Fórmula Cardi

La fórmula de Cardi es una fórmula para limitar la probabilidad de ruptura en el problema de percolación bidimensional . Predicho a principios de la década de 1990 por Cardy basado en el razonamiento de la teoría del campo conforme establece que la probabilidad marginal de ruptura entre los arcos el límite de un dominio simplemente conectado en el problema de percolación crítica es $[a,b]$ $[discos compactos]$ $\Omega$

\Pi (\Omega ;[a,b],[c,d])={\frac {\Gamma (2/3)}{\Gamma (1/3)\Gamma (4/3)))\eta ^{{1/3}}{}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3)),{\frac {2}{3));{\frac {4}{ 3)),\eta \right)=1-{\frac {\Gamma (2/3)}{\Gamma (1/3)\Gamma (4/3)))(1-\eta )^{{ 1/3)){}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3)),{\frac {2}{3));{\frac {4}{3)) ,1-\eta\right),

donde es la función hipergeométrica , y es la razón doble ${}_{2}F_{1}$ $\eta$

\eta ={\frac {x_{4}-x_{3}}{x_{3}-x_{1}}}:{\frac {x_{4}-x_{2}}{x_{2}- x_{1}}}

cuatro imágenes de puntos bajo el mapeo conforme de la región en el semiplano superior . [1] [2] [3] $(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})$ $a B C D$ $\Omega$

Esta fórmula fue reformulada por Lennart Carleson [4] de la siguiente forma: si un mapa que transforma conformemente la región en un triángulo regular con lado 1, y los puntos , y en los vértices de este triángulo, transforma el punto en un punto ubicado a una distancia del vértice de la imagen , entonces la probabilidad deseada es [5] [2] . $\Omega$ $a$ $b$ $C$ $d$ $X$ $C$ $X$

Para el caso de una red triangular, esta fórmula fue probada rigurosamente a principios de la década de 2000 por Stanislav Smirnov utilizando la técnica de funciones armónicas discretas . [5] [2] [6]

Fórmula

Antecedentes históricos

La cuestión de la probabilidad de ruptura para un modelo específico (tridimensional) (bolas blancas y negras empacadas en una caja de un tamaño determinado) se planteó en 1894 , en la revista American Mathematical Monthly . De Volson Wood sugirió [7] el siguiente problema:

Se lanza un número igual de bolas blancas y negras del mismo tamaño en un

caja rectangular, ¿cuál es la probabilidad de que haya contacto contiguo de bolas blancas de un extremo de la caja al extremo opuesto? Como ejemplo especial, suponga que hay 30 bolas en el largo de la caja, 10 en el ancho y 5 (o 10)

capas profundas

Vale la pena señalar que la solución de P. H. Philbrick publicada en este número era aproximada (suponía que la existencia de una ruptura en línea recta era lo más probable); en el mismo lugar, los editores se ofrecieron a publicar la solución exacta si alguien la encuentra. Como ahora sabemos, la suposición hecha en la solución aproximada estaba lejos de la verdad. [cuatro]

En 1957, Broadbent y Hammersley sentaron las bases de la teoría matemática de la percolación en su trabajo [8] , cuyo punto de partida fue el estudio de la fuga de gas a través del filtro de carbón de una máscara antigás [9] .

A principios de la década de 1990, aparece el trabajo de Langlands et al [10] [11] , en el que se estudian varias probabilidades de ruptura en una región rectangular para seis modelos diferentes, y se encuentra que (dentro de la precisión de los experimentos numéricos) estos Las funciones para diferentes modelos coinciden. Además, Aizenman plantea [12] [13] una conjetura sobre la invariancia conforme de la probabilidad de ruptura.

Casi inmediatamente después de eso, a Cardi se le ocurre su fórmula para la probabilidad de ruptura. [una]

Planteamiento del problema

La fórmula de Cardi da la respuesta al problema de la avería. Es decir, consideramos un dominio simplemente conexo en el plano, con cuatro puntos marcados en el límite. Para cada , esta área se aproxima mediante una red con un escalón (o escala) , según el problema, cuadrado, triangular o más complejo; esto da como resultado un gráfico con puntos marcados . $\Omega$ $a B C D$ $\delta>0$ $\delta$ $\Omega^{{\delta}}$ $a^{\delta},b^{\delta},c^{\delta},d^{\delta}$

Para cada , se encuentra la probabilidad de un desglose en este gráfico. Es decir, los vértices del gráfico son independientes, cada uno con una probabilidad de 1/2, declarados "abiertos" o "cerrados", y la probabilidad deseada es la probabilidad de tener un camino de arco a arco que vaya solo a lo largo de vértices abiertos. $\delta>0$ $\ Pi _{{\ delta ))$ $[a^{\delta},b^{\delta}]$ $[c^{\delta},d^{\delta}]$

Finalmente, la probabilidad de ruptura deseada se define como el límite de probabilidades "discretizadas" como , tendiendo a cero: $\ Pi _{{\ delta ))$ $\delta$

\Pi (\Omega ,[a,b],[c,d]):=\lim _({\delta \to 0}}\Pi _{{\delta }}.

La respuesta de Cardi

La respuesta propuesta por Cardi (usando la teoría del campo conforme ) para la probabilidad de ruptura fue:

La probabilidad de ruptura es conformemente invariante, es decir, si entre las regiones y hay un mapeo conforme que transforma puntos en el límite en puntos en el límite , entonces $\Omega$ $\Omega '$ $\varphi$ $a B C D$ $\Omega$ $a B C D'$ $\Omega '$

\Pi (\Omega ;[a,b],[c,d])=\Pi (\Omega ';[a',b'],[c',d']).

Por lo tanto, basta con establecer la probabilidad de ruptura para una sola región simplemente conexa, y se pueden fijar tres de los cuatro puntos. $a B C D$

En el semiplano superior para puntos , la probabilidad de ruptura se expresa en términos de la función hipergeométrica como [2] ${\displaystyle \mathbb {C} _{+}=\{Im\,z>0\))$ $0,1-u,1,\infty$ ${}_{2}F_{1}$

\Pi (\mathbb {C} _{+};[1-u,1],[\infty,0])={\frac {\Gamma (2/3)}{\Gamma (1/ 3)\Gamma (4/3)}}u^{1/3}{}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3)),{\frac {2}{3 ));{\frac {4}{3}},u\derecha).

Esta representación se puede reescribir como una integral

\Pi (\mathbb {C} _{+};[1-u,1],[\infty,0])={\frac {1}{\int _{0}^{1}( v(1-v))^{-2/3}dv}}\int _{0}^{u}(v(1-v))^{-2/3}dv.

La reformulación de Carleson

Poco después de la aparición de la fórmula de Cardi, Lennart Carleson notó [4] que la integral en el lado derecho de la representación integral define (como una función en el semiplano superior) un mapeo conforme del semiplano superior en un regular triángulo. Por tanto, la fórmula de Cardi se puede simplificar considerando como área un triángulo regular, en el que tres de los cuatro puntos marcados están en los vértices. En este caso, la probabilidad de ruptura resulta ser simplemente la razón de la de los segmentos , que no es un lado del triángulo, al lado del triángulo. $[a B C D]$

Prueba para el caso de una red triangular

La fórmula de Cardi para el caso de una red triangular fue probada por Smirnov utilizando la técnica del análisis complejo discreto. Uno de los pasos en su prueba fue la extensión de la probabilidad de ruptura a una función en el interior de la región. Es decir, para un área discretizada con tres puntos marcados en el límite, consideramos una función en esta área que especifica la probabilidad de tener un camino abierto desde el arco hasta el arco límite que separa el punto del arco . La probabilidad de ruptura viene dada por el valor de esta función en el punto límite . $\Omega _{{\delta ))$ $A_{{\delta}},B_{{\delta}},C_{{\delta}}$ $h_{{C,\delta}}(z)$ $A_{{\delta}}C_{{\delta}}$ $B_{{\delta}}C_{{\delta}}$ $A_{{\delta}}B_{{\delta}}$ $z$ $\Pi _{{\delta }}(\Omega _{{\delta }});[A_{{\delta }}B_{{\delta }}],[C_({\delta }}D_{{\ delta }}])$ $D_{{\delta}}$

Resulta que, en cuanto a la suma de tres funciones de este tipo,

h_{{\delta }}=h_{{A,\delta }}(z)+h_{{B,\delta }}(z)+h_{{C,\delta }}(z),

y por su combinación lineal

s_{{\delta }}=h_{{A,\delta }}(z)+\tau h_{{B,\delta }}(z)+\tau h_{{C,\delta }}(z) ,\quad\tau =e^{{2\pi i/3}},

el diferencial antiholomórfico discreto resulta ser pequeño (y tiende a cero a medida que el paso decrece ). Esto implica que las funciones límite y son holomorfas . Finalmente, la función es holomorfa y toma solo valores reales; por tanto, resulta ser constante y, debido a los valores de contorno, idénticamente igual a la unidad. ${\bar {\parcial))$ $\delta$ $h=\lim_{{\delta \to 0}}h_{{\delta }}$ $s=\lim _{{{\delta \to 0}}s_{{\delta }}$ $h$

Un análisis de la función s muestra que mapea conformemente el área en un triángulo regular al convertir los puntos A, B y C en puntos ; luego se restablece la fórmula de Cardi a partir del estudio del comportamiento de las funciones en la frontera. $\Omega$ $0,1,e^{{\pi i/3}}$

Notas

↑ 12 Cardy , 1992 .
↑ 1 2 3 4 Smirnov, 2006 .
↑ Sheffield, S. y Wilson, prueba de D.B. Schramm de la fórmula de Watts . Consultado el 11 de septiembre de 2011. Archivado desde el original el 25 de agosto de 2012.
↑ 1 2 3 Smirnov S. K. Discurso en el Congreso de Profesores de Matemáticas de toda Rusia en la Universidad Estatal de Moscú . Consultado el 19 de agosto de 2011. Archivado desde el original el 25 de agosto de 2012. (indefinido)
↑ 1 2 Smirnov, 2001 , pág. 241.
↑ Fórmula de Beffara V. Cardy sobre la red triangular, el camino fácil (enlace no disponible) . Consultado el 17 de agosto de 2011. Archivado desde el original el 31 de agosto de 2012. (indefinido)
↑ Wood DV , Philbrick PH Soluciones a problemas: 5 // American Mathematical Monthly . - 1894. - V. 1 , No. 6 . - S. 211-212 .
↑ Broadbent SR, Hammersley JH Procesos de percolación, I. Cristales y laberintos // Proc . Camb. Fil. Soc.. - 1957. - Vol. 53. - Pág. 629-641.
↑ Efros, 1982 , pág. 1-2.
↑ Langlands RP, Pichet C., Pouliot Ph., Saint-Aubin Y. Sobre la universalidad de las probabilidades cruzadas en la percolación bidimensional // Journal of Statistical Physics. — vol. 67. - Pág. 553-574. -doi : 10.1007/ BF01049720 .
↑ Langlands RP, Pichet C., Pouliot Ph., Saint-Aubin Y. Sobre la universalidad de las probabilidades cruzadas en la filtración bidimensional // Preprint CRM-1785. — Octubre de 1991.
↑ Langlands R., Pouliot Ph., Saint-Aubin Y. Invariancia conforme en la percolación bidimensional // Bull. amer Matemáticas. soc. (NS). — vol. 30.—Pág. 1–61.
↑ Smirnov, 2001 , pág. 239.

Enlaces

Austin D. Percolación: Deslizándose a través de las grietas . Columna de características de la Sociedad Matemática Estadounidense . Consultado el 8 de septiembre de 2011. Archivado desde el original el 15 de mayo de 2012.

Literatura

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Cardy J. Percolación crítica en geometrías finitas // J. Phys. A.- 1992.- T. 25 . - C. L201-L206 .
Smirnov S. Percolación crítica en el avión. I. Invariancia conforme y fórmula de Cardy. II. Límite de escala continua. . (indefinido)
Smirnov S. Percolación crítica en el plano: invariancia conforme, fórmula de Cardy, límites de escala // CR Acad. ciencia París, Ser. I.- 2001.- vol. 333. - Pág. 239-244.
Smirnov S. Percolación crítica e invariancia conforme (inglés) // XIV Congreso Internacional de Física Matemática, Lisboa, Portugal, 28 de julio - 2 de agosto de 2003 / Zambrini, Jean-Claude (ed.). - Hackensack, NJ: World Scientific Publishing, 2006. - P. 99-112 . — ISBN 978-9812562012 .
La fórmula de Beffara V. Cardy sobre la red triangular, el camino fácil (enlace no disponible) . Consultado el 17 de agosto de 2011. Archivado desde el original el 31 de agosto de 2012. (indefinido)
Kesten H. Algunos aspectos destacados sobre la filtración // Actas del Congreso Internacional de Matemáticos: Beijing 2002, 20-28 de agosto. - T. 1 . - S. 345--362 . - ISBN 978-7040086904 .