Jordanov totiente

Jordan totient o función de Jordan [1] es el número de - tuplas de números naturales menores o iguales que , que forman junto con un conjunto de números coprimos (juntos). La función es una generalización de la función de Euler , que es igual a . La función lleva el nombre del matemático francés Jordan . $k$ $norte$ $norte$ $J_{1}$

Definición

La función de Jordan es multiplicativa y se puede calcular a partir de la fórmula

J_{k}(n)=n^{k}\prod_{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{k))}\right)\,

, donde pasa por los divisores primos de .

pags

norte

Propiedades

$\sum _{d|n}J_{k}(d)=n^{k}\,$ ,

que se puede escribir en el lenguaje de convolución de Dirichlet como [2]

J_{k}(n)\star 1=n^{k}\,

, y a través de las inversiones de Möbius como

{\displaystyle J_{k}(n)=\mu (n)\star n^{k))

. Dado que la función generadora de Dirichlet es , y la función generadora de Dirichlet es , la serie para se convierte en

\mu

1/\zetas

{\ estilo de visualización n ^ {k}}

{\ estilo de visualización \ zeta (sk)}

{\ Displaystyle J_ {k}}

\sum _{n\geq 1}{\frac {J_{k}(n)}{n^{s))}={\frac {\zeta (sk)}{\zeta (s)} }

Orden promedio paraiguales ${\ estilo de visualización J_ {k} (n)}$

{\frac {n^{k}}{\zeta (k+1)))

La función psi de Dedekind es igual a

\psi(n)={\frac {J_{2}(n)}{J_{1}(n)))

y al examinar la definición (nótese que cada factor en el producto por números primos es un polinomio circular ), se puede demostrar que las funciones aritméticas definidas como o son funciones multiplicativas de enteros. ${\ Displaystyle p_ {-k}}$ ${\frac{J_{k}(n)}{J_{1}(n)))$ ${\frac{J_{2k}(n)}{J_{k}(n)))$

$\sum_{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta )J_{s}\left({\frac {n}{\delta }}\right)=J_ {r+s}(n)$ . [3] [4]

Orden de grupos de matrices

El grupo lineal completo de matrices de orden sobre tiene orden [5] $metro$ $\mathbb {Z} _{n}$

|\operatorname {GL} (m,\mathbb {Z} _{n})|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=1}^ {m}J_{k}(n).

El grupo lineal especial de orden sobre tiene orden $metro$ $\mathbb {Z} _{n}$

|\operatorname {SL} (m,\mathbb {Z} _{n})|=n^{\frac {m(m-1)}{2))\prod _{k=2}^ {m}J_{k}(n).

El grupo simpléctico de matrices de orden sobre tiene orden $metro$ $\mathbb {Z} _{n}$

|\operatorname {Sp} (2m,\mathbb {Z} _{n})|=n^{m^{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{2k}( norte).

Jordan descubrió las dos primeras fórmulas.

Ejemplos

Listados en OEIS J 2 en A007434 , J 3 en A059376 , J 4 en A059377 , J 5 en A059378 , J 6 a J 10 en los listados A069091 - A069095 .

Funciones multiplicativas definidas por la razón J 2 (n)/J 1 (n) en A001615 , J 3 (n)/J 1 (n) en A160889 , J 4 (n)/J 1 (n) en A160891 , J 5 ( n)/J 1 (n) en A160893 , J 6 (n)/J 1 (n) en A160895 , J 7 (n)/J 1 (n) en A160897 , J 8 (n)/J 1 (n ) en A160908 , J 9 (n)/J 1 (n) en A160953 , J 10 (n)/J 1 (n) en A160957 , J 11 (n)/J 1 (n) en A160960 .

Ejemplos de relaciones J 2k (n)/J k (n): J 4 (n)/J 2 (n) en A065958 , J 6 (n)/J 3 (n) en A065959 y J 8 (n)/J 4 (n) en A065960 .

Notas

↑ Hay otras funciones de Jordan. Entonces, Merzlyakov escribe: “ Teorema . Existe una "función de Jordan" con la siguiente propiedad: cada grupo finito G de contiene un subgrupo normal abeliano A con índice . $J:\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ $GL_{n}(\mathbb{C} )$ ${\ estilo de visualización \ leqslant L (n)}$
↑ Sandor, Crstici, 2004 , pág. 106.
↑ Holden, Orrison, Varble .
↑ Fórmula de Gegenbauer
↑ Andrica, Piticari, 2004 .

Literatura

Dickson LE Historia de la teoría de los números , vol. I.- Chelsea Publishing , 1971.- Pág . 147.- ISBN 0-8284-0086-5 .
M. Ram Murty. Problemas de Teoría Analítica de Números. - Springer-Verlag , 2001. - T. 206. - P. 11. - ( Textos de Posgrado en Matemáticas ). - ISBN 0-387-95143-1 .
Jozsef Sandor, Borislav Crstici. Manual de teoría de números II. - Dordrecht: Kluwer Academic, 2004. - P. 32–36. — ISBN 1-4020-2546-7 .
Matthew Holden, Michael Orrison, Michael Varble. Otra generalización más de la función Totient de Euler . Archivado desde el original el 5 de marzo de 2016.
Dorin Andrica, Mihai Piticari. Sobre algunas extensiones de las funciones aritméticas de Jordan // Acta universitatis Apulensis. - 2004. - Nº 7 .

Enlaces

Merzlyakov Yu.I. grupos racionales. - Moscú: "Nauka", 1980. - (Álgebra moderna).

función de Euler
función de Euler $\phi(n)$ Función de Jordán ${\ estilo de visualización J_ {k} (n)}$ Función de Carmichael ${\ estilo de visualización \ lambda (n)}$ número no paciente Número de no cociente Número de cliente alto Número de cociente alto Número ligeramente totient