Ecuación cinética de Boltzmann

La ecuación de Boltzmann ( ecuación cinética de Boltzmann ) es una ecuación que lleva el nombre de Ludwig Boltzmann , quien la consideró por primera vez, y describe la distribución estadística de partículas en un gas o líquido . Es una de las ecuaciones más importantes de la cinética física (un campo de la física estadística que describe sistemas que están lejos del equilibrio termodinámico, por ejemplo, en presencia de gradientes de temperatura y un campo eléctrico ). La ecuación de Boltzmann se utiliza para estudiar el transporte de calor y carga eléctrica en líquidos y gases, y de ella se derivan propiedades de transporte como la conductividad eléctrica , el efecto Hall , la viscosidad y la conductividad térmica . La ecuación es aplicable para sistemas enrarecidos, donde el tiempo de interacción entre partículas es corto ( hipótesis del caos molecular ).

Redacción

La ecuación de Boltzmann describe la evolución temporal de la función de distribución en un espacio de fase de una sola partícula , donde y son la coordenada , el momento y el tiempo , respectivamente. La distribución se define de modo que $f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ,t)$ $\mathbf{x}$ ${\ matemáticas {p}}$ $t$

f({\mathbf {x}},{\mathbf {p}},t)\,d^{3}x\,d^{3}p

es proporcional al número de partículas en el espacio de fase en el tiempo . Ecuación de Boltzmann $d^{3}x\,d^{3}p$ $t$

{\frac {\parcial f}{\parcial t))+{\frac {\parcial f}{\parcial \mathbf {x} ))\cdot {\frac {\mathbf {p} }{m ))+{\frac {\parcial f}{\parcial \mathbf {p} }}\cdot \mathbf {F} =\left.{\frac {\parcial f}{\parcial t))\right|_ {\mathrm {coll} }.

Aquí está el campo de fuerzas que actúan sobre las partículas en un líquido o gas, y es la masa de las partículas. El término del lado derecho de la ecuación se agrega para tener en cuenta las colisiones entre partículas y se denomina integral de colisión . Si es cero, entonces las partículas no chocan en absoluto. Este caso a menudo se conoce como la ecuación de Liouville de una partícula . Si el campo de fuerza se reemplaza por un campo autoconsistente apropiado dependiendo de la función de distribución , entonces obtenemos la ecuación de Vlasov que describe la dinámica de las partículas de plasma cargadas en un campo autoconsistente. La ecuación clásica de Boltzmann se usa en física de plasma , así como en física de semiconductores y metales (para describir fenómenos cinéticos, es decir, carga o transferencia de calor, en un fluido de electrones ). ${\ estilo de visualización \ mathbf {F} (\ mathbf {x}, t)}$ $metro$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {F} (\ mathbf {x}, t)}$ $F$

En la mecánica hamiltoniana , la ecuación de Boltzmann a menudo se escribe en una forma más general

{\sombrero {{\mathbf {L}}}}[f]={\mathbf {C}}[f]

donde es el operador de Liouville que describe la evolución del volumen del espacio de fase y es el operador de colisión. La forma no relativista del operador es la siguiente $\mathbf{L}$ ${\ matemáticas {C}}$ $\mathbf{L}$

{\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {NR} }={\frac {\parcial }{\parcial t))+{\frac {\mathbf {p} }{m} }\cdot \nabla _{\mathbf {x} }+\mathbf {F} \cdot \nabla_{\mathbf {p} },

y en la teoría general de la relatividad

{\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {GR} }=\sum _{\alpha }p^{\alpha }{\frac {\parcial }{\parcial x^{\ alfa ))}-\sum _{\alpha \beta \gamma }\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }p^{\beta }p^{\gamma }{\frac {\parcial }{ \parcial p^{\alfa}}},

¿ Dónde está el símbolo de Christoffel ? $\Gama$

Integral de colisión

Las colisiones entre partículas conducen a un cambio en sus velocidades. Si especifica la probabilidad de dispersión de partículas de un estado con velocidad a un estado con velocidad , entonces la integral de colisión para partículas clásicas se escribe como $W({\mathbf {v)),{\mathbf {v))^{\prime })d^{3}v^{\prime }dt$ ${\mathbf {v))$ ${\mathbf {v}}^{\principal}$

\left.{\frac {\f parcial}{\t parcial}}\right|_{{coll}}=\int _{({\mathbf {v}}^{\prime }}}[f(t ,{\mathbf {r)),{\mathbf {v}}^{\prime })W({\mathbf {v}}^{\prime },{\mathbf {v}})-f(t, {\mathbf {r)),{\mathbf {v}})W({\mathbf {v}},{\mathbf {v}}^{\prime })]d^{3}v^{\prime }

En el caso de la naturaleza cuántica de la estadística de partículas, esta expresión se complica por la imposibilidad de que dos partículas se encuentren en un estado con los mismos números cuánticos, y por tanto es necesario tener en cuenta la imposibilidad de dispersarse en estados ocupados.

Aproximación del tiempo de relajación

La ecuación de Boltzmann es una ecuación diferencial parcial integro-diferencial compleja . Además, la integral de colisión depende del sistema específico, del tipo de interacción entre las partículas y de otros factores. Encontrar características comunes de los procesos que no están en equilibrio no es una tarea fácil. Sin embargo, se sabe que en el estado de equilibrio termodinámico la integral de colisión es igual a cero. De hecho, en un estado de equilibrio en un sistema homogéneo en ausencia de campos externos, todas las derivadas del lado izquierdo de la ecuación de Boltzmann son iguales a cero, por lo que la integral de colisión también debe ser igual a cero. Para pequeñas desviaciones del equilibrio, la función de distribución se puede representar como

{\ Displaystyle f = f_ {0} + f_ {1}}

donde es la función de distribución de equilibrio, que se conoce de la termodinámica y depende solo de las velocidades de las partículas, y es una pequeña desviación. $f_{0}({\mathbf {v}})$ $f_{1}$

En este caso, se puede expandir la integral de colisión en una serie de Taylor con respecto a la función y escribirla de la forma: $f_{1}$

\left.{\frac {\f parcial}{\t parcial}}\right|_{\mathrm {coll} }=-{\frac {f_{1}}{\tau }}=-{ \frac{f-f_{0}}{\tau}}

¿ Dónde está el tiempo de relajación ? Esta aproximación se denomina aproximación del tiempo de relajación o modelo integral de colisión de Bhatnagar-Gross-Krook . El tiempo de relajación incluido en la ecuación de Boltzmann depende de la velocidad de la partícula y, en consecuencia, de la energía. El tiempo de relajación se puede calcular para un sistema específico con procesos de dispersión de partículas específicos. $\tau$

La ecuación de Boltzmann en la aproximación del tiempo de relajación se escribe como

{\frac {\f parcial}{\t parcial) _{)+{\mathbf {v))\cdot \nabla f+{\frac ({\mathbf {F))}{m))\cdot \nabla{ {\mathbf {v}}}}f=-{\frac {f-f_{0}}{\tau }}

Derivación de la ecuación de Boltzmann

La derivación microscópica de la ecuación de Boltzmann a partir de primeros principios (basada en la ecuación exacta de Liouville para todas las partículas del medio) se realiza terminando la cadena de ecuaciones de Bogolyubov al nivel de la función de correlación de pares para clásica [1] y cuántica [2 ] sistemas. La contabilidad en la cadena de ecuaciones cinéticas para funciones de correlación de un orden superior le permite encontrar correcciones a la ecuación de Boltzmann [3] .

Véase también

Notas

↑ Bogolyubov N. N. Kinetic Equations (neopr.) // Journal of Experimental and Theoretical Physics . - 1946. - T. 16 (8) . - S. 691-702 .
↑ Bogolyubov N. N. , Gurov K. P. Ecuaciones cinéticas en mecánica cuántica (neopr.) // Journal of Experimental and Theoretical Physics . - 1947. - T. 17 (7) . - S. 614-628 .
↑ Método de Shelest A. V. Bogolyubov en la teoría dinámica de ecuaciones cinéticas. — M.: Nauka, 1990. 159 p. ISBN 5-02-014030-9 .

Enlaces

5 libros sobre Boltzmann y su ecuación Archivado el 24 de febrero de 2013 en Wayback Machine .

Literatura

Cherchinyani K. Teoría y aplicaciones de la ecuación de Boltzmann. — M .: Mir, 1978. — 495 p.
edición Liebovitz JL, Montroll EW Fenómenos de no equilibrio: la ecuación de Boltzmann. — M .: Mir, 1986. — 272 p.
Carleman T. Problemas matemáticos de la teoría cinética de los gases. - M. : IL, 1960. - 120 p.

diccionarios y enciclopedias	Gran danés gran chino Britannica (en línea)
En catálogos bibliográficos	NKC : ph548971