El formalismo es una de las aproximaciones a la filosofía de las matemáticas , tratando de reducir el problema de los fundamentos de las matemáticas al estudio de los sistemas formales . Junto con el logicismo y el intuicionismo , en el siglo XX se consideró una de las direcciones del fundamentalismo en la filosofía de las matemáticas.
El formalismo surgió a principios del siglo XX en la escuela de matemáticas de Hilbert como parte de un intento de reunir las justificaciones rigurosas de varias áreas de las matemáticas en un solo sistema. Desarrollado por los colaboradores de Hilbert (discípulos) Ackerman , P. Bernays , von Neumann .
A diferencia del logicismo, el formalismo no pretendía construir una teoría formal unificada para todas las matemáticas, como la teoría de conjuntos o la teoría de tipos . A diferencia del intuicionismo, el formalismo no se negaba a construir teorías con fundamentos "dudosos" desde el punto de vista de la intuición, siempre que en ellas se fundamentaran estrictamente las reglas para derivar teoremas. Los formalistas creían que las matemáticas deberían estudiar tantos sistemas formales como fuera posible.
Las teorías axiomáticas formales construidas sobre la base de la lógica clásica , tiene sentido considerarlas solo si no hay contradicciones en ellas , ya que de lo contrario cualquier juicio de la teoría resulta ser “probado”. Si en tal sistema formal es posible probar una mentira lógica , entonces es inconsistente y “rechazada”, lo que devalúa cualquier teorema probado en el marco de este sistema. Por supuesto, los matemáticos estaban preocupados por la cuestión de si era posible probar de alguna manera la consistencia de la teoría. Para disgusto de los formalistas, se demostró que la cuestión de la inconsistencia de una teoría no tiene una solución adecuada dentro de ninguno de los sistemas formales utilizados en matemáticas .
Nada impide el estudio de una teoría formal con la ayuda de otra; este enfoque se llama metamatemático . Sin embargo, nos obliga a utilizar los fundamentos más fiables para la construcción de metateorías, que los formalistas consideraron, de nuevo, la lógica clásica y la aritmética formal .
Desde principios de los años 90 del siglo XX, el interés por el formalismo (en un sentido más aplicado) ha vuelto a aumentar en relación con los problemas de demostración automática de teoremas (véase, por ejemplo, el manifiesto QED ).