Jost funciones

Funciones de Jost (soluciones de Jost , funciones del ing . Jost, soluciones del ing. Jost ): soluciones de la ecuación unidimensional de Schrödinger para un potencial que cae al infinito.

Definición matemática

Planteamiento del problema

Consideramos un operador de Schrödinger unidimensional de la forma

H=-{\frac {{\mathrm d}^{2}}{{\mathrm d}x^{2}}}+u(x),\quad x\in {\mathbb R},

donde el potencial se define sobre el conjunto de los números reales como una función perteneciente a la clase de los localmente integrables. El problema correspondiente de encontrar valores propios tendrá la forma [1] $tu(x)$ $\lambda =k^{2}$

-\psi (x)''+u(x)\psi (x)=k^{2}\psi (x).

Definición

Impongamos una condición al potencial en la forma

\int \limits _{{-\infty }}^{\infty }(1+|x|)|u(x)|{\mathrm d}x<\infty ,

lo que significa que la función cae más rápido que 1/x 2 . Esto significa que para k real hay soluciones a la ecuación unidimensional de Schrödinger, que están determinadas únicamente por las asintóticas en el infinito $tu(x)$ $|x|\a \infty$

f_{1}(x,k)=e^{{-ikx}}+o(1),\quad x\to -\infty ,

f_{2}(x,k)=e^{{ikx}}+o(1),\quad x\to \infty ,

llamadas soluciones de Jost [1] en honor al físico suizo Res Jost . [2] En el caso general (también para el complejo k ) se puede demostrar que, dada la condición anterior en , existen cuatro soluciones a la ecuación unidimensional de Schrödinger que satisfacen las ecuaciones integrales $tu(x)$

f_{1}(x,k)=e^{{-ikx}}-\int \limits_{{-\infty}}^{x}{\frac {\sin k(\xi -x)}{ k}}u(\xi )f_{1}(\xi ,k){\mathrm d}\xi ,

\overline {f_{1}}(x,k)=e^{{-ikx}}-\int \limits _{{-\infty }}^{x}{\frac {\sin k(\xi - x)}{k}}u(\xi )\overline {f_{1}}(\xi ,k){\mathrm d}\xi ,

f_{2}(x,k)=e^{{ikx}}+\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\sin k(\xi -x)}{k}}u (\xi )f_{2}(\xi ,k){\mathrm d}\xi ,

\overline {f_{2}}(x,k)=e^{{ikx}}+\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\sin k(\xi -x)}{ k}}u(\xi )\overline {f_{2}}(\xi ,k){\mathrm d}\xi ,

donde la barra superior significa conjugación compleja . Además, las funciones mismas y sus derivadas con respecto a x son continuas con respecto a k en y son analíticas en y estas soluciones son únicas. [3] Las ecuaciones para las funciones de Jost se pueden obtener directamente de las condiciones de contorno y la ecuación de Schrödinger usando la función de Green en la forma ${\mathrm I}m\,k\geq 0$ ${\mathrm I}m\,k>0$

G(x,\xi,k)=\left\lbrace {\begin{matriz}{ll}{\frac {\sin k(\xi -x)}{k)),&\xi <x\\0 ,&\xi >x\end{matriz}}\right.,

o sustitución directa. [cuatro]

Uso

Las funciones Jost se aplican en problemas de dispersión y en la teoría de solitones . [5] [6]

Notas

↑ 1 2 Takhtajian, 2008 , pág. 155.
↑ Scheck, 2007 , pág. 157.
↑ Dodd et al., 1988 , pág. 125-127.
↑ Novokshenov, 2002 , pág. 42-43.
↑ Takhtajian, 2008 , págs. 136-139.
↑ Novokshenov, 2002 , pág. 41-46.

Literatura

Dodd, R., Eilbeck, J., Gibbon, J., Morris, X. Solitons y ecuaciones de onda no lineales. — M .: Mir, 1988. — 694 p.
Novokshenov, V. Yu. Introducción a la teoría de los solitones. - Izhevsk: Instituto de Investigación Informática, 2002. - 96 p. - ISBN 5-93972-100-1 .
Slavianinov, S. Iu. Soluciones asintóticas de la ecuación unidimensional de Schrödinger. - Sociedad Matemática Americana, 1996. - vol. 151. - 190 pág. — (Traducciones de monografías matemáticas, Lectures in Applied Mathematics). — ISBN 9780821805367 .
Scheck, F. Física cuántica. - Springer, 2007. - 738 págs. — ISBN 9783540256458 .
Takhtadzhian, L.A. Mecánica cuántica para matemáticos. - Sociedad Matemática Estadounidense, 2008. - vol. 95. - 387 pág. - (Estudios de posgrado en matemáticas). — ISBN 9780821846308 .