Ecuación de Pauli

La ecuación de Pauli es una ecuación de mecánica cuántica no relativista que describe el movimiento de una partícula cargada con espín 1/2 (por ejemplo, un electrón ) en un campo electromagnético externo . Propuesto por Pauli en 1927 . No debe confundirse con la ecuación cinética básica , también llamada a veces ecuación de Pauli.

La ecuación de Pauli es una generalización de la ecuación de Schrödinger , que tiene en cuenta la presencia del propio momento angular mecánico de una partícula: el espín. Una partícula con giro 1/2 puede estar en dos estados de giro diferentes con proyecciones de giro +1/2 y −1/2 en alguna dirección (elegida arbitrariamente), generalmente tomada como el eje z . De acuerdo con esto, la función de onda de una partícula (donde r es la coordenada de la partícula, t es el tiempo ) es de dos componentes: $\psi (r,t)$

\psi (r,t)={\begin{pmatrix}\psi _{1}(r,t)\\\psi _{2}(r,t)\end{pmatrix}}.

Cuando los ejes de coordenadas se giran , y se transforman como componentes espinores . En el espacio de las funciones de onda de espinor, el producto escalar y tiene la forma $\psi_{1}$ $\psi_{2}$ $\psi$ $\psi'$

(\psi ',\psi )=\int (\psi '_{1}\psi _{1}+\psi '_{2}\psi _{2})dr,

Los operadores de cantidades físicas son matrices de 2x2 que, para cantidades (observables) independientes del espín, son múltiplos de la matriz identidad.

En virtud de las leyes generales de la electrodinámica, un sistema cargado eléctricamente con un momento de espín distinto de cero también tiene un momento magnético proporcional a : (g es la relación giromagnética ). Para el momento orbital , donde e es la carga, m es la masa de la partícula; la relación giromagnética de espín resulta ser el doble de grande: . En un campo magnético externo de fuerza , el momento magnético tiene una energía potencial , cuya suma al hamiltoniano H de un electrón en un campo electromagnético externo con potenciales y A conduce a la ecuación de Pauli: ${\ vec {s}}$ ${\ vec {s}}$ ${\vec {\mu}}=g{\vec {s}}$ $g={e\sobre 2mc}$ $g={e\sobre mc}$ ${\ vec {B}}$ $U=-{\vec {\mu}}\ {\vec {B}}$ $\fi$

i\hbar {\parcial \psi \over \partial t}={{\hat {\mathcal {H))}\psi \ }=\left[{1 \over 2m}({\hat {p }}-{e \over c}A{\hat {I}})^{2}+e\varphi {\hat {I}}-{{e\hbar } \over 2mc}({\hat {\ sigma )){\vec {B)))\right]\psi

donde es el operador de cantidad de movimiento, es el operador unitario y es proporcional al operador de espín: . ${\ sombrero p}$ ${\ que yo}$ ${\ sombrero \ sigma}$ ${\sombrero}={\hbar\sobre 2}{\sombrero\sigma}$

Inicialmente propuesta sobre la base de consideraciones heurísticas, la ecuación de Pauli resultó ser una consecuencia natural de la ecuación de Dirac relativistamente invariante en la aproximación débilmente relativista, en la que solo se toman los primeros términos de la expansión en potencias recíprocas de la velocidad de la luz. en cuenta. Si la fuerza del campo magnético externo no depende de las coordenadas espaciales, entonces el movimiento orbital de la partícula y el cambio en la orientación de su espín ocurren de manera independiente. En este caso, la función de onda tiene la forma , donde es una función escalar que obedece a la ecuación de Schrödinger, y el espinor satisface la ecuación $\psi (r,t)=\Phi (r,t)\chi (t)$ $\phi (r,t)$ $\chi ={\begin{pmatrix}\chi _{1}\\\chi _{2}\end{pmatrix}}$

i\hbar {\parcial \chi \over \partial t}=-{{e\hbar } \over 2mc}(\sigma {\vec {B)))\chi .

De esta ecuación se deduce que el valor medio del espín tiene una precesión alrededor de la dirección del campo magnético: $\langle s\rangle =~{\hbar \over 2}(\chi +\sigma \chi )$

{\frac {d}{dt}}\langle s\rangle =-\omega _{B}[{\vec {n}}\langle s\rangle].

Aquí , es la frecuencia del ciclotrón y es el vector unitario a lo largo del campo magnético. Basándose en la ecuación de Pauli, la división de los niveles de electrones en un átomo en un campo magnético externo se puede calcular teniendo en cuenta el espín ( efecto Zeeman ). Sin embargo, los efectos relativistas más finos en los átomos debidos al espín del electrón solo pueden describirse teniendo en cuenta los términos superiores de la expansión de la ecuación relativista de Dirac en potencias recíprocas de la velocidad de la luz. $\omega _{B}={eB \sobre mc}$ ${\vec{n}}$

Literatura

Blokhintsev D. I. Fundamentos de la mecánica cuántica. - 5ª ed. - M .: Nauka, 1976. - 664 p., párrafo 62.
Davydov A. S. Mecánica cuántica. - 2ª ed. - M .: Nauka, 1973. - 704 p., párrafo 63.
Pauli V. Principios generales de la mecánica ondulatoria. - M.-L.: OGIZ, 1947. - 332 p.
Berestetsky V. B. , Lifshits E. M. , Pitaevsky L. P. Electrodinámica cuántica. - 4ª edición, revisada. — M .: Fizmatlit , 2002. — 720 p. - (" Física Teórica ", Tomo IV). — ISBN 5-9221-0058-0 .
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