso es la primera generación en la que aparece ese número, o contiene todos menos uno de los números de generaciones anteriores, en cuyo caso es la nueva forma de ese mismo número. . Mantenemos la notación de la generación anterior para estos números "antiguos" y escribimos el orden usando la notación antigua y nueva:

−2 < −1 < −1/2 < 0 < 1/2 < 1 < 2.

La tercera observación se extiende a todos los números surrealistas con conjuntos finitos de izquierda y derecha. (Para conjuntos infinitos a la izquierda oa la derecha, esto es cierto en una forma modificada, ya que los conjuntos infinitos pueden no contener un elemento máximo o mínimo). El número {1, 2 | 5, 8}, por lo tanto, es equivalente a {2 | 5}; Se puede determinar que son formularios 3 utilizando la propiedad de cumpleaños que se describe a continuación, que es un corolario de las reglas anteriores.

propiedad de cumpleaños

Forma x = { L | R } que ocurre en la generación n representa un número heredado de una generación anterior si y solo si hay algún número en S i para i < n que es mayor que todos los elementos de L y menor que todos los elementos de R . (En otras palabras, si L y R están separados por un número creado anteriormente, entonces x no es un número nuevo, sino que ya se ha construido). Si x representa un número de cualquier generación anterior a n , entonces existe una generación más pequeña . i y al menos un número y feliz cumpleaños i , entre L y R . x es la forma de este número y , en otras palabras pertenece a la clase de equivalencia en S n , que es el superconjunto de la representación y en la generación i .

Aritmética

Suma , recíproco (recíproco de suma), multiplicación y recíproco (recíproco de multiplicación) de números surrealistas con las formas x = { X L | X R } y y = { Y L | Y R } se definen mediante cuatro fórmulas recursivas

Adición

La definición de adición viene dada por la fórmula recursiva: , donde $x+y=\{X_{L}|X_{R}\}+\{Y_{L}|Y_{R}\}=\{X_{L}+y,x+Y_{L} |X_{R}+y,x+Y_{R}\}$

${\displaystyle X+y=\{x+y:x\en X\},x+Y=\{x+y:y\en Y\))$

Esta fórmula opera sobre la acción de sumar una de las formas con números tomados de uno de los conjuntos de la segunda forma. Esto debe entenderse como el resultado de tal operación con cualquier forma tomada de la clase de equivalencia numérica. Esto, por supuesto, solo tiene sentido si el resultado de tal acción no depende de la elección de un representante particular de la clase de equivalencia numérica. Esto se puede probar inductivamente con una base de tres afirmaciones:

0 + 0 = { | } + { | } = { | } = 0 X + 0 = X + { | } = { X L + 0 | X R + 0 } = { X L | X R } = x 0 + y = { | } + y = { 0 + Y L | 0 + Y R } = { Y L | Y R } = y

(Las dos últimas declaraciones se prueban inductivamente a través de la primera, por lo que, de hecho, la base de la inducción se reduce solo a la primera declaración)

Número opuesto

El número opuesto x = { X L | X R } se define:

${\displaystyle -x=-\{X_{L}|X_{R}\}=\{-X_{R}|-X_{L}\))$

donde el opuesto del conjunto S de números se define como el conjunto de elementos opuestos de S:

${\displaystyle -S=\{-s:s\in S\))$

Análogamente al anterior, aquí se toma el contrario no de formas, sino de números, y la demostración de que el número opuesto no depende de la elección de su forma se realiza inductivamente con la base:

-0 = - { | } = { | } = 0.

Además, no volveremos a mencionar las sutilezas asociadas con la necesidad de elegir un representante de la clase de equivalencia numérica.

Multiplicación

En esta fórmula hay expresiones que incluyen una operación y un conjunto, como . Esto debe entenderse como un conjunto que consta de todos los resultados posibles de calcular los resultados de estas operaciones cuando se toma un elemento de cada uno de los conjuntos en la expresión, y si se toma un elemento del conjunto en una parte de la expresión, entonces en se toma la otra parte de la misma expresión del mismo conjunto debe ser el mismo elemento. ${\displaystyle X_{R}y+xY_{R}-X_{R}Y_{R))$ ${\begin{alineado}xy&=\{X_{L}|X_{R}\}\{Y_{L}|Y_{R}\}=\\&=\left\{X_{L} y+xY_{L}-X_{L}Y_{L},X_{R}y+xY_{R}-X_{R}Y_{R}|X_{L}y+xY_{R}-X_{L }Y_{R},xY_{L}+X_{R}y-X_{R}Y_{L}\right\}\\\end{alineado}}$

Apelación

Tomar el inverso de la multiplicación a un número se define como: $y$

${\frac {1}{y}}={\Bigg \{}0,{\frac {1+(y_{R}-y)({\frac {1}{y}})_{ L}}{y_{R}}},{\frac {1+(y_{L}-y)({\frac {1}{y}})_{R}}{y_{L}}}{ \Bigg |}{\frac {1+(y_{L}-y)({\frac {1}{y)))_{L}}{y_{L}}},{\frac {1+( y_{R}-y)({\frac {1}{y)))_{R}}{y_{R}}}{\Bigg \}}$ para positivo , y en esta fórmula solo se usan términos positivos (el resto se ignoran), pero siempre son positivos. $y$ ${\ estilo de visualización y_ {L}}$ ${\ Displaystyle y_ {R}}$

Tenga en cuenta que esta expresión, que define , utiliza elementos de los conjuntos izquierdo y derecho del mismo número . De hecho, la definición es inductiva: en cada nuevo paso, se agregan nuevos elementos a los conjuntos izquierdo y derecho, basados en los ya agregados. [7] :21 Esto es bastante natural, si recordamos que solo los números racionales diádicos pueden ser agotados por conjuntos finitos. ${\frac{1}{y))$ $\left({\tfrac {1}{y}}\right)_{L}$ $\left({\tfrac {1}{y}}\right)_{R}$ ${\frac{1}{y))$

Para negativo , el inverso se define como . $y$ ${\frac {1}{y}}=-\left({\frac {1}{-y}}\right)$

Si , entonces el inverso por multiplicación no está definido para él. $y=0$

Consistencia

Se puede demostrar que las definiciones de suma, resta y multiplicación son consistentes en el sentido de que:

la suma y la resta se definen recursivamente en términos de sumas y restas "más simples", de modo que las operaciones con números con cumpleaños n pueden expresarse completamente en términos de sumas y diferencias de números con cumpleaños menores que n;
la multiplicación se define recursivamente en términos de sumas, restas y multiplicaciones "más simples", de modo que los productos de números con cumpleaños n se pueden expresar completamente en términos de sumas y productos de productos de números con cumpleaños menores que n;
si los operandos son formas correctas de números surrealistas (cada elemento del conjunto correcto es menor que cualquier elemento del conjunto correcto), entonces el resultado también será la forma correcta del número surrealista;
todas las operaciones pueden extenderse a números (clases de equivalencia de forma): el resultado de la suma, resta o multiplicación de números xey representará el mismo número, independientemente de la elección de las formas x, y;
estas operaciones satisfacen los axiomas del campo : los axiomas de asociatividad, conmutatividad, elemento opuesto y distributividad, con un elemento neutro por adición 0 = { | } y un elemento neutro por multiplicación 1 = { 0 | }.

Con base en lo anterior, se puede asegurar que los números encontrados en las primeras generaciones fueron nombrados correctamente. La regla de inducción se puede seguir utilizando para obtener más generaciones de números surrealistas:

S 0 = { 0 } S 1 = { −1 < 0 < 1 } S 2 = { −2 < −1 < − 1 / 2 < 0 < 1 / 2 < 1 < 2} S 3 = { -3 < -2 < - 3 / 2 < -1 < - 3 / 4 < - 1 / 2 < - 1 / 4 < 0 < 1 / 4 < 1 / 2 < 3 / 4 < 1 < 3 / 2 < 2 < 3 } S 4 = { -4 < -3 < ... < - 1/8 < 0 < 1/8 < 1/4 < 3/8 < 1/2 < 5/8 < 3/4 < 7/8 < 1 _ _ _ _ _ < 5/4 < 3/2 < 7/4 < 2 < 5/2 < 3 < 4 } _ _

Cierre aritmético

Para cualquier número natural ( ordinal finito ), todos los números en S n son racionales diádicos, es decir, se pueden escribir como una fracción irreducible de la forma donde a y b son números enteros y 0 ≤ b < n . ${\displaystyle {\frac{a}{2^{b))))$

El conjunto de todos los números surrealistas que aparecen en algún S n con n finito se puede denotar como S * = . Es posible formar tres conjuntos S 0 = { 0 }, S + = y S − = , cuya unión será S * . Ningún S n es cerrado bajo la suma y la multiplicación (excepto S 0 ), pero S * lo es; es el subanillo de números racionales que contiene todos los números racionales diádicos. $\cup _{n\in N}S_{n}$ ${x\en S_{*}:x>0}$ ${x\en S_{*}:x<0}$

Hay infinitos ordinales β tales que el conjunto de números surrealistas con un cumpleaños menor que β se cierra bajo operaciones aritméticas. [9] Para cualquier ordinal α, el conjunto de números surrealistas con cumpleaños β = ω α se cierra bajo la suma y forma un grupo; feliz cumpleaños menor que ω ω α se cierra bajo la multiplicación y forma un anillo [10] ; y feliz cumpleaños menor que el número épsilon ε α es cerrado con respecto a tomar el inverso y forma un campo. Estos últimos también son cerrados bajo la función exponencial introducida por Kruskal y Gonchor. [9] [11] :cap. 10 [9]

Sin embargo, siempre es posible construir un número surrealista mayor que cualquier elemento del conjunto (agregando un conjunto al lado izquierdo del constructor), por lo que el conjunto de todos los números surrealistas es su propia clase . Junto con el orden y las operaciones algebraicas, forman un campo ordenado , con la salvedad de que no forman un conjunto. De hecho, es un campo ordenado muy especial: el más grande. Cualquier otro campo ordenado se puede incrustar en números surrealistas. La clase de todos los números surrealistas se denota por . $\mathbf {No}$

Infinito

Definamos S ω como el conjunto de todos los números surrealistas obtenidos usando la regla de construcción usando subconjuntos de S * . (Este es el mismo paso de inducción que antes, y el ordinal ω es el menor ordinal mayor que todos los números naturales; la unión de conjuntos que aparece en el paso de inducción ahora es una unión infinita de conjuntos finitos, y tal paso solo puede hacerse en la teoría de conjuntos que lo permite). Un único, comparado con todo lo que había antes, un número positivo infinitamente grande resulta estar en S ω :

\omega =\{S_{*}|\}=\{1,2,3,4,...|\}.

S ω también contiene objetos que son números racionales . Por ejemplo, la forma ω-completa de 1/3 es :

{\tfrac {1}{3}}=\{y\en S_{*}:3y<1\mid y\en S_{*}:3y>1\}

El producto de esta forma 1/3 con cualquier forma 3 es una forma cuyo conjunto izquierdo contiene solo números menores que 1 y cuyo conjunto derecho contiene solo números mayores que 1; y de la propiedad del cumpleaños se sigue que este producto es entonces una forma del número 1.

No solo aparecen todos los demás números racionales en S ω ; todos los números reales que faltan también. Por ejemplo,

\pi =\{3,{\frac {25}{8)),{\frac {201}{64)),...|4,{\frac {7}{2)),{ \frac{13}{4)),{\frac {51}{16}},...\}

Existe cierta conexión entre estas construcciones y las secciones de Dedekind.Conway básicamente describe todas las construcciones de números surrealistas como una generalización de la idea de las secciones de Dedekind. [12]

Los únicos infinitos en S ω son ω y −ω; pero hay otros números inválidos en S ω que están "entre" los reales. Considere el número positivo más pequeño en S ω :

\varepsilon =\{S_{-}\cup S_{0}|S_{+}\}=\{0|1,{\tfrac {1}{2)),{\tfrac {1}{ 4)),{\tfrac{1}{8}},...\}=\{0|y\in S_{*}:y>0\}

Este número es mayor que cero, pero menor que todos los números racionales binarios. Esto significa que es un número infinitesimal , a menudo denotado por ε. La forma ω-completa de ε (respectivamente -ε) es la misma que la forma ω-completa de 0, excepto que 0 está incluido en el conjunto izquierdo (respectivamente, derecho). Los únicos infinitesimales "reales" en S ω son ε y su opuesto además -ε; su suma con cualquier número racional diádico y forma los números y ±ε, que también están contenidos en S ω .

Puedes descubrir la relación entre ω y ε multiplicando ciertas formas y obteniendo:

ω · ε = { ε · S + | ω · S + + S * + ε · S * }.

Esta expresión solo se define en la teoría de conjuntos, que permite la inducción transfinita hasta . En tal sistema, se puede demostrar que todos los elementos del conjunto de la izquierda ω ε son números infinitesimales positivos, y todos los elementos del conjunto de la derecha son números positivos infinitamente grandes, y entonces ω ε debe ser el número positivo más antiguo, es decir, 1. Por lo tanto, $S_{\omega^{2))$

1 / ε = ω.

Algunos autores utilizan sistemáticamente ω −1 en lugar del símbolo ε.

Contenido S ω

Para cualquier x = { L | R } en S ω , exactamente uno de los siguientes es verdadero:

L y R están vacíos, en este caso x = 0;
R está vacío y algún número entero n ≥0 es mayor que cualquier número en L , en cuyo caso x es igual al menor de tales números n ;
R está vacío y no hay ningún número entero n mayor que cualquier número en L , en cuyo caso x es +ω;
L está vacío y algún número entero n ≤0 es menor que cualquier número en R , en cuyo caso x es igual al mayor número n ;
L está vacío y no hay ningún entero n menor que ningún número en R , en cuyo caso x es −ω;
L y R no están vacíos y:
- algunos números racionales diádicos y están estrictamente entre L y R (mayores que todos los elementos de L y menores que todos los elementos de R ), en cuyo caso x es igual al número racional diádico más antiguo y ;
- no hay números racionales diádicos y que se encuentren estrictamente entre L y R , pero algún número racional diádico es mayor o igual que todos los elementos de L y menor que todos los elementos de R , en cuyo caso x es igual a y + ε; ${\ estilo de visualización y \ en L}$
- no hay números racionales diádicos y que se encuentren estrictamente entre L y R , pero algún número racional diádico es mayor que todos los elementos de L y menor o igual que todos los elementos de R , en cuyo caso x es igual a y − ε; ${\ estilo de visualización y \ en R}$
- todo número racional diádico es mayor que algún elemento de R o menor que algún elemento de L , en cuyo caso x es un número real que no puede representarse como un número racional diádico.

S ω no es un campo algebraico porque no está cerrado bajo operaciones aritméticas; por ejemplo ω+1, cuya forma no representa ningún número en S ω . El subconjunto más grande S ω que se cierra bajo (aplicaciones finitas de) operaciones aritméticas es el campo de números reales obtenido descartando ±ω, infinitesimales ±ε e infinitesimales “vecinos” y ±ε de racionales diádicos distintos de cero y . ${\displaystyle \{1,2,3,4,...|\}+\{0|\}=\{1,2,3,4,...,\omega |\))$

Esta construcción de los números reales difiere de los cortes de Dedekind en el análisis clásico en que comienza con números racionales diádicos en lugar de todos los números racionales, y también identifica naturalmente los números racionales diádicos en S ω con sus formas en generaciones anteriores. (las formas ω-completas de los elementos reales de S ω corresponden únicamente a los números reales obtenidos utilizando las secciones de Dedekind, siempre que los reales de Dedekind correspondientes a los números racionales estén representados por una forma en la que este número no esté incluido ni en la izquierda ni en la conjuntos correctos). Los números racionales no son una etapa especial e identificable en la construcción de números surrealistas; son simplemente un subconjunto Q de S ω que contiene todo x tal que xb = a para algún a y algún b distinto de cero , ambos tomados de S * . Al mostrar que Q es cerrado bajo operaciones aritméticas surrealistas, demostramos que es un campo; y al mostrar que cada elemento de Q es alcanzable desde S * mediante una cadena finita de (de hecho, no más de dos) operaciones aritméticas, incluido el elemento inverso , demostramos que Q es estrictamente menor que el subconjunto S ω identificado con los números reales.

El conjunto S ω tiene la misma cardinalidad que el conjunto de los números reales ℝ. Esto se puede demostrar construyendo aplicaciones sobreyectivas desde S ω hasta el intervalo unitario cerrado I en ℝ y viceversa. El mapeo de S ω a I es trivial; asigne números menores o iguales a ε (incluido −ω) a 0, números mayores o iguales a 1−ε (incluido ω) a 1, y números entre ε y 1−ε a sus equivalentes en I (mapeando vecinos infinitamente cercanos y ±ε de cada número racional diádico y junto con el mismo y en y ) . Para asignar I a S ω , asigne el tercio central (abierto) (1/3, 2/3) del conjunto I a { | } = 0; tercio central (7/9, 8/9) del tercio restante derecho en { 0 | } = 1; y así. Esto asigna todos esos intervalos a todos los elementos de S * y de forma monótona. Lo que queda en I es el conjunto de Cantor 2 ω , cada punto del cual se determina de manera única dividiendo los tercios centrales en izquierdo y derecho, lo que corresponde exactamente a la forma { L | R } en S ω . Esto pone al conjunto de Cantor en una correspondencia uno a uno con el conjunto de números de cumpleaños surrealistas ω.

Inducción transfinita

Continuando con la inducción transfinita para S ω , obtenemos nuevos ordinales α, cada uno de los cuales está representado por el número de cumpleaños surrealista más grande α. (Esencialmente, esta es la definición de ordinales como resultado de la inducción transfinita). El primer ordinal de este tipo es ω+1 = { ω | }. También hay otro nuevo número infinito positivo en la generación ω+1:

ω−1 = { 1, 2, 3, 4, … | ω}.

El número surrealista ω−1 no es un ordinal; el ordinal ω no sigue a ningún ordinal. Es un número surrealista con cumpleaños ω+1, se llama ω−1 porque es igual a la suma de los números ω = { 1, 2, 3, 4, … | } y −1 = { | 0}. Del mismo modo, hay dos nuevos infinitesimales en la generación ω+1:

2ε = ε + ε = { ε | 1+ε, 1/2 +ε, 1/4 + ε , 1/8 + ε , … } y ε/2 = ε · 1 / 2 = { 0 | ε}.

En una etapa posterior de la inducción transfinita, aparece un número mayor que ω + k para cualquier número natural k :

2ω = ω + ω = { ω+1, ω+2, ω+3, ω+4, … | }

Este número se llama ω + ω porque su cumpleaños es ω + ω (el primer ordinal no derivado de ω por múltiplos tomando el siguiente número) y porque coincide con la suma surrealista de ω y ω; también se le puede llamar 2ω porque es lo mismo que el producto de números ω = { 1, 2, 3, 4, … | } y 2 = { 1 | }. Este es el segundo límite ordinal; derivarlo de ω usando la regla de construcción requiere inducción transfinita en . Esto requiere una unión infinita de conjuntos infinitos, que es una operación teórica de conjuntos "más fuerte" que cualquier cosa requerida anteriormente para la inducción transfinita. ${\displaystyle \bigcup _{k<\omega }S_{\omega +k))$

Tenga en cuenta que los resultados de la suma y multiplicación ordinaria de ordinales no siempre coinciden con el resultado de realizar estas operaciones con sus representaciones surrealistas. La suma de ordinales 1 + ω es igual a ω, y la suma surrealista es conmutativa, y 1 + ω = ω + 1 > ω es cierto para ella. La suma y multiplicación de números surrealistas correspondientes a ordinales coincide con la suma natural y el producto natural de ordinales .

Así como 2ω es mayor que ω + n para cualquier número natural n , existe un número surrealista ω/2 que es infinitamente grande pero menor que ω − n para cualquier número natural n . ω/2 se define como

ω/2 = { S * | ω − S * },

donde en el lado derecho la notación x − Y se usa en el sentido de { x − y : y en Y }. Esto coincide con el producto de ω y la forma { 0 | 1 } números 1 / 2 . El cumpleaños del número ω / 2 es el ordinal límite ω2 (o, de manera equivalente, ω + ω).

Véase también

Notas

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↑ Alling, Norman L. (1962), Sobre la existencia de campos reales cerrados que son η α -conjuntos de potencia ℵ α , Trans. amer Matemáticas. soc. T. 103: 341–352 , DOI 10.1090/S0002-9947-1962-0146089-X .
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↑ De aquí en adelante, se usa la palabra universo en lugar de la palabra conjunto, ya que los números surrealistas no forman conjuntos, y el uso de la palabra clase puede crear confusión con las clases de equivalencia.
↑ 1 2 3 van den Dries, Lou; Ehrlich, Felipe. Campos de números surrealistas y exponenciación (inglés) // Fundamenta Mathematicae : revista. - Warszawa: Instituto de Matemáticas de la Academia Polaca de Ciencias, 2001. - Enero ( vol. 167 , no. 2 ). - pág. 173-188 . — ISSN 0016-2736 . doi : 10.4064 / fm167-2-3 . Archivado desde el original el 21 de octubre de 2016.
↑ El conjunto de números racionales diádicos constituye el grupo no trivial más simple y un anillo de este tipo; consiste en números surrealistas con un cumpleaños menor que ω = ω 1 = ω ω 0 .
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↑ Conway describe este pensamiento en su conferencia Archivado el 9 de noviembre de 2020 en Wayback Machine aproximadamente de 0:16:30 a 0:19:30

Literatura

en ruso

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en otros idiomas

Exposición original de Donald Knuth : Números surrealistas: cómo dos exalumnos recurrieron a las matemáticas puras y encontraron la felicidad total , 1974, ISBN 0-201-03812-9 . Se puede encontrar más información en la página de inicio oficial del libro .
Una actualización del libro clásico de 1976 que define los números surrealistas y explora sus conexiones con los juegos: John Conway, On Numbers And Games , 2nd ed., 2001, ISBN 1-56881-127-6 .
Una actualización de la primera parte del libro de 1981 que presentaba números surrealistas y el análisis de juegos a un público más amplio: Berlekamp, Conway y Guy, Winning Ways for Your Mathematical Plays , vol. 1, 2ª ed., 2001, ISBN 1-56881-130-6 .
Martin Gardner , Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers, W. H. Freeman & Co., 1989, ISBN 0-7167-1987-8 , Capítulo 4. Una descripción general no técnica; reimpresión del artículo de Scientific American de 1976 .
Polly Shulman, "Infinity Plus One, and Other Surreal Numbers" , Discover , diciembre de 1995.
Un tratamiento detallado de los números surrealistas: Norman L. Alling, Foundations of Analysis over Surreal Number Fields , 1987, ISBN 0-444-70226-1 .
Un tratamiento de los surrealistas basado en la realización de expansión de signos: Harry Gonshor, Introducción a la teoría de los números surrealistas , 1986, ISBN 0-521-31205-1 .
Un desarrollo filosófico detallado del concepto de números surrealistas como un concepto más general de número: Alain Badiou , Number and Numbers , Nueva York: Polity Press, 2008, ISBN 0-7456-3879-1 (rústica), ISBN 0-7456- 3878-3 (tapa dura).

Enlaces

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Claus Trueno. Números Surrealistas - Introducción Versión 1.7 (ing.) (pdf). tondering.dk (31 de enero de 2019). Consultado el 24 de febrero de 2019. Archivado desde el original el 21 de noviembre de 2015.
Número surrealista (inglés) . PlanetMath . Consultado el 4 de junio de 2017. Archivado desde el original el 1 de diciembre de 2011.
Números surrealistas . Buenas matemáticas, malas matemáticas (3 de mayo de 2007). — Una serie de artículos sobre números surrealistas y sus variaciones. Consultado el 4 de junio de 2017. Archivado desde el original el 12 de septiembre de 2016.
John Conway: Surreal Numbers - Cómo los juegos llevaron a más números de los que nadie pensó en YouTube

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