Teorema de disipación de fluctuación

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 1 de octubre de 2021; la verificación requiere 1 edición .

El teorema de fluctuación-disipación [1] es un teorema de física estadística que conecta las fluctuaciones de un sistema (su densidad espectral ) con sus propiedades disipativas . PDT se deriva de la suposición de que la respuesta del sistema a una pequeña acción externa es de la misma naturaleza que la respuesta a las fluctuaciones espontáneas.

El teorema de fluctuación-disipación permite calcular la relación entre la dinámica molecular de un sistema en estado de equilibrio termodinámico y el comportamiento macroscópico del sistema observado en medidas dinámicas. Por lo tanto, los modelos del sistema a nivel molecular se pueden utilizar para predecir cuantitativamente las propiedades macroscópicas lineales de los materiales.

La desviación del comportamiento de los sistemas (incluso los que no están en equilibrio) del teorema de disipación de fluctuación es el motivo de las publicaciones en las principales revistas científicas. [2]

Redacción

Si la respuesta a una influencia externa se puede representar como $x(t)$ $pie)$

x(t)=\int \alpha (\tau)f(t-\tau)d\tau

{\tilde x}(\omega)={\tilde \alpha}(\omega){\tilde f}(\omega)

entonces, según la ecuación 124.9 del volumen "Mecánica estadística" (L. D. Landau y E. M. Lifshits) [3] , la densidad espectral de las fluctuaciones de una cantidad termodinámica se relaciona con la parte imaginaria de la susceptibilidad generalizada de la siguiente manera: $S_{x}$ $\alpha ''(\omega )=\mathrm {Im} \,{\tilde {\alpha }}(\omega )$

S_{x}(\omega )=\hbar \alpha ''(\omega )\coth \left({\frac {\hbar \omega }{2k_{B}T}}\right)

mientras que la fluctuación cuadrática media de la cantidad termodinámica $\langle x^{2}\rangle$

\langle x^{2}\rangle =\int_{-\infty}^{\infty}\hbar \alpha ''(\omega)\coth(\hbar \omega /2k_{B}T) {\frac{d\omega}{2\pi}}

Es fácil ver que en el caso clásico ( ) la fórmula se convierte en ${\ Displaystyle k_ {B} T \ gg \ hbar \ omega}$

S_{x}(\omega )={\frac {2k_{B}T}{\omega }}\alpha ''(\omega )

y en cuanto ( ) $T\flecha derecha 0$

S_{x}(\omega )=\hbar \alpha ''(\omega )

También vale la pena señalar que dado que la densidad espectral de un proceso estacionario debe ser uniforme, a menudo en lugar de la densidad espectral se usa la densidad espectral unilateral , que se define solo para el semieje de frecuencia positivo. Tal densidad espectral ya está integrada de a . $S_{x}$ $S_{x}^{+}=2S_{x}$ ${\ estilo de visualización 0}$ $\infty$

Ejemplos

Movimiento browniano

Einstein , en su artículo sobre el movimiento browniano ( 1905 ), señaló que las mismas fuerzas aleatorias que provocan la marcha aleatoria en el movimiento browniano también provocan una fricción viscosa que actúa sobre las partículas a medida que se mueven a través de un fluido. En otras palabras, las fluctuaciones en las coordenadas de las partículas con respecto a su posición de reposo son de la misma naturaleza que la fuerza de fricción disipativa que debe superarse para cambiar el sistema en una dirección determinada.

A partir de sus observaciones, utilizando los métodos de la física estadística, dedujo una conexión inesperada entre los parámetros del sistema: la relación Einstein-Smoluchowski :

D={\mu\,k_{B}T}

relacionando D , el coeficiente de difusión , y μ , la movilidad de la partícula ( μ se expresa como la relación entre la velocidad de la partícula y la fuerza aplicada, μ = v d / F ), es la constante de Boltzmann y T es la temperatura absoluta . $k_{B}$

Fórmula de Nyquist

En 1928, John B. Johnson descubrió y Harry Nyquist explicó el fenómeno del ruido térmico . En ausencia de corriente que fluya a través de la resistencia eléctrica, el voltaje RMS depende de la resistencia y del ancho de banda de medición : $R$ $k_{B}T$ $\Delta\nu$

\langle V^{2}\rangle =4Rk_{B}T\Delta \nu

. Conclusión

En los conductores eléctricos, las fluctuaciones más estables son las que conducen a la aparición de ondas estacionarias . El número de ondas electromagnéticas estacionarias con una frecuencia de a en un conductor de longitud , teniendo en cuenta la polarización, es igual a . Suponemos que cada onda estacionaria tiene una energía correspondiente a la energía de un oscilador armónico. Entonces la energía de las ondas estacionarias con frecuencia de a será . La potencia por unidad de longitud de la cadena es . Toda la energía de las corrientes de fluctuación vuelve a convertirse en calor en la resistencia. La pérdida de potencia por unidad de longitud de un conductor con resistencia según la ley de Joule-Lenz es , donde es el cuadrado medio de la fluctuación EMF para ondas con una frecuencia de . Obtenemos la fórmula de Nyquist [4] . $\nu$ ${\ estilo de visualización \ nu + d \ nu}$ $L$ $dn(\nu )=2\cdot {\frac {2Ld\nu }{c))$ $k_{B}T$ $\nu$ ${\ estilo de visualización \ nu + d \ nu}$ $dE(\nu )=4\cdot {\frac {L}{c}}d\nu k_{B}T$ $dW={\frac {dE(\nu )}{\frac {L}{c}}}=4k_{B}Td\nu$ $R$ ${\frac {dW(\nu )}{d\nu }}={\frac {\langle {V^{2}}\rangle (\nu )}{R}}$ $\langle V^{2}\rangle$ $\nu$ $\langle V^{2}\rangle =4Rk_{B}T\Delta \nu$

Literatura

↑ Herbert B. Callen y Theodore A. Welton. "Irreversibilidad y Ruido Generalizado", Phys. Rvdo. 83 , 34 (1951) doi : 10.1103/PhysRev.83.34
↑ Mizuno D. et al . "Mecánica de desequilibrio de las redes citoesqueléticas activas", Science 315 , 370 (2007) doi : 10.1126/science.1134404
↑ Landau L. D. , Lifshits E. M. Física estadística. Parte 1. - Edición 5ta. — M .: Fizmatlit , 2001. — 616 p. - (" Física Teórica ", Tomo V). — ISBN 5-9221-0054-8 .
↑ Nozdrev V.F., Senkevich A.A. Curso de física estadística. - M., Escuela superior, 1969. - p. 189