Fundamentos de las matematicas

Los fundamentos de las matemáticas son un sistema de conceptos, conceptos y métodos comunes a todas las matemáticas, con la ayuda de los cuales se construyen sus diversas secciones [1] .

Desde la antigüedad hasta aproximadamente finales del siglo XVII, el tratado de Euclides " Comienzos " (c. 300 a. C.) se consideró una fuente que describía los conceptos y métodos básicos de las matemáticas. En él , la geometría y la teoría de números se presentaban como un único sistema axiomático (al nivel de rigor de la época), en el que, a partir de los supuestos iniciales (postulados o axiomas ), utilizando un conjunto seleccionado de medios lógicos, se deducían consecuencias sobre las propiedades de los conceptos primarios (punto, línea, número, etc.), etc.) y los objetos construidos a partir de ellos (figuras geométricas). A pesar de las lagunas en el razonamiento de Euclides que se observaron en la antigüedad, sus construcciones generalmente se consideraban aceptables para describir todo el edificio de las matemáticas en ese momento y no causaron críticas constantes hasta la Nueva Era. [2]

La situación comenzó a cambiar a finales del siglo XVII con la invención por parte de Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz del cálculo diferencial e integral , cuya justificación no quedó clara durante mucho tiempo. Se obtuvo recién a mediados del siglo XIX gracias a los esfuerzos de Augustin Cauchy , Karl Weierstrass , Bernhard Riemann y otros matemáticos sobre la base del concepto de límite propuesto por Cauchy , y el análisis realizado en relación con este reveló la necesidad para una sistematización más detallada que la de Euclides, sistematización de las propiedades elementales de los números.

Al mismo tiempo, aparecieron evidencias a favor de la necesidad de revisar otra parte de las construcciones euclidianas, a saber, las construcciones que describen objetos geométricos. Los descubrimientos de Nikolai Lobachevsky y otros demostraron que, además de la geometría euclidiana , basada en, como parecía antes, los supuestos axiomáticos más intuitivamente obvios, son posibles geometrías alternativas , derivadas de otros axiomas, pero capaces de describir fenómenos naturales con el mismo certeza.

El entendimiento que surgió entre los matemáticos en relación con esto, de que el fundamento de su ciencia debería trasladarse a sus áreas más profundas, operando con objetos más simples que los números y las figuras geométricas (pero de modo que todos los demás objetos matemáticos pudieran construirse con su ayuda), conducido en el último cuarto del siglo XIX por Georg Cantor a la creación de la teoría de conjuntos , que rápidamente ganó popularidad como un nuevo lenguaje de las matemáticas. Sin embargo, las contradicciones en la teoría de Cantor descubiertas a principios del siglo XX provocaron una crisis en las matemáticas , revelando la necesidad de revisar sus fundamentos. [2]

La investigación posterior en esta área condujo al refinamiento (formalización) de los conceptos de " sistema axiomático " y " demostración ", a la reestructuración de la lógica matemática sobre esta base, y a la construcción de teorías axiomáticas formales de conjuntos , que ahora se reconocen como fundamento de todas las matemáticas. [3]

Además, actualmente se está desarrollando la teoría de categorías , que tiene el potencial de reemplazar a la teoría de conjuntos como fundamento de las matemáticas.

Ideas principales y resultados

Nicola Bourbaki define las matemáticas como “la ciencia de las relaciones entre objetos de las que nada se sabe, salvo ciertas propiedades que los describen, precisamente aquellas que se ponen como axiomas en la base de una u otra teoría matemática”. [cuatro]

La idealización última de los objetos de las matemáticas puede parecer un obstáculo para su estudio, pero ya en la antigüedad se advirtió que una de las consecuencias de esta idealización es, por el contrario, la posibilidad de establecer numerosas conexiones entre los objetos en consideración. a la construcción de una jerarquía entre ellos con la asignación de objetos elementales, a partir de los cuales se construyen todos los demás [5] . En las matemáticas antiguas, tales objetos elementales eran (entendidos en gran parte intuitivamente) números y formas geométricas ( punto , línea , superficie , etc.) [6] . En las matemáticas modernas, son conjuntos . [3]

Este hecho puede considerarse el resultado de dos importantes observaciones hechas al comienzo mismo del desarrollo de la teoría de conjuntos:

El producto cartesiano de dos conjuntos y se puede definir como un conjunto de pares ordenados , con y , en el que los propios pares ordenados se definen como conjuntos de la forma (que consta de dos elementos, y , y el segundo elemento es un conjunto de dos elementos, y ). [7] [8] [9] [10] [11] $X\veces Y$ $X$ $Y$ $(x,y)$ $x\en X$ $y\en y$ $(x,y)$ ${\ estilo de visualización \ {x, \ {x, y\}\}}$ $X$ $\{x,y\}$ $X$ $y$
Una función o un mapeo de conjunto a conjunto también se puede definir como un conjunto, es decir, como un subconjunto en un producto cartesiano que satisface las siguientes dos condiciones: [12] [8] [13] [14] $f:X\a Y$ $X$ $Y$ $f\subconjunto X\veces Y$

$\forall x\in X~\existe y\in Y:(x,y)\in f$	${\ estilo de visualización \ cuádruple}$	(" para cualquier existe , tal que ") $x\en X$ $y\en y$ ${\ estilo de visualización (x, y) \ en f}$ ,
$\left((x,y)\in f\wedge (x,z)\in f\right)\implica y=z$	${\ estilo de visualización \ cuádruple}$	(“si y , entonces ”) ${\ estilo de visualización (x, y) \ en f}$ ${\ estilo de visualización (x, z) \ en f}$ $y=z$ .

La primera condición aquí significa que cada argumento está asociado con algún valor de la función , y la segunda significa que este valor es único.

x\en X

y\en y

F

De estas observaciones se sigue una conclusión que influyó seriamente en la actitud de los contemporáneos hacia la teoría de conjuntos de Cantor : todos los objetos matemáticos, con excepción de los utilizados en la descripción del concepto mismo de conjunto, pueden definirse como conjuntos con propiedades adecuadas .

♦ A modo de ilustración, la teoría de números se puede representar como parte de la teoría de conjuntos, su extensión definitoria , si observa que los objetos que estudia, los números , se pueden describir como conjuntos de una forma especial: [15] [16 ] [17]

Los números naturales (enteros no negativos) se definen naturalmente como ordinales finitos (con relación de orden y operaciones de suma y multiplicación para los ordinales) [18] [19] [20] . $\matemáticas {N}$
Los números enteros se definen entonces como elementos del conjunto factorial del cuadrado cartesiano del conjunto de los números naturales, por la relación de equivalencia $\matemáticas {Z}$ ${\mathbb {N} }\times {\mathbb {N} }$ $\matemáticas {N}$

(n,m)\sim (n',m')~\iff ~n+m'=n'+m,

con la relación de orden [21]

[(n,m)]\leq [(n',m')]~\iff ~n+m'\leq n'+m

y operaciones algebraicas

[(n,m)]+[(n',m')]=[(n+n',m+m')],

[(n,m)]\cdot [(n',m')]=[(n\cdot n'+m\cdot m',n\cdot m'+m\cdot n')],

y la incrustación se describe mediante la fórmula

\matemáticas {N}

\matemáticas {Z}

{\displaystyle k\in {\mathbb {N} }\mapsto [(k,0)]\in {\mathbb {Z} ))

. La clase de equivalencia se interpreta como un número entero en notación ordinaria (con ).

{\ estilo de visualización [(n, m)]}

Nuevo Méjico

n,m\in {\mathbb {N} }

Los números racionales se definen como elementos del conjunto factorial del producto cartesiano del conjunto de los enteros y el conjunto de los números naturales sin cero, por la relación de equivalencia [22] $\matemáticas {Q}$ ${\displaystyle {\mathbb {Z} }\times {\big (}{\mathbb {N} }\setminus \{0\}{\big )))$ $\matemáticas {Z}$ ${\mathbb {N} }\setminus\{0\}$

(p,q)\sim (p',q')~\iff ~q'\cdot p=q\cdot p',

con la relación de orden [23]

[(p,q)]\leq [(p',q')]~\iff ~q'\cdot p\leq q\cdot p'

y operaciones algebraicas

[(p,q)]+[(p',q')]=[(p\cdot q'+p'\cdot q,q\cdot q')],

[(p,q)]\cdot [(p',q')]=[(p\cdot p',q\cdot q')],

y la incrustación se describe mediante la fórmula

\matemáticas {Z}

\matemáticas {Q}

{\displaystyle k\in {\mathbb {Z} }\mapsto [(k,1)]\in {\mathbb {Q} ))

. La clase de equivalencia se interpreta como un número racional en la notación habitual (con , ).

{\ estilo de visualización [(p, q)]}

p/q

p\in {\mathbb {Z} }

{\displaystyle q\in {\mathbb {N} }\setminus \{0\))

Los números reales se definen como secciones de Dedekind del conjunto de números racionales (con operaciones algebraicas inducidas a partir de una relación de orden). $\matemáticas {R}$ $\matemáticas {Q}$ $\matemáticas {Q}$
Números complejos - como elementos del cuadrado cartesiano del conjunto de números reales con operaciones algebraicas $\matemáticas {C}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }\times {\mathbb {R} ))$ $\matemáticas {R}$

{\ estilo de visualización (x, y) + (x', y') = (x + x', y + y')}

(x,y)\cdot (x',y')=(x\cdot x'-y\cdot y',x\cdot y'+y\cdot x'),

y la incrustación se describe mediante la fórmula

\matemáticas {R}

\matemáticas {C}

{\displaystyle a\in {\mathbb {R} }\mapsto (a,0)\in {\mathbb {C} ))

. La unidad imaginaria se define en esta construcción como un par , y junto con la notación anterior, da la identidad

{\ estilo de visualización i = (0,1)}

(x,y)=x+iy,\quad x,y\in {\mathbb {R} },

interpretado como la representación algebraica habitual de un número complejo. ♦ Otro ejemplo: el cálculo , como teoría que describe las propiedades de las funciones en números reales [24] , puede considerarse una extensión definitoria de la teoría de conjuntos, porque sus dos construcciones principales, una función (mapeo) y un número real , ya mencionados anteriormente, son conjuntos. ♦ La siguiente ilustración: en álgebra, el concepto de grupo se describe como un conjunto con una operación definida sobre él que mapea un cuadrado cartesiano a , y tiene las propiedades deseadas (asociatividad, la existencia de un elemento neutro 1 y un elemento inverso para cada uno ). Dado que, como ya se explicó, las aplicaciones son un caso especial de conjuntos, la construcción completa de un grupo puede interpretarse como un conjunto con una estructura adicional en forma de otro conjunto con ciertas propiedades.

GRAMO

m:(x,y)\mapsto m(x,y)=x\cdot y

G\veces G

GRAMO

{\ estilo de visualización x ^ {-1} \ en G}

x \ en G

GRAMO

metro

♦ La construcción básica de la topología , el concepto de espacio topológico se define como un conjunto arbitrario con un conjunto fijo de subconjuntos en , que contiene y , y cerrado bajo uniones e intersecciones finitas (tal conjunto de subconjuntos en se denomina topología en el set , y los elementos se denominan conjuntos abiertos en ).

X

{\mathcal {U}}

X

X

\varnada

{\mathcal {U}}

X

X

{\mathcal {U}}

X

♦ De manera similar, en el resto de las matemáticas (excluyendo sólo algunas áreas de la lógica matemática que sirven de base para la construcción de la propia teoría de conjuntos y/o para estudiar formalmente cuestiones más generales) los conceptos utilizados se definen como conjuntos (quizás de algún tipo especial ) con estructuras adicionales definidas en ellos (que también se definen como conjuntos de la forma requerida) [25] . Estos son, en particular,

redes , anillos , módulos , campos , espacios vectoriales , más generalmente, todos los sistemas algebraicos en álgebra ,
variedades con todo tipo de estructuras adicionales como métricas , conectividad , curvatura , etc. en geometría ,
medidas con los espacios de funciones y operadores generados por ellos en análisis ,
espacios de probabilidad y variables aleatorias en la teoría de la probabilidad ,
objetos con morfismos en teoría de categorías , etc.

De hecho, todas las teorías matemáticas ahora se describen como extensiones definitorias de alguna teoría de conjuntos de la lista estándar [26] desarrollada para este propósito (y en la abrumadora mayoría de los casos, cualquier teoría de esta lista es adecuada), y es para esto. razón por la cual la teoría de conjuntos es considerada en nuestro tiempo el lenguaje de las matemáticas. [3]

El desarrollo de las matemáticas ha demostrado que el concepto de conjunto en sí mismo requiere una definición cuidadosa para que la subestimación en la comprensión de sus propiedades no conduzca a contradicciones . Para resolver este problema, las reglas para la construcción de teorías, como aquellas donde se deben describir las propiedades de los conjuntos, se formalizaron estrictamente, y en las teorías actuales (axiomáticas) se construyeron de acuerdo con estas nuevas reglas, y se las llamó teorías de primer orden [27]. ] [28] , se eliminan los elementos de ambigüedad y los axiomas elegidos se someten a una verificación primaria de la aparición de absurdos evidentes. [29]

Esto hizo posible deshacerse de todas las contradicciones en matemáticas que aparecieron a principios del siglo XX (sin embargo, sin garantías de que no aparecerán nuevas contradicciones en el futuro [30] ). Por otro lado, se descubrió rápidamente que los matemáticos tenían distintas preferencias a la hora de elegir los axiomas, lo que condujo al surgimiento de numerosas teorías axiomáticas de conjuntos no equivalentes [31] . Los más populares entre ellos son ahora

la teoría de Zermelo-Fraenkel ZF [ 32] [33] con sus diversas modificaciones, en particular, con el axioma de elección adjunto (esta versión de ZF se denomina ZFC), y/o el universo de Grothendieck ,
la teoría NBG de von Neumann-Bernays-Gödel [34] y
MK Teoría de Morse-Kelly [35] .

Se cree que cada uno de ellos tiene sus propias ventajas y desventajas. [36] Históricamente, la teoría ZF apareció primero, y para la mayoría de los problemas matemáticos suele ser suficiente, por lo tanto, en términos de uso, está muy por delante de las demás. Sin embargo, en áreas abstractas modernas de las matemáticas, en particular donde se utilizan los métodos de la teoría de categorías , como, por ejemplo, en álgebra o en análisis funcional , puede ser deseable considerar formaciones más generales que conjuntos, las llamadas clases . que no están en ZF, y a estos efectos se suele optar por NBG o MK. [36] La ventaja de NBG en esta lista es su axiomatizabilidad finita. [37] [34] Pero tanto ZF como NBG son inferiores a MK en términos de elegancia y variedad de posibilidades. [36] Sin embargo, el inconveniente de MK (como NBG) es que en esta teoría no es posible considerar formaciones más amplias que las clases que contienen clases arbitrarias como elementos (lo que también es deseable en algunas disciplinas matemáticas, como, por ejemplo, en teoría de categorías ). [38] Este problema del límite de posibilidades a veces se resuelve agregando a MK (y de la misma manera este truco funciona en ZF y NBG) el axioma de la existencia del universo de Grothendieck y luego renombrando los objetos. [39]

Juntas, las modernas teorías axiomáticas de conjuntos forman un sistema con un lenguaje y métodos comunes (y diferencias solo en listas de axiomas), cuyo propósito es proporcionar a los matemáticos las herramientas para construir todos los demás objetos matemáticos que existen y aquellos que pueden ser necesarios en el futuro, y a este sistema de teorías, junto con el área de las matemáticas dentro de la cual se construyen, lógica matemática , se le suele llamar los fundamentos de las matemáticas . Como parte de la lógica matemática, esto también incluye teorías alternativas, donde en lugar de conjuntos, se proponen otras formas como conceptos primarios de las matemáticas, en particular, objetos de categorías abstractas , descritos no por tradición (como construcciones en ZF, NBG o MK) , sino directamente, como teoría independiente de primer orden. [40]

Historia

Los trabajos de matemáticos egipcios y babilónicos que han sobrevivido hasta nuestros días contienen solo algoritmos computacionales explicados con ejemplos prácticos. No hay prueba en ellos; no está claro cómo se descubrieron y justificaron los resultados, o si se justificaron en absoluto. En las obras de los matemáticos de la antigua China , hay pruebas separadas de afirmaciones algebraicas y geométricas, pero no forman un sistema único de conocimiento conectado lógicamente [41] [42] .

Período antiguo

Los motivos ideológicos de las matemáticas griegas antiguas fueron desarrollados por la escuela pitagórica , que introdujo la prueba lógica como un componente necesario de la teoría matemática y desarrolló una metodología de prueba, incluida la " prueba por contradicción " [43] . Los objetos básicos de los pitagóricos eran los números naturales ( consideraban las fracciones no como números, sino como proporciones ). La base filosófica de las matemáticas pitagóricas era la creencia de que el Universo fue creado de acuerdo con un plan matemático, "todo es un número", de lo que se deduce que las leyes de la naturaleza son cognoscibles, solo hay una matemática y contiene un sistema. de verdades eternas y absolutas. Los avances en la aplicación de las matemáticas a la astronomía (especialmente la predicción de eclipses ), la música, la óptica y la agrimensura se consideraron como una confirmación de estos puntos de vista. Platón fue más allá al declarar que los objetos matemáticos son reales en algún "mundo de ideas" ideal, cuya sombra es el mundo percibido por nuestros sentidos [44] .

Los estudios geométricos de los pitagóricos, basados en los conceptos idealizados de puntos , líneas y otras figuras, originaron ya en el siglo V a. mi. crítica de Zenón de Elea , quien, con sus aporías , planteó la pregunta: ¿cómo un camino real de movimiento puede consistir en puntos no prolongados? Este problema (discreción o continuidad de espacio y tiempo) todavía se discute en la filosofía de la ciencia [45] [46] .

En el siglo V a.C. mi. ocurrió un hecho que en lenguaje moderno puede ser valorado como la primera crisis en los fundamentos de las matemáticas [47] - los pitagóricos descubrieron que la diagonal de un cuadrado es inconmensurable con su lado, es decir, su razón ( ) no puede expresarse tampoco por un número natural o por una fracción. Se las arregló para encontrar una salida en el siglo IV a. mi. Eudoxus de Cnidus , quien, junto con los números, introdujo el concepto de cantidades geométricas (longitudes, áreas, volúmenes). Para cantidades homogéneas se definieron operaciones aritméticas similares a las numéricas [2] . ${\ sqrt {2}}$

El primer sistema integral de los fundamentos de las matemáticas fueron los " Principios " de Euclides (siglo III a. C.), que durante mucho tiempo se convirtieron en un modelo de teoría matemática y en el fundamento de los logros posteriores (prácticamente nada se sabe sobre los predecesores de Euclides, quienes sin duda existió). Este trabajo, siguiendo a Eudoxo, puso la geometría en lugar de la aritmética como base de las matemáticas. Las reglas de la inferencia lógica eran anteriores, en el siglo IV a. e., detallada por Aristóteles . En el primer libro de los Elementos, Euclides da 14 axiomas de geometría y aritmética (los primeros cinco a menudo se llaman postulados), luego de ellos se deducen lógicamente numerosos teoremas. Cada teorema se deriva o de axiomas o de otros teoremas (cuya verdad ya se ha probado antes), y de acuerdo con las leyes de la lógica de Aristóteles, el nuevo teorema también es verdadero. La teoría de las cantidades de Eudoxo (esencialmente una versión corta de la teoría moderna de los números reales ) fue expuesta por Euclides en el quinto libro de sus Elementos y fue utilizada en Europa hasta el siglo XVII. La aritmética de cantidades fue modelada por Euclides sobre la base de operaciones con segmentos , rectángulos y paralelepípedos [2] [48] .

Ya en la antigüedad, se señalaron críticamente las deficiencias del trabajo euclidiano, en particular, Arquímedes señaló la necesidad de agregar un axioma, ahora llamado " Axioma de Arquímedes " (fue formulado por Eudoxo). Con el tiempo, el número de deficiencias notadas aumentó gradualmente [49] . El número de axiomas en Euclides resultó ser insuficiente, muchos de sus razonamientos se basan en evidencia implícita o visual. En primer lugar, esto se refiere al concepto de movimiento , que se usa implícitamente en muchos lugares, por ejemplo, cuando se superponen triángulos para probar signos de su igualdad. Proclus ya señaló este hecho como una brecha metodológica importante. Euclides no dio los axiomas del movimiento, quizás para no confundir la alta geometría con la mecánica "baja". Los autores modernos de axiomática prevén un grupo especial de " axiomas de congruencia ". La axiomática de Euclides no permite fundamentar hechos importantes para las demostraciones, por ejemplo, que no hay una línea recta que pase por los tres lados de un triángulo, o que dos círculos de radio R , cuyos centros están a una distancia R , se cortan en dos puntos [50] .

Posteriormente, los matemáticos abandonaron la idea de construir la aritmética sobre la base de la geometría, reemplazándola por la opuesta: partiendo de la geometría analítica de Descartes (siglo XVII), los problemas geométricos se resuelven mediante ecuaciones numéricas [48] [51] .

Europa en los siglos XVII-XVIII

Los científicos europeos de la Edad Media y el comienzo de la Nueva Era compartían las ideas antiguas de que las leyes de la naturaleza establecidas desde arriba se basaban en principios matemáticos . Esto se entendió de tal manera que las personas no crean teorías matemáticas, sino que descubren aquellas que fueron construidas originalmente en el universo [52] . René Descartes escribió en 1637: “De todos los que alguna vez han buscado la verdad en las ciencias, sólo los matemáticos han podido obtener alguna evidencia, es decir, indicar razones que sean obvias y confiables”; llamó a las matemáticas "la esencia de todas las ciencias". Galileo Galilei , Blaise Pascal , Isaac Newton y otros fundadores de la física sostuvieron puntos de vista similares . En ese momento, las matemáticas habían superado con creces el tema antiguo: aparecieron nuevas teorías, nuevos tipos de números, otros objetos matemáticos, cuya justificación se presentó inicialmente en un nivel intuitivo o estaba completamente ausente [53] .

A finales del siglo XVII, ocurrió un hecho importante: Newton y Leibniz crearon el análisis matemático , entonces llamado "análisis (o cálculo) de infinitesimales ". El alcance de las matemáticas en varias ciencias se ha expandido muchas veces y los métodos se han profundizado significativamente. Sin embargo, la técnica del análisis de entonces se basaba en operaciones algebraicas con un nuevo objeto matemático, las cantidades infinitesimales, cuyo significado se explicaba en expresiones bastante vagas [54] , y los procedimientos para trabajar con ellas parecían bastante contradictorios: en el curso de los cálculos, los infinitesimales se trataron primero como números distintos de cero (por ejemplo, divididos entre sí), al final se igualaron a cero. La nueva rama de las matemáticas necesitaba encontrar una justificación tan rigurosa como la de Euclides, pero no apareció hasta siglo y medio después, en el siglo XIX [55] .

En 1784, la Academia de Ciencias de Berlín lanzó un concurso por la mejor explicación de "cómo se dedujeron tantos teoremas correctos a partir de la suposición contradictoria" de la existencia de los infinitesimales. No se recibió una respuesta satisfactoria a esta pregunta. Voltaire , irónicamente sobre este cuadro incluso antes, definió el análisis como "el arte de contar y medir con precisión aquello, cuya existencia es incomprensible para la mente" [56] .

La continuidad de una función en este período se entendía de forma puramente intuitiva, la teoría de los números reales estaba ausente. La vaguedad de los fundamentos del análisis, tal como resultó en el siglo XIX, condujo a numerosos errores: se expresaron e incluso probaron teoremas erróneos, en otros casos, las condiciones de los teoremas se formularon de manera demasiado amplia. Por ejemplo, André Marie Ampère y Joseph Louis François Bertrand demostraron que toda función continua es derivable , no se probó la convergencia de las series utilizadas. Niels Henrik Abel incluso en 1826 se quejaba en una carta: "En las secciones superiores de análisis sólo hay unos pocos teoremas probados con un rigor más o menos aceptable" [57] .

Siglo XIX

A principios del siglo XIX, solo la geometría euclidiana tenía una lógica relativamente estricta, aunque su rigor ya se consideraba insuficiente en ese momento. Sin embargo, con el advenimiento de la geometría no euclidiana , la fe en el sistema de conceptos iniciales y premisas comunes a todas las matemáticas también se vio sacudida. Como han señalado Edward Kasner y James Newman , la "herejía no euclidiana" obligó a uno a participar en la introspección matemática , es decir, un análisis de cómo las diferentes partes de las matemáticas se relacionan entre sí y con las matemáticas en su conjunto [58] [59 ] .

Axiomatización de las matemáticas

En la primera mitad del siglo XIX, Augustin Louis Cauchy finalmente dio una razón clara para el análisis basado en la noción de límite ; al mismo tiempo, los infinitesimales de un tipo especial de números se convirtieron en variables que tienden a cero. El enfoque de Cauchy, sin embargo, aún no era del todo riguroso, ya que no incluía la teoría de los números reales . Tal vez por eso Cauchy mismo no evitó errores; por ejemplo, estaba seguro de que la suma puntual de una serie de funciones continuas es continua y que dicha serie siempre puede integrarse término por término. Las bases del análisis fueron completadas medio siglo después por Karl Weierstrass . En 1837, William Rowan Hamilton legalizó por completo los números complejos y negativos al describir sus modelos estrictos en términos de pares de números. El descubrimiento y la justificación de la geometría no euclidiana como una alternativa completa a la euclidiana [60] [61] también tuvo una fuerte influencia en la filosofía de las matemáticas .

En la segunda mitad del siglo XIX, ocurrieron dos eventos importantes: la creación de la teoría de conjuntos y la lógica matemática . En 1879 Frege publicó un sistema de axiomas para la lógica matemática, en la década de 1880 Peano propuso un riguroso sistema de axiomas para los números naturales y Dedekind para los números reales [62] [63] . En 1899, se publicó la monografía clásica de Hilbert "Los fundamentos de la geometría", en la que se eliminaron todas las deficiencias de la axiomática euclidiana. Como resultado, a fines del siglo XIX, casi todas las matemáticas se construyeron sobre la base de una axiomática estricta ( la axiomática de la teoría de la probabilidad apareció solo en 1929).

La teoría de conjuntos y la crisis de los fundamentos

En 1873, Georg Cantor introdujo el concepto de conjunto de números arbitrarios (finitos o infinitos ), y luego el concepto general de conjunto , un concepto extremadamente abstracto en matemáticas. Con la ayuda de mapeos uno a uno , introdujo el concepto de equivalencia de conjuntos, luego definió la comparación de cardinalidades por más o menos y, finalmente, clasificó los conjuntos según su cardinalidad: finitos, contables , continuos , etc.

Al principio , la teoría de conjuntos tuvo una recepción benévola por parte de muchos matemáticos. Ayudó a generalizar la teoría de la medida jordana , se usó con éxito en la teoría de la integral de Lebesgue y se consideró la base futura de todas las matemáticas. Sin embargo, los acontecimientos posteriores demostraron que la lógica habitual no es adecuada para el estudio de objetos infinitos, y la intuición no siempre ayuda a tomar la decisión correcta. La primera contradicción salió a la luz al considerar el conjunto mayor, el conjunto de todos los conjuntos (1895). Tenía que ser excluido de las matemáticas como inaceptable. Sin embargo, también aparecieron otras contradicciones ( antinomias ) [64] .

Henri Poincaré , quien al principio aceptó la teoría de conjuntos e incluso la utilizó en su investigación, más tarde la rechazó enérgicamente y la llamó "una grave enfermedad de las matemáticas". Otro grupo de matemáticos, incluidos Russell y Hilbert , se adelantaron, con algunas reservas, en defensa del "cantorismo" [65] . Para evitar paradojas, Russell (1905), Poincaré (1906), y después de ellos Hermann Weyl (1918), exigieron que todas las definiciones y axiomas de las matemáticas fueran predicativos , es decir, que el objeto matemático X que se definía no debería darse ni describirse en términos de una clase de objetos que contienen X, porque entonces se obtiene un círculo vicioso y son posibles las contradicciones. Un análisis de este requisito mostró, sin embargo, que, por un lado, no es suficiente, ya que no evita completamente la aparición de paradojas, y, por otro lado, hace que algunas definiciones clásicas sean ilegales, por ejemplo, el exacto límites superior e inferior de un conjunto [66] [67] .

Se agregaron colores a la imagen por el descubrimiento del " axioma de elección " (1904, Zermelo ), que, como se vio después, se aplicó inconscientemente en muchas pruebas matemáticas (por ejemplo, en la teoría de los números reales). Amplía las posibilidades de construcción de conjuntos hasta tal punto que algunas de sus consecuencias empiezan a contradecir la intuición ( la paradoja de Banach-Tarski , etc.). Esta circunstancia llevó a algunos matemáticos (en particular, Émile Borel y Felix Bernstein ) a cuestionar la legalidad de su aplicación.

El debate sobre la existencia de conjuntos construidos mediante el axioma de elección planteó otra cuestión fundamental para los matemáticos: ¿qué significa el concepto de “existencia” en matemáticas?

Siglo XX

En el siglo XX fue posible construir teorías de conjuntos axiomáticas libres de contradicciones previamente descubiertas y, por esta razón, la mayoría de los matemáticos finalmente aceptaron la teoría de conjuntos. Sin embargo, la discusión de los detalles y las alternativas continuó hasta la década de 1950 y, hasta cierto punto, sigue siendo relevante hasta el día de hoy [2] . Inicialmente, surgieron tres enfoques principales en estas discusiones, llamados logicismo, intuicionismo y formalismo.

Logicismo

Bertrand Russell esbozó las ideas del logicismo en su monografía conjunta de tres volúmenes Principia Mathematica (1910-1913) con Alfred Whitehead , que hizo una contribución significativa al desarrollo de la lógica matemática . El logicismo afirma que las matemáticas y la lógica son un todo único, es decir, los conceptos y las leyes de la lógica son suficientes no solo para la derivación de teoremas, sino también para la definición de objetos matemáticos. Gottlob Frege (1884) fue el primero en expresar puntos de vista similares . En el libro de Russell y Whitehead, los autores dan los axiomas de la lógica, los conceptos primarios (indefinidos) son las proposiciones , la verdad , las operaciones lógicas , las funciones proposicionales [68] .

Los autores deducen consistentemente el contenido principal de la lógica matemática de los axiomas, luego pasan a las clases (conjuntos). Al establecer una determinada propiedad con la ayuda de una función proposicional, puede determinar un conjunto específico (portadores de esta propiedad). Con respecto a los conjuntos, el axioma de Russell y Whitehead incluye el axioma de elección y el axioma de infinito (este último asegura la existencia de conjuntos infinitos). Para evitar paradojas, los autores prohíben inmediatamente los conjuntos que se contienen a sí mismos con la ayuda de una " teoría de tipos " especialmente construida por ellos . Los conjuntos y las sentencias están estrictamente separados según el nivel de sus tipos; la mezcla arbitraria de tipos es imposible. Tal organización excluye todas las paradojas conocidas, sin embargo, complica significativamente las formulaciones, ya que, por ejemplo, los números naturales y reales tienen diferentes tipos. Para resolver este problema, Russell y Whitehead introdujeron un axioma especial de reducibilidad (en otras palabras, el axioma de reducción), que permite reducir el tipo de funciones de una o dos variables y, por lo tanto, colocar objetos en un nivel comparable. [69] .

La definición de los números (finito y transfinito ) y la prueba de sus propiedades son realizadas por los autores sobre una base de teoría de conjuntos: un número es una clase de conjuntos (más precisamente, una clase de clases) de la misma cardinalidad . Después de eso, ya no es difícil derivar teoremas de aritmética, geometría elemental, análisis y otras ramas de las matemáticas.

Los defensores más recientes del Logicismo incluyen a Willard Quine y Alonzo Church . En 1983, el lógico británico Crispin Wright propuso una nueva versión de los fundamentos logísticos de las matemáticas con axiomática simplificada y libre de paradojas. La versión de Wright se basa en una corrección de los primeros axiomas erróneos de Frege. Con la ayuda de la lógica de segundo orden y el principio de Hume (cuya consistencia pronto se demostró), Wright derivó toda la aritmética de la axiomática lógica. Este enfoque ha sido llamado neologicismo .

Intuicionismo

La antípoda ideológica del logicismo era el intuicionismo , cuyos partidarios situaban la intuición como fuente de verdad por encima de la lógica. Entre los precursores del intuicionismo están Leopold Kronecker y Henri Poincaré , y Leutzen Egbert Jan Brouwer dio una exposición detallada de esta filosofía de las matemáticas en la década de 1910 . Las ideas de Brouwer fueron defendidas activamente por Hermann Weyl y Arend Heyting [70] .

Según Brouwer y otros intuicionistas, las matemáticas son enteramente creación del pensamiento humano y no dependen del mundo exterior. La práctica de la actividad humana es útil para el desarrollo de nuevas ideas matemáticas, pero en principio no es necesaria para su surgimiento.

Las verdades básicas de las matemáticas intuicionistas son representaciones humanas intuitivamente obvias, las principales de las cuales son los conceptos de un número natural y la inducción matemática . El pensamiento matemático en todas sus manifestaciones es también profundamente intuitivo, y la lógica para él no es más que una herramienta de prueba; la lógica se basa en las matemáticas, y no las matemáticas en la lógica (sin embargo, algunos principios lógicos se incluyen como parte integral de la intuición matemática). La axiomatización y las pruebas de consistencia son una pérdida de tiempo, la intuición no contiene contradicciones. Brouwer atribuyó la geometría a la física del estado sólido y la eliminó de los fundamentos de las matemáticas; las geometrías no euclidianas, según Brouwer, prueban la fragilidad y la ambigüedad de la intuición espacial [71] [72] .

Brouwer exigió la eliminación de todos los aspectos intuitivamente dudosos de la lógica y las matemáticas, hizo una reevaluación correspondiente de los fundamentos y limitó significativamente las matemáticas y la lógica en varias direcciones. Afirmó que la intuición humana siempre trata con conjuntos finitos, por lo que en realidad los conjuntos infinitos no existen y deben excluirse de las matemáticas. Deberían prohibirse los “teoremas de existencia” si no contienen un algoritmo de construcción constructivo, debería prohibirse el uso de la “ley del tercero excluido” (en demostraciones “por contradicción” ), etc. Una parte importante de los logros matemáticos del pasado siglos con tal revisión resulte incorrecta o no probada; se hicieron intentos para reconstruir al menos las matemáticas elementales sobre principios intuicionistas, pero las pruebas resultaron ser "insoportablemente engorrosas". Restricciones tan delicadas no convenían a la mayoría de los matemáticos. Pronto, los intuicionistas se dividieron en varias escuelas, que hicieron diferentes demandas radicales para la revisión de las matemáticas [73] .

Los críticos señalaron el hecho de que la intuición es diferente para diferentes personas, y la mente humana es capaz de cometer errores, y por lo tanto no puede haber verdades intuitivas que sean comunes a todas las personas [74] .

Hilbert evaluó irónicamente las matemáticas reestructuradas por los intuicionistas como "remanentes lamentables, pocos resultados únicos, incompletos y sin relación"; en su opinión, el intuicionismo trata de mutilar y destruir las matemáticas. Bourbaki consideraba la filosofía intuicionista como una curiosidad histórica. En la URSS, se popularizó una escuela agradable de " matemáticas constructivas ", encabezada por A. A. Markov [75] [76] .

Formalismo

El trabajo más activo sobre los fundamentos de las matemáticas lo llevó a cabo en la primera mitad del siglo XX la escuela de Hilbert, cuyas ideas se denominaron " formalismo ". Animado por el éxito de sus Fundamentos de la geometría, Hilbert anunció el objetivo de construir todas las matemáticas (y, en el futuro, la física) sobre una única base lógica. Creía que para las disciplinas que se encuentran en la base de las matemáticas, como la teoría de conjuntos y la aritmética, uno puede encontrar un sistema de axiomas del cual, mediante transformaciones puramente sintácticas, será posible derivar cualquier teorema de esta teoría (y en el futuro, todos los resultados generalmente establecidos en matemáticas). Además, creía que para estas disciplinas sería posible probar su consistencia e integridad (lo primero permitiría deshacerse de las contradicciones encontradas en las matemáticas y asegurar que no aparezcan nuevas contradicciones en el futuro).

Este programa condujo rápidamente a cierto éxito: Hilbert y sus alumnos definieron un sistema para registrar formalmente enunciados matemáticos y reglas para derivar unos enunciados de otros en este lenguaje (se desarrollaron varios de estos sistemas, uno de los más ilustrativos es el cálculo secuencial de G. Gentzen ) , con dicho cálculo, para que todos los resultados matemáticos conocidos puedan traducirse a este idioma; esto hizo posible derivarlos más tarde de los axiomas apropiados de la teoría subyacente a las matemáticas (como la teoría de conjuntos). Al mismo tiempo, mediante tal refinamiento formal de los conceptos y técnicas matemáticas, fue posible deshacerse de todas las contradicciones acumuladas hasta ese momento en las matemáticas. [77] [78]

Sin embargo, los teoremas de incompletitud de Gödel , que aparecieron en 1931, mostraron inesperadamente que, tomado literalmente, el programa de Hilbert es irrealizable: primero, se encontró que la completitud de cualquier teoría formal suficientemente amplia (más precisamente, cualquier teoría que incluya la aritmética de los números naturales ) es incompatible con su consistencia y, en segundo lugar, es imposible probar la consistencia de cualquier teoría que contenga aritmética, y solo se puede hablar de la consistencia relativa de tales teorías. [79] [80]

A modo de ilustración, en 1936 Gentzen demostró la consistencia de la aritmética de Peano dentro del marco de la teoría que construyó, que admite una cierta versión truncada de la inducción transfinita [81] ; sin embargo, este resultado es válido solo bajo el supuesto de que la teoría de Gentzen es en sí misma consistente (que permanece sin probar y, además, no puede ser probado por el teorema de Gödel ). Otro ejemplo: después de la muerte de Hilbert, para la axiomática de Peano , se encontraron ejemplos concretos de afirmaciones que no son demostrables en la teoría de Peano, pero demostrables en teorías de conjuntos estándar que contienen la aritmética de Peano: el teorema de Goodstein [82] , el teorema de Paris-Harrington [83] y otros, y estas observaciones prueban la incompletud del sistema de axiomas de Peano independientemente de los teoremas de Gödel.

No se puede decir que el enfoque de Hilbert en sí haya encontrado un apoyo inequívoco entre los matemáticos. Su tesis de que cualquier objeto matemático consistente debería ser tratado como existente era inaceptable para los intuicionistas. Algunos matemáticos creían que la sustitución de la verdad por la deducibilidad, el "juego con fórmulas" sintáctico formal priva a las verdades matemáticas de significado, hace que las matemáticas carezcan de sentido y no pueden reflejar la conexión de las matemáticas con el mundo real [84] .

Sin embargo, fueron los estudios de Hilbert y su escuela los que dejaron la huella más profunda en los cimientos de las matemáticas y conformaron esencialmente la cara moderna de esta ciencia. Después de los resultados de Gödel, los partidarios del formalismo tuvieron que hacer ciertos ajustes a los objetivos fijados por Hilbert (es decir, abandonar las esperanzas de probar la consistencia y la integridad de la teoría de conjuntos, tal como las entendía Hilbert), pero el cálculo de predicados creado por Hilbert y sus alumnos de lógica matemática sirvieron de base para la construcción de las modernas teorías axiomáticas de conjuntos, sobre las que, a su vez, se construye toda la matemática moderna [85] [86] .

Estado actual

Un análisis de los problemas de la teoría ingenua de conjuntos ha demostrado que el lenguaje de las matemáticas, en particular, el concepto de conjunto utilizado en él como construcción principal, requiere una descripción precisa y formal para evitar malentendidos y paradojas. En la primera mitad del siglo XX, esto condujo al desarrollo, sobre la base del cálculo de predicados lógicos creado por Hilbert y sus alumnos, del concepto de teoría de primer orden , que expresa la comprensión moderna de los matemáticos sobre las teorías axiomáticas y las reglas de inferencia en ellos. Desde entonces, se ha construido un número significativo de teorías de primer orden no equivalentes, que pretenden describir los conceptos básicos de las matemáticas, no solo en el lenguaje de la teoría de conjuntos, sino también en el lenguaje de la teoría de categorías . Los resultados fundamentales en esta área son

Los teoremas de incompletitud de Gödel (es decir, la imposibilidad de probar la consistencia o la completitud) de cualquier teoría (axiomatizada recursivamente) que interprete la aritmética PA de Peano [87] , y
El teorema de completitud de Gödel , que establece una conexión entre la derivabilidad y la verdad lógica de una fórmula [88] .

Entre las modernas teorías axiomáticas de conjuntos, además de las ya mencionadas ZF, NBG y MK, los lógicos consideran como alternativas la teoría de Tarski-Grothendieck (TG), "New Foundations" de W. Quine (NF), teoría de conjuntos positivos de O. Esser ( ), teorías de conjuntos constructivos, teorías de conjuntos para análisis no estándar , "teorías de conjuntos de bolsillo" y otros [31] . ${\text{GPK}}_{\infty}^{+}$

En la década de 1960, W. Lover [40] propuso una teoría de primer orden que describe el concepto de categoría de forma autónoma, sin referencia tradicional a la teoría de conjuntos. De manera informal, una categoría en matemáticas se entiende como un conjunto de objetos con un sistema de transformaciones (morfismos) de un objeto en otro. En el lenguaje de la teoría de conjuntos, el concepto de objeto se interpreta como un conjunto con una estructura adicional, y un morfismo se interpreta como una relación (generalmente una aplicación) que conserva dicha estructura. Ejemplos de categorías son

conjuntos con asignaciones,
grupos con homomorfismos,
espacios topológicos con mapeos continuos,
celosías con mapeos monótonos,

etc. La teoría de Lover permite interpretar las teorías axiomáticas de conjuntos como casos especiales de categorías, por lo que el lenguaje formal que construyó puede reclamar el derecho a ser considerado un lenguaje alternativo de las matemáticas. Actualmente, esta área de las matemáticas se está desarrollando activamente. [89]

En relación con el desarrollo de las computadoras alrededor de 1970, comenzaron a aparecer ideas independientes en varios lugares de que las pruebas matemáticas podrían ser verificadas automáticamente por las computadoras [90] . Se comenzó a desarrollar un gran número de sistemas de verificación de evidencias . Esto revivió el interés en la cuestión de los fundamentos de las matemáticas: si los primeros lógicos estaban interesados en deshacerse de las paradojas, ahora el tema principal se ha convertido en el desarrollo de un lenguaje conveniente y un sistema lógico que sea adecuado para escribir teoremas y demostraciones y su posterior análisis. verificación en una computadora. La necesidad práctica de esto surgió en relación con la necesidad de una verificación formal de la corrección de los algoritmos informáticos y los lenguajes de programación [91] .

Además, han aparecido dos nuevos problemas de fundamentación de resultados matemáticos que, según Brian Davis , merecen el nombre de otra crisis: algunas demostraciones de teoremas tienen cientos de páginas de texto complejo y son extremadamente difíciles de verificar, y algunos de los resultados (por ejemplo, la solución del problema de los cuatro colores o la hipótesis de Kepler ) obtenidos por cálculo informático, y su fiabilidad depende de la corrección del programa de cálculo. Davis predijo: "Para 2075, muchas áreas de las matemáticas puras se construirán sobre el uso de teoremas, cuyas pruebas no pueden ser entendidas completamente por ningún matemático que viva en la Tierra, ya sea solo o en conjunto", y el criterio principal para la corrección de los nuevos resultados serán el consenso de la comunidad matemática [92] .

La base más eficiente para la mayoría de los sistemas de verificación de pruebas computarizados han sido las variantes de tipo dependiente del cálculo λ , explotando la correspondencia de Curry-Howard , según la cual una prueba matemática constructiva consiste en establecer la habitabilidad de algún tipo. El primero de estos sistemas fue el lenguaje Automath creado en 1967 por Nicolas de Bruijn , y las amplias posibilidades expresivas de tales sistemas se proporcionan gracias a la construcción de la teoría intuicionista de tipos de Per Martin-Löf 91] .

Estas ideas recibieron un impulso significativo en el programa para la creación de fundamentos univalentes de las matemáticas , lanzado a fines de la primera década del siglo XXI por iniciativa de V. A. Voevodsky . Como resultado, se obtuvo un lenguaje matemático formal en el que cualquier enunciado bien formado es invariante bajo isomorfismo , un objetivo por el que luchaba Mihai Mackai [91] . La teoría de tipos de homotopía [93] , una variante de la teoría de tipos intuicionista, equipada con conceptos de teoría de categorías, topología algebraica y álgebra homológica , fue elegida como base del programa . Si en el enfoque clásico de los fundamentos, proveniente de Hilbert y Tarski , la lógica es epistemológicamente primaria: primero se determina un sistema lógico y luego ciertas secciones de las matemáticas se formalizan por medio de él, entonces, en el caso de los fundamentos univalentes, la lógica y las matemáticas son en el mismo nivel: las mismas construcciones pueden tener una interpretación tanto lógica como, por ejemplo, geométrica [94] . Voevodsky logró resolver una serie de contradicciones internas de tales sistemas y aplicarlos a ramas abstractas de las matemáticas.

Notas

↑ Fundamentos de Matemáticas . Gran Enciclopedia Soviética, 3ra ed., Volumen 18, S. 1685. Recuperado: 2 de agosto de 2019. (indefinido)
↑ 1 2 3 4 5 Británica .
↑ 1 2 3 Kunen, 1980 , pág. xi: “La teoría de conjuntos es la base de las matemáticas. Todos los conceptos matemáticos se definen en términos de las nociones primitivas de conjunto y pertenencia. En la teoría axiomática de conjuntos, formulamos algunos axiomas simples sobre estas nociones primitivas en un intento de capturar los principios básicos de la teoría de conjuntos "obviamente verdaderos". De tales axiomas pueden derivarse todas las atemáticas conocidas. (La teoría de conjuntos es la base de las matemáticas. Todos los conceptos matemáticos se definen en términos de las nociones primitivas de conjunto y pertenencia. En la teoría axiomática de conjuntos, formulamos algunos axiomas simples sobre estas nociones primitivas en un intento de capturar el concepto básico "evidentemente verdadero". "principios de la teoría de conjuntos. De tales axiomas podrían derivarse todas las matemáticas conocidas.)".
↑ Bourbaki N. Arquitectura de las matemáticas. Ensayos sobre la historia de las matemáticas / Traducido por I. G. Bashmakova, ed. K. A. Rybnikova. M.: IL, 1963. S. 32, 258.
↑ Sennhauser, Walter. Platón y las matemáticas. - San Petersburgo. : Editorial RKHGA, 2016. - S. 71-91; 315-331.
↑ Comienzos de Euclides. Libros I-VI. M.: OGIZ, 1948.
↑ Kunen, 1980 , pág. 12
↑ 12 Monje , 1969 , pág. 21
↑ Jech, 1997 , pág. 7.
↑ Kelly, 1981 , pág. 330.
↑ La definición como conjunto pertenece al matemático polaco Kazimierz Kuratowski , pero antes de él la idea de definir un par ordenado y con él el producto cartesiano (con otras construcciones más complejas que la de Kuratowski) como conjuntos de un tipo especial fue expresada por varios matemáticos, en particular, Norbert Wiener . $(x,y)$ ${\ estilo de visualización \ {x, \ {x, y\}\}}$
↑ Kunen, 1980 , pág. catorce.
↑ Jech, 1997 , pág. once.
↑ Kelly, 1981 , pág. 332.
↑ Enderton, 1977 , Capítulos 4.5.
↑ Roitman, 1990 , Capítulo 4.
↑ Ciesielski, 1997 , Capítulo 3.
↑ Monje, 1969 , pág. 97-115.
↑ Jech, 1997 , pág. 23
↑ Kelly, 1981 , pág. 344.
↑ Aquí, por se entiende la clase de equivalencia a la que pertenece el par . ${\ estilo de visualización [(n, m)]}$ $(Nuevo Méjico)$
↑ Productos de la forma , donde y se definen usando la incrustación anterior en . $q'\cdot p$ $q'\in {\mathbb {N} }$ $p=[(n,m)]\in {\mathbb {Z} }$ $\matemáticas {N}$ $\matemáticas {Z}$
↑ Aquí, por se entiende la clase de equivalencia a la que pertenece el par . ${\ estilo de visualización [(p, q)]}$ $(p, q)$
↑ O mapeos con un dominio de definición en y un conjunto de valores en (donde por se entiende el -ésimo grado cartesiano ). ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n))$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{m))$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n))$ $norte$ ${\mathbb{R} }$
↑ Aquí es necesaria una aclaración: a veces surgen situaciones en las que, en lugar del concepto de "conjunto", un matemático tiene que utilizar un concepto algo más amplio de " clase ", descrito en las teorías de von Neumann - Bernays - Gödel NBG y Morse - Kelly M.K. Escribimos sobre ello a continuación.
↑ Ver explicación a continuación.
↑ J. Shenfield. Lógica matemática. M.: Nauka, 1975, págs. 42-43.
↑ Mendelson E. Introducción a la lógica matemática. M.: Nauka, 1984, págs. 63-67.
↑ Lógica matemática. Enciclopedia matemática. V.3, M.: Enciclopedia soviética, 1982.
↑ Ver la sección de formalismo de Hilbert a continuación.
↑ 1 2 Teorías alternativas de conjuntos axiomáticos. Enciclopedia de Filosofía de Stanford
↑ Kunen, 1980 .
↑ J. Shenfield. Lógica matemática. M.: Nauka, 1975. Capítulo 9.
↑ 1 2 Mendelson E. Introducción a la lógica matemática. M.: Nauka, 1984. Capítulo 4.
↑ Kelly, 1981 , pág. 321-355.
↑ 1 2 3 Kunen, 1980 , pág. 35-36.
↑ Kunen, 1980 , pág. 35.
↑ Kunen, 1980 , pág. 36: "Ninguna de las tres teorías, ZF, NBG y MK, puede pretender ser la "correcta". ZF parece poco elegante, ya que nos obliga a tratar las clases, como hicimos en §9, a través de un circunloquio en la metateoría. Una vez que damos a las clases una existencia formal, es difícil justificar la restricción en NBG sobre la ocurrencia en el axioma de comprensión de clase, por lo que MK parece ser la teoría correcta. Sin embargo, una vez que hemos decidido dar a las clases todos sus derechos, es natural considerar varias propiedades de las clases y tratar de formar superclases, como . En MK, tales objetos solo pueden manejarse a través de un circunloquio poco elegante en la metateoría". $\fi$ $\{R\subseteq \operatorname {ON} \times \operatorname {ON} :R{\text{buenas órdenes}}\operatorname {ON} \}$
↑ Ver detalles en el artículo "Conglomerado" .
↑ 1 2 F. William Lawvere. La categoría de categorías como base para las matemáticas // Actas de la Conferencia sobre álgebra categórica. - Springer, Berlín, Heidelberg, 1966. - P. 1-20 . — ISBN 9783642999048 , 9783642999024 . -doi : 10.1007 / 978-3-642-99902-4_1 .
↑ Panov V. F., 2006 , p. 21
↑ Historia de las Matemáticas, Volumen I, 1970 , p. 178.
↑ Panov V. F., 2006 , p. 32.
↑ Kline M., 1984 , pág. 20-25.
↑ Yanovskaya S.A. ¿Se han superado en la ciencia moderna las dificultades conocidas como "Aporius de Zenón"? // Problemas de lógica . - M. , 1963. - S. 116 -136.
↑ Zenón de Elea // Enciclopedia de Filosofía de Stanford.
↑ Plisko V. E., Khakhanyan V. Kh. Lógica intuicionista . - Página 10. Consultado el 24 de noviembre de 2017. (indefinido)
↑ 1 2 Historia de las Matemáticas, Volumen I, 1970 , p. 78-80.
↑ "Fundamentos de la geometría" de Rashevsky P. K. Hilbert y su lugar en el desarrollo histórico del tema // Hilbert D. Fundamentos de la geometría. - L. : GITTL, 1948. - S. 13-15 .
↑ Vygodsky M. Ya. "Comienzos" de Euclides // Estudios históricos y matemáticos . - M. - L. : GITTL, 1948. - Edición. 1 . - S. 257-264 .
↑ Bashmakova I. G. Conferencias sobre la historia de las matemáticas en la antigua Grecia // Investigación histórica y matemática . - M .: Fizmatgiz , 1958. - N° 11 . - S. 309-323 .
↑ Kline M., 1984 , pág. 45-46.
↑ Kline M., 1984 , pág. 55-59, 63-71.
↑ Previamente , Arquímedes , Cavalieri , Vallis y otros matemáticos utilizaron el método de los infinitesimales como heurística (ver Método de los indivisibles ), estipulando que el resultado puede probarse mediante un método de agotamiento "legítimo" . Newton y Leibniz no hicieron tal reserva, consideraron los infinitesimales como un objeto legal.
↑ Kline M., 1984 , pág. 152-156, 172-173.
↑ Kline M., 1984 , pág. 164-165, 174-176.
↑ Kline M., 1984 , pág. 187, 197.
↑ Kasner, Edward y Newman, James Roy. Las Matemáticas y la Imaginación . - Dover Pubns, 2001. - Pág . 359 . - ISBN 0-486-41703-4 .
↑ Papadimitriou, 2011 : "Las geometrías no euclidianas habían revelado los peligros de hacer matemáticas sin una comprensión profunda de su base axiomática. (La geometría no euclidiana reveló los peligros asociados con hacer matemáticas sin comprender completamente sus fundamentos axiomáticos).
↑ Panov V. F., 2006 , p. 477-482.
↑ Kline M., 1984 , pág. 204-206.
↑ Panov V. F., 2006 , p. 485-486.
↑ Kline M., 1984 , pág. 207.
↑ Panov V. F., 2006 , p. 506-510.
↑ Kline M., 1984 , pág. 236-237.
↑ Filosofía de las Matemáticas , 2.4.
↑ Kline M., 1984 , pág. 240-242.
↑ Kline M., 1984 , pág. 252-255.
↑ Kline M., 1984 , pág. 257-260.
↑ Kline M., 1984 , pág. 267-271.
↑ Kline M., 1984 , pág. 271-274.
↑ Metafísica y Matemáticas, 2011 , p. 152, 442.
↑ Kline M., 1984 , pág. 274-279.
↑ Kline M., 1984 , pág. 280-281.
↑ Panov V. F., 2006 , p. 524.
↑ Kline M., 1984 , pág. 278-279, 284, 418.
↑ Yu. L. Ershov, E. A. Palyutin, Mathematical Logic, M.: Nauka, 1987, pp. 92-93: “Todavía no se han encontrado contradicciones dentro de ZFC. Por otro lado, se ha demostrado que si ZFC es consistente, entonces este hecho no puede establecerse mediante esta teoría.
↑ H.-D.Ebbinghaus, J.Flum, W.Thomas, Mathematical Logic, 1984, p.112: "Sin embargo, el hecho de que ZFC haya sido investigado y utilizado en matemáticas durante décadas y no se haya descubierto ninguna inconsistencia, da fe de la consistencia de ZFC".
↑ Diccionario enciclopédico matemático, Moscú: Enciclopedia soviética, 1988, p.410, artículo "Consistencia": "Cualquier prueba matemática de consistencia es relativa: solo reduce la cuestión de la consistencia de una teoría a la cuestión de la consistencia de otra. "
↑ Enciclopedia matemática, Moscú: Enciclopedia soviética, 1982, p.995, artículo “Consistencia”: “Cualquier prueba de consistencia utiliza los medios de una u otra teoría matemática y, por lo tanto, solo reduce la cuestión de la consistencia a la cuestión de la consistencia de otra teoría También se dice que la primera teoría es consistente con respecto a la segunda teoría. De gran importancia es el segundo teorema de Gödel, que establece que la consistencia de una teoría formal que contiene aritmética no puede probarse por medio de la teoría misma (siempre que esta teoría sea realmente consistente).
↑ Aritmética formal . Gran Enciclopedia Soviética . Recuperado: 20 de enero de 2013. (indefinido)
↑ Penrose R. Mente grande, pequeña y humana. - M. : Mir, 2004. - S. 180-184.
↑ París J.; Harrington L. (1977). Una incompletud matemática en la aritmética de Peano. En Barwise, J. Manual de lógica matemática. Ámsterdam, Países Bajos: Holanda Septentrional.
↑ Kline M., 1984 , pág. 291-293.
↑ Con la excepción de solo algunas secciones de lógica matemática, como se indicó anteriormente.
↑ Diccionario enciclopédico matemático, Moscú: Enciclopedia soviética, 1988, p.683, artículo “Hilbert”: “Las esperanzas iniciales de Hilbert en esta área no se materializaron: el problema de la consistencia de las teorías matemáticas resultó ser más profundo y más difícil que Hilbert pensó al principio. Pero todo el trabajo posterior sobre los fundamentos lógicos de las matemáticas sigue en gran medida los caminos trazados por Hilbert y utiliza los conceptos que creó.
↑ PT Johnstone. Apuntes sobre lógica y teoría de conjuntos. Cambridge University Press, 1996. Teoremas 9.1, 9.2.
↑ Ershov Yu. L. , Palyutin E. A. Lógica matemática. — M .: Nauka, 1987. — 336 p.
↑ A. Rodín. La teoría de categorías y la búsqueda de nuevos fundamentos matemáticos de la física.
↑ Asistentes de prueba: Historia, ideas y futuro // Sadhana . — 2009-02-01. — vol. 34 , edición. 1 . - Pág. 3-25 . -doi : 10.1007/ s12046-009-0001-5 .
↑ 1 2 3 Daniel R. Grayson. Una introducción a los fundamentos univalentes para matemáticos // arXiv:1711.01477 [matemáticas]. — 2017-11-04.
↑ Davis B. Cualesquiera que sean las matemáticas? (inglés) // Avisos de la American Mathematical Society. - 2001. - vol. 52 , núm. 11 _ - P. 1350-1356 .
↑ Teoría del tipo de homotopía: fundamentos univalentes de las matemáticas . - Princeton : Instituto de Estudios Avanzados , 2013. - 603 p.
↑ Andréi Rodin. Atomismo lógico y geométrico de Leibniz a Voevodsky // Problemas de Filosofía . - 2016. - Nº 6 . - S. 134-142 . (Ruso)

Literatura

Comienzos de Euclides / Traducción del griego y comentarios de D. D. Mordukhai-Boltovsky con participación editorial de M. Ya. Vygodsky e I. N. Veselovsky. - M. - L .: GTTI, 1949-1951. - (Clásicos de las ciencias naturales).
Whitehead A., Russell B. Fundamentos de Matemáticas: En 3 volúmenes / Ed. G. P. Yarovoy, Yu. N. Radaeva. - Samara: Universidad de Samara, 2005-2006. — ISBN 5-86465-359-4 .
Hilbert D. , Bernays P. Fundamentos de Matemáticas. M.: Ciencia.
- Tomo I. Cálculo lógico y formalización de la aritmética. 1979, 560 págs.
- Volumen II. La teoría de la evidencia. 1982, 656 págs.
Brouwer, Luitzen EgbertusJan . Over de grondslagen der wiskunde. Academisch proefschrift, Maas & van Suchtelen, Amsterdam 1907 im Internet-Archiv , dito ). Disertación de Brouwer "Sobre los fundamentos de las matemáticas" (nd) .
- Traducción al inglés: Brouwer LEJ Collected Works. vol. 1: Filosofía y Fundamentos de las Matemáticas. - Amsterdam-Oxford, 1975. - 734 p. — ISBN 9781483257549 .
Kleene S.K. Introducción a las metamatemáticas. - M. : Editorial de literatura extranjera , 1957. - 526 p.
Frenkel A. A. , Bar-Hillel I. Fundamentos de la teoría de conjuntos. — M.: Mir, 1966. — 555 p.
Fundamentos de las Matemáticas . - Gran Enciclopedia Soviética, 3ra ed., Volumen 18, S. 1685 ..
Kunen, Kenneth Teoría de conjuntos: una introducción a las pruebas de independencia . - Holanda Septentrional, 1980. - ISBN 0-444-85401-0 .
Bourbaki N. Fundamentos de las matemáticas. Lógicas. Teoría de conjuntos // Ensayos sobre la historia de las matemáticas / I. G. Bashmakova . - M. : Editorial de literatura extranjera, 1963. - S. 37-53. — 292 págs. — (Elementos de las matemáticas).
Bourbaki, N. Arquitectura de las matemáticas. Ensayos sobre la Historia de las Matemáticas (Maced.) . - Moscú: Editorial de literatura extranjera, 1963. - (Elementos de matemáticas).
Sennhauser, Walter. Platón y las matemáticas. - San Petersburgo. : Editorial RKHGA, 2016.
El comienzo de Euclides. Libros I - VI. - Moscú: OGIZ, 1948.
Monk, JD Introducción a la teoría de conjuntos. — Educación McGraw-Hill , 1969.
Jech, T. Teoría de conjuntos. — Springer, 1997.
kelly, j.Topología general. - Moscú: Nauka, 1981.
Enderton, H. B. Elementos de la teoría de conjuntos . — Prensa académica, 1977.
Roitman, J. Introducción a la teoría de conjuntos moderna. —Wiley, 1990.
Papadimitriou, Christos H. Computación e intratabilidad: ecos de Kurt Gödel // Kurt Gödel y los fundamentos de las matemáticas: horizontes de la verdad / Matthias Baaz et al. - Prensa de la Universidad de Cambridge , 2011. - 515 p.
Ciesielski, K. Teoría de conjuntos para el matemático en activo. — Prensa de la Universidad de Cambridge, 1997.
Mendelson E. Introducción a la lógica matemática. - Moscú: Nauka, 1984.
Adyan S. I. Lógica matemática // Enciclopedia matemática. - Moscú: Enciclopedia soviética, 1982. - T. 3.

Shenfield J. Lógica matemática. - Moscú: Nauka, 1975.

F. William Lawvere. La categoría de categorías como base para las matemáticas // Actas de la Conferencia sobre álgebra categórica. - Springer, Berlín, Heidelberg, 1966. - P. 1-20 . — ISBN 9783642999048 , 9783642999024 . -doi : 10.1007 / 978-3-642-99902-4_1 .

Historia de las matemáticas. Desde la antigüedad hasta el comienzo de la Nueva Era // Historia de las Matemáticas / Editado por A.P. Yushkevich , en tres volúmenes. - M. : Nauka, 1970. - T. I.
Kline M. Matemáticas. Pérdida de certeza . — M .: Mir, 1984. — 446 p. Archivadoel 12 de febrero de 2007 enWayback Machine
Matemáticas del siglo XIX. Tomo I: Lógica Matemática, Álgebra, Teoría de Números, Teoría de Probabilidades / Ed. Kolmogorova A. N. , Yushkevich A. P. . — M .: Nauka, 1978. — 256 p.
Metafísica. Siglo XXI. Almanaque. Tema. 4: Metafísica y matemáticas. — M. : BINOM. Laboratorio del Conocimiento, 2011. - 463 p. — ISBN 978-5-9963-0551-3 . Una colección de artículos clásicos (Riemann, Poincaré, Brouwer, Gödel, Cohen, G. Weyl) y contemporáneos sobre la justificación de las matemáticas y otros problemas de las matemáticas y la física.
Mostovsky A. El estado actual de la investigación sobre los fundamentos de las matemáticas // Avances en Ciencias Matemáticas . - M .: Academia Rusa de Ciencias , 1954. - T. 9 , número. 3(61) . - S. 3-38 . (Ruso)Esta es una presentación ampliada de un informe presentado en el VIII Congreso de Matemáticos Polacos (Varsovia, 1953).
Panov VF Matemáticas antiguas y jóvenes. - ed. 2do. - M. : MSTU im. NORDESTE. Bauman, 2006. - 648 págs. — ISBN 5-7038-2890-2 .
Perminov V. Ya. Filosofía y Fundamentos de las Matemáticas. - M. : Progreso-Tradición, 2001. - 320 p. — ISBN 5-89826-098-6 .
Yarovoy G., Radaev Yu. Prefacio // Whitehead A., Russell B. Fundamentos de las matemáticas: en 3 volúmenes - Samara: Universidad de Samara, 2005-2006. — ISBN 5-86465-359-4 .
Yashin B. L. Matemáticas en el contexto de problemas filosóficos. - M. : Prometeo, 2012. - S. 69. - 110 p. — ISBN 978-5-4263-0111-5 .

Yanov Yu. I. Matemáticas, metamatemáticas y verdad . Recuperado: 10 de enero de 2018. (indefinido)
Friedman Harvey M. Fundamentos de las matemáticas: pasado, presente y futuro (inglés) . Fecha de acceso: 16 de noviembre de 2017.
Horsten, León. Filosofía de las Matemáticas (Inglés) . - Enciclopedia de Filosofía de Stanford. Recuperado: 15 de noviembre de 2017.
Kunen, Kenneth. The Foundations of Mathematics (inglés) (29 de octubre de 2007). Recuperado: 15 de noviembre de 2017.
Lambek, Joachim. Fundamentos de las matemáticas (inglés) . - Enciclopedia Británica. Recuperado: 15 de noviembre de 2017.
Simpson , Stephen G. Lógica y Matemáticas . Fecha de acceso: 16 de noviembre de 2017.

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