Radio de llenado
El radio de sensación es una característica métrica de una variedad de Riemann .
Propuesto por Gromov en 1983. Usó el radio de llenado para probar la desigualdad sistólica para las variedades esenciales .
Curvas en el plano
El radio de relleno ( ) de una curva cerrada C en el plano se define como el radio más grande de un círculo contenido dentro de la curva.
El radio de relleno de una curva C también se puede definir como el mínimo mínimo de tales que la curva C se contrae hasta un punto en su vecindad.
Definición
Denotemos por A el anillo o , dependiendo de si X es orientable o no.
Entonces la clase fundamental , denotada [X] , de una variedad compacta n - dimensional X , es un generador del grupo de homología , y establecemos
![{\displaystyle \mathrm {FillRad} (X)=\inf \left\{\varepsilon >0\mid \iota_{\varepsilon}([X])=0\in H_{n}(U_{\varepsilon} X)\derecho\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ec400e36c99b8274104d34161f284f672452087)
donde denota la incrustación de Kuratowski de X en el espacio de funciones acotadas en X .
Propiedades
- En cualquier dimensión hay una constante que la desigualdad
- Esta es la propiedad principal del radio de llenado, que Gromov utiliza para demostrar la desigualdad sistólica; Alexander Nabutovsky proporciona una prueba con simplificaciones significativas y una constante mejorada. [una]
- Para una variedad dada de al menos 3 dimensiones, la constante óptima en la desigualdad
- El radio de llenado no supera un tercio del diámetro. [3]
- La igualdad se logra para un espacio proyectivo real con una métrica canónica.
- En particular, el radio de relleno del círculo unitario con la métrica riemanniana inducida es π/3, es decir, una sexta parte de su longitud.
- La igualdad se logra para un espacio proyectivo real con una métrica canónica.
- La sístole de una variedad esencial no excede de seis de sus radios de llenado.
- Esta desigualdad se convierte en una igualdad para espacios proyectivos reales, como se dijo anteriormente.
- El radio de inyectividad de una variedad compacta M da un límite inferior en el radio de llenado. A saber,
Notas
- ↑ Alexander Nabutovsky, Límites lineales para constantes en la desigualdad sistólica de Gromov y resultados relacionados. arXiv : 1909.12225
- ↑ Brunnbauer, Michael, Las desigualdades de relleno no dependen de la topología. J. Reine Angew. Matemáticas. 624 (2008), 217–231.
- ↑ Katz, M.: El radio de relleno de espacios homogéneos de dos puntos. Revista de Geometría Diferencial 18, Número 3 (1983), 505–511.
Literatura
- Gromov, M.: Relleno de variedades riemannianas, Journal of Differential Geometry 18 (1983), 1-147.
- Katz, M.: El radio de relleno de espacios homogéneos de dos puntos. Revista de Geometría Diferencial 18, Número 3 (1983), 505-511.
- Katz , Mikhail G. (2007), Geometría y topología sistólica , vol. 137, Encuestas y monografías matemáticas, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4177-8 , OCLC 77716978