Ecuación diofántica

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Una ecuación diofántica (también una ecuación en números enteros ) es una ecuación de la forma

P(x_{1},\puntos,x_{m})=0,

donde es una función entera , por ejemplo, un polinomio con coeficientes enteros, y las variables toman valores enteros. La ecuación "Diofantina" lleva el nombre del antiguo matemático griego Diofanto . $PAGS$ $x_{yo}$

Además, al considerar el tema de la capacidad de resolución, las variables a menudo se dividen en parámetros (cuyos valores se supone que son fijos) e incógnitas. Entonces la ecuacion

P(a_{1},\puntos,a_{n},x_{1},\puntos,x_{m})=0,

con parámetros e incógnitas se considera resoluble para los valores dados del conjunto de parámetros si existe un conjunto de números para los cuales esta igualdad se cumple. $a_{1},\puntos,a_{n}$ ${\displaystyle x_{1},\puntos,x_{m))$ ${\ estilo de visualización (a_ {1}, \ puntos, a_ {n})}$ ${\ estilo de visualización (x_ {1}, \ puntos, x_ {m})}$

Por lo tanto, las ecuaciones diofánticas se denominan ecuaciones con coeficientes enteros para las que se requiere encontrar soluciones enteras (o naturales). En este caso, el número de incógnitas en la ecuación debe ser al menos dos [1] . Las ecuaciones obtuvieron su nombre en honor al destacado matemático antiguo Diofanto de Alejandría , quien se cree que fue el primero en estudiar sistemáticamente ecuaciones indefinidas y describir métodos para resolverlas [2] . Todos los registros supervivientes se recopilan en el libro "Aritmética" [3] . Después de Diofanto, los matemáticos hindúes llevaron a cabo un estudio similar de ecuaciones indefinidas, comenzando alrededor del siglo V [4] . En Europa, prácticamente todos los grandes algebristas de su época se dedicaron a resolver ecuaciones indefinidas: Leonardo Fibonacci (c. 1170-1250), Francois Viet (1540-1603), Simon Stevin (c. 1549-1620) [5] .

El problema de resolver ecuaciones en números enteros se considera hasta el final para ecuaciones con una incógnita, así como para ecuaciones de primer y segundo grado con dos incógnitas.

Ejemplos

$x^{n}+y^{n}=z^{n}$ :
- Las soluciones de esta ecuación son las ternas pitagóricas . $n=2$
- Según el último teorema de Fermat , esta ecuación no tiene soluciones enteras distintas de cero para . $n>2$
$\sum \limits _{{k=1}}^{{n-1}}a_{k}^{n}=a_{n}^{n}$ - La hipótesis de Euler establece que para cualquier número natural n > 2 esta ecuación es irresoluble en números naturales , es decir, ninguna potencia n de un número natural puede representarse como una suma de potencias n - 1 de otros números naturales. La hipótesis es una generalización del último teorema de Fermat, pero fue refutada para n = 4 y n = 5, tras lo cual se planteó la conjetura de Lander-Parkin-Selfridge . $a_{1},a_{2},\puntos,a_{n}$
$x^{2}-ny^{2}=1$ , donde el parámetro n no es un cuadrado exacto - ecuación de Pell .
$x^{z}-y^{t}=1$ , donde , es la ecuación catalana , que tiene solución única . $z,t>1$ ${\ estilo de visualización 3^{2}-2^{3}=1}$
$\sum_{{i=0}}^{n}a_{i}x^{i}y^{{ni}}=c$ para y es la ecuación de Thue . $n\geq 3$ $c\neq 0$

Ecuaciones diofánticas lineales

Vista general de la ecuación diofántica lineal :

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots +a_{k}x_{k}=d.

En particular, una ecuación diofántica lineal con dos incógnitas tiene la forma:

ax+by=c.\qquad (1)

Si (es decir, el máximo común divisor no divide a ), entonces la ecuación (1) no se puede resolver en números enteros. De hecho, si , entonces el número de la izquierda en (1) es divisible por , pero el número de la derecha no lo es. Lo contrario también es cierto: si la ecuación se cumple , entonces se puede resolver en números enteros. $(a,b)\nen medio de c$ $(a,\;b)$ $C$ $(a,\;b)\neq 1$ $(a,\;b)$ $hacha+por=c$ $(a,b)\mid c$

Sea una solución particular de la ecuación . Entonces todas sus soluciones se encuentran mediante las fórmulas: $(x_{0},\;y_{0})$ $hacha+por=c$

{\begin{casos}x=x_{0}-n{\frac {b}{(a,\;b)}}\\y=y_{0}+n{\frac {a}{ (a,\;b)}}\end{casos}}\quad n\in \mathbb {Z} .

Una solución particular se puede construir de la siguiente manera. Si y es divisible por , luego de dividir todos los coeficientes por la ecuación toma la forma , donde . Para la última ecuación se obtiene una solución particular a partir de la relación de Bezout para : $(x_{0},\;y_{0})$ $(a,b)\neq 1$ $C$ $(a, b)$ $(a, b)$ $a_{1}x+b_{1}y=c_{1}$ $(a_{1},b_{1})=1$ ${\ estilo de visualización a_ {1}, b_ {1}}$

ua_{1}+vb_{1}=1,

de donde se puede poner $(x_{0},\;y_{0})=(c_{1}\cdot u,\;c_{1}\cdot v).$

Existe una fórmula explícita para una serie de soluciones de una ecuación lineal [6] :

{\begin{casos}x_{t}=ca^{\varphi (b)-1}+bt,\\y_{t}=c{\frac {1-a^{\varphi (b) }}{b}}-en,\end{casos}}

donde es la función de Euler y t es un parámetro entero arbitrario. $\varphi (\cdot)$

Ecuaciones algebraicas diofánticas

Al considerar la cuestión de la resolución de las ecuaciones algebraicas diofánticas, se puede utilizar el hecho de que cualquier sistema de tales ecuaciones puede transformarse en una ecuación diofántica de grado máximo 4 en números enteros no negativos, resoluble si y solo si el sistema original es solucionable (en este caso, el conjunto de variables y el conjunto de soluciones de esta nueva ecuación pueden resultar completamente diferentes).

Conjuntos diofánticos

Un conjunto diofántico es un conjunto formado por conjuntos ordenados de n enteros, para los cuales existe una ecuación algebraica diofántica:

P(a_{1},\puntos,a_{n},x_{1},\puntos,x_{m})=0,

que es resoluble si y solo si el conjunto de números pertenece a este conjunto. La ecuación diofántica bajo consideración se llama la representación diofántica de este conjunto. Un resultado importante obtenido por Yu.V. Matiyasevich es que todo conjunto enumerable tiene una representación diofántica [7] . ${\ estilo de visualización (a_ {1}, \ puntos, a_ {n})}$

Indecidibilidad general

El décimo problema de Hilbert , formulado en 1900 , consiste en encontrar un algoritmo para resolver ecuaciones algebraicas arbitrarias de Diofanto. En 1970 , Yu.V.Matiyasevich demostró la imposibilidad de resolver algorítmicamente este problema. [ocho]

Ecuaciones diofánticas exponenciales

Si una o más variables en una ecuación diofántica están incluidas en la expresión del exponente de elevar a una potencia , tal ecuación diofántica se llama exponencial .

Ejemplos:

Ecuación de Ramanujan-Nagel
Ecuaciones de hipótesis de Fermat-Catalana
la hipótesis de beal

No existe una teoría general para resolver tales ecuaciones; Se han investigado casos especiales, como la Hipótesis catalana . Sin embargo, la mayoría de estas ecuaciones aún logran ser resueltas por métodos especiales, como el teorema de Sturmer o incluso prueba y error .

Véase también

Notas

↑ . Abakumova SI, Guseva AN Ecuaciones diofánticas Investigación fundamental y aplicada en el mundo moderno. - 2014. - V. 1, N° 6. - S. 133-137.
↑ Bashmakova I. G. Diofántina y ecuaciones diofánticas - Moscú: Nauka, 1972. - 68 p.
↑ Zhmurova, I. Yu. Ecuaciones diofánticas: desde la antigüedad hasta el presente. Joven científico. - 2014. - Nº 9. -S. 1-5
↑ Kozhaev, Yu. P. El matemático griego Diofanto y las ecuaciones de Diofanto. Materiales de la IV Conferencia científica y práctica de toda Rusia "Cultura y sociedad: historia y modernidad" - Stavropol: AGRUS. - 2015. - S. 150-154.
↑ Melnikov R. A. Breve reseña de las etapas de desarrollo de las ecuaciones diofánticas. Actas de la conferencia científico-práctica internacional "Matemáticas: investigación y educación fundamentales y aplicadas" - Ryazan: editorial de la Universidad Estatal Rusa. S. A. Yesenina, 2016. - S. 429-435.
↑ Vorobyov N. N. Signos de divisibilidad . - M. : Nauka, 1988. - S. 60. - 96 p. - ( Clases populares de matemáticas ).
↑ Conjunto diofántico : artículo de Encyclopedia of Mathematics . Yu. V. Matiyasevich
↑ El décimo problema de Matiyasevich Yu. V. Hilbert . — M .: Nauka, 1993.

Enlaces

Bashmakova, Isabella G. Diofánticas y ecuaciones diofánticas. M.: Nauka, 1972. Traducción al alemán: Diophant und diophantische Gleichungen . Birkhauser, Basilea/Stuttgart, 1974. Traducción al inglés: Diofanto y Ecuaciones Diofánticas . Traducido por Abe Shenitzer con la asistencia editorial de Hardy Grant y actualizado por Joseph Silverman. Las Exposiciones Matemáticas Dolciani, 20. Asociación Matemática de América, Washington, DC. 1997.
Bashmakova, Isabella G., Slavutin E.I. Una historia del análisis diofántico desde Diofanto hasta Fermat . Moscú: Nauka, 1984.
Bashmakova, Izabella G. "Diophante et Fermat", Revue d'Histoire des Sciences 19 (1966), págs. 289-306
Bashmakova, Izabella G. "Aritmética de curvas algebraicas de Diofanto a Poincaré", Historia Mathematica 8 (1981), 393-416.
Gelfond AO Solución de ecuaciones en números enteros . - M. : Nauka, 1978. - ( Conferencias populares sobre matemáticas ).
Mikhailov, I. Sobre el análisis diofántico , Kvant . - 1980. - Nº 6 . - S. 16-17.35 .
Rashed, Roshdi, Houzel, Christian. Les Arithmétiques de Diophante: Lecture historique et mathématique , Berlín, Nueva York: Walter de Gruyter, 2013.
Rashed, Roshdi, Histoire de l'analyse diophantienne classique: D'Abū Kāmil à Fermat , Berlín, Nueva York: Walter de Gruyter.
Serpinsky VN Sobre la solución de ecuaciones en números enteros . - M. : Fizmatlit, 1961. - 88 p.
Stepanov S. A. Ecuaciones diofánticas // Tr. MIAN URSS. - 1984. - T. 168 . — págs. 31–45 .
Weisstein, Eric W. Diophantine Equation (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .