Ecuaciones de ruta

Las ecuaciones de Routh son ecuaciones diferenciales de movimiento de un sistema mecánico con restricciones holonómicas bidireccionales ideales .

Propuesto por E. J. Routh en 1876 [1] en relación con su método de eliminación de coordenadas cíclicas de las ecuaciones de movimiento [2] . Son una especie de combinación de las ecuaciones de Lagrange de segunda especie y las ecuaciones de Hamilton .

Elaboración de las ecuaciones de Routh

Si en las ecuaciones de Lagrange del segundo tipo, el papel de las variables de estado lo juegan las variables de Lagrange (coordenadas generalizadas y velocidades generalizadas ), y en las ecuaciones de Hamilton, las variables de Hamilton (coordenadas generalizadas y momentos generalizados ), entonces el Routh El enfoque proporciona la subdivisión de las coordenadas generalizadas (así como los impulsos generalizados correspondientes) en dos grupos y una descripción del estado del sistema mecánico utilizando las variables de Routh [3] : $q_{_{i))$ ${\dot {q_{_{i))))$ $q_{_{i))$ $p_{_{i))$

q_{_{1)),\puntos,q_{_{s)),\,{\punto {q_{_{1)))),\puntos,{\punto {q_{_{r }}}},\,p_{_{r+1}},\puntos,p_{_{s}}\,\,;

aquí está el número de grados de libertad, . Los impulsos generalizados se definen de la forma habitual, como derivadas parciales de la función de Lagrange , donde es el tiempo, con respecto a las velocidades generalizadas: $s$ $r\leqslants$ $p_{_{i))$ $L\,=\,L\,(q_{_{1)),\dots ,q_{_{s)),\,{\dot {q_{_{1)))),\dots ,{\punto {q_{_{s}}}},\,t)$ $t$

(*)\qquad p_{_{i}}\;=\;{\frac {\parcial L}{\parcial {\dot {q_{_{i}}}}}}\,,\ qquad i\,\,=\,\,r+1,\dots ,s\,\,.

Las relaciones que acabamos de escribir son un sistema de ecuaciones para las velocidades generalizadas del segundo grupo. En el caso de que el sistema mecánico sea natural , es decir , se introduce la función de Lagrange [ 4 ] como diferencia , el sistema de ecuaciones resulta ser un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. $sr$ ${\ estilo de visualización L \, = \, T-\ Pi}$ $T$ $\Pi$ $\Pi \,=\,\Pi \,(q_{_{1)),\dots,q_{_{s)),t)$ $\Pi \,=\,\Pi \,(q_{_{1)),\dots ,q_{_{s)),\,{\dot {q_{_{1)))), \puntos,{\punto {q_{_{s}}}},\,t)$ $(*)$

Además, se supone que el sistema de ecuaciones tiene una solución única con respecto a las velocidades generalizadas del segundo grupo. Para los sistemas naturales, esto siempre será así, porque el determinante de un sistema de ecuaciones lineales es uno de los principales menores de la matriz compuesta por los coeficientes de inercia del sistema, pero este último está definido positivamente [5] , por lo que que sus principales menores son positivos por el criterio de Sylvester y, por tanto, son distintos de cero. Para sistemas no naturales, la suposición realizada se considera [4] como un requisito adicional impuesto a la función . $(*)$ $L$

Bajo estos supuestos, para componer las ecuaciones de Routh, se encuentra [6] [7] una expresión explícita para la función de Routh (el mismo Rouse la llamó [8] “la función de Lagrange modificada”)

R\;=\;L\,-\sum _{i=r+1}^{s}p_{_{i}}{\dot {q_{_{i}}}}

a través de las variables de Routh y el tiempo:

R\;=\;R\,(q_{_{1)),\dots ,q_{_{s)),\,{\dot {q_{_{1)))),\dots ,{\punto {q_{_{r}}}},\,p_{_{r+1}},\puntos,p_{_{s}}\,t)

(para lo cual se excluyen las velocidades generalizadas , usando las relaciones , de la expresión original para ), luego de lo cual se escriben estas ecuaciones [9] [10] : ${\dot {q_{_{r+1)))),\dots,{\dot {q_{_{s))))$ $(*)$ $R$

{\frac {\rm {d}}({\rm {d}}t}}\,{\frac {\parcial R}{\parcial {\dot {q_{_{i}}}} }}\,-\,{\frac {\parcial R}{\parcial q_{_{i))))\;=\;Q\,'_{_{i}}\,,\qquad i\ ,\,=\,\,1,\puntos,r;

{\frac {{\rm {d}}q_{_{i}}}{{\rm {d}}t}}\;=\;-\,{\frac {\parcial R}{ \parcial p_{_{i))))\,,\qquad {\frac ({\rm {d}}p_{_{i}}}{{\rm {d}}t}}\;=\ ;{\frac {\parcial R}{\parcial q_{_{i))))\,+\,Q\,'_{_{i}}\,,\qquad i\,\,=\, \,r+1,\puntos,s;

aquí hay fuerzas no potenciales generalizadas [11] . La validez de las ecuaciones de Routh se puede verificar sometiendo las ecuaciones de Lagrange del segundo tipo a transformaciones simples [9] [12] . $Q\,'_{_{i))$

Las ecuaciones de Routh tienen forma lagrangiana para las coordenadas generalizadas del primer grupo y forma hamiltoniana para las coordenadas del segundo grupo. En , las ecuaciones de Routh se reducen a las ecuaciones de Lagrange de segunda especie , y en , pasan (si introducimos la función de Hamilton por la igualdad ) a las ecuaciones de Hamilton [13] . $r=0$ ${\ estilo de visualización r = s}$ $H$ ${\ estilo de visualización H = -R}$

Aplicación de las ecuaciones de Routh

Método de eliminación de coordenadas cíclicas

La principal aplicación de la ecuación de Routh se encuentra en el marco del método propuesto por él para eliminar las coordenadas cíclicas de las ecuaciones de movimiento (también se utiliza el término “procedimiento de Rous para ignorar las coordenadas cíclicas” [14] [15] ). El propio Routh se refirió a las coordenadas cíclicas como "coordenadas faltantes"; el término "coordenadas cíclicas" fue introducido [16] en 1884 por G. Helmholtz [17] .

Sean las coordenadas cíclicas , es decir, para que se cumplan las siguientes condiciones [15] : $q_{_{r+1}},\puntos,q_{_{s}}$ $i\,=\,r+1,\dots,s$

la función de Routh no depende de ellos: (esta condición equivale [18] a ser independiente de la función de Lagrange o de la función de Hamilton); ${\frac {\parcial R}{\parcial q_{_{i))))\,=\,0$ $q_{_{i))$
las fuerzas no potenciales generalizadas correspondientes a estas coordenadas son iguales a cero: ; $Q\,'_{_{i}}\,=\,0$
Las fuerzas no potenciales generalizadas correspondientes a otras coordenadas generalizadas (estas últimas se denominan [19] posicionales ) no dependen de coordenadas cíclicas: . ${\frac {\parcial Q\,'_{_{k))}{\parcial q_{_{i))))\,=\,0,\;\;k\,\,= \,\,1,\puntos,r$

En este caso, las ecuaciones de movimiento de un sistema mecánico se componen en forma de ecuaciones de Routh, donde el primer grupo de coordenadas generalizadas está formado por coordenadas posicionales, y el segundo grupo está formado por cíclicas. En este caso, las últimas ecuaciones de Routh toman la forma $sr$

{\frac {{\rm {d}}p_{_{i}}}{{\rm {d}}t}}\;=\;0\,,\qquad i\,\,= \,\,r+1,\puntos,s,

de manera que los impulsos generalizados del segundo grupo resultan constantes:

p_{_{i}}\;=\;\beta _{_{i}}\;=\;{\rm {const}}\,,\qquad i\,\,=\,\ ,r+1,\puntos,s.

Las constantes se pueden encontrar a partir de las condiciones iniciales. Después de reemplazar los momentos en la función de Routh y las ecuaciones de Routh restantes con constantes , el primer grupo de ecuaciones de Routh se separa completamente del resto: ${\ estilo de visualización \ beta _ {_ {i}}}$ $p_{_{i))$ ${\ estilo de visualización \ beta _ {_ {i}}}$

{\frac {\rm {d}}({\rm {d}}t}}\,{\frac {\parcial R}{\parcial {\dot {q_{_{i}}}} }}\,-\,{\frac {\parcial R}{\parcial q_{_{i))))\;=\;Q\,'_{_{i}}\,,\qquad i\ ,\,=\,\,1,\puntos,r.

Estas ecuaciones tienen la misma forma que las ecuaciones de Lagrange de segundo tipo para un nuevo sistema mecánico con grados de libertad y una función de Lagrange de este tipo : $r$ ${\ estilo de visualización L^{*}}$

L^{*}(q_{_{1)),\puntos, q_{_{r)),\,{\punto {q_{_{1)))),\puntos,{\punto {q_{_{r}}}},\,t)\;=\;R\,(q_{_{1}}),\dots ,q_{_{s}}),\,{\dot {q_ {_{1}}}},\puntos,{\punto {q_{_{r}}}},\,\beta _{_{r+1}}),\puntos,\beta_{ _ {s}},\,t)\,\,.

Así, el método de eliminación de coordenadas cíclicas permite reducir el orden de las ecuaciones de movimiento de a . Después de integrar el sistema resultante, la dependencia de las coordenadas cíclicas en el tiempo se puede obtener [15] [20] mediante una simple cuadratura: ${\ estilo de visualización 2s}$ $2r$

q_{_{i}}(t)\;=\;-\,\int \limits _{t_{_{0}}}^{t}\,{\frac {\R parcial}{ \parcial p_{_{i}}}}\,\,{\rm {d}}t\,\,+\,C_{_{i}}\,,\qquad i\,\,=\, \,r+1,\puntos,s.

Si no se cumple la última de las tres condiciones que deben cumplir las coordenadas cíclicas, entonces se habla de coordenadas pseudocíclicas . En este caso, la aplicación del método de eliminación de coordenadas cíclicas conduce al sistema de ecuaciones

{\frac {\rm {d}}({\rm {d}}t}}\,{\frac {\parcial R}{\parcial {\dot {q_{_{i}}}} }}\,-\,{\frac {\parcial R}{\parcial q_{_{i))))\;=\;Q\,'_{_{i}}\,,\qquad i\ ,\,=\,\,1,\puntos,r;

{\frac {{\rm {d}}q_{_{i}}}{{\rm {d}}t}}\;=\;-\,{\frac {\parcial R}{ \parcial p_{_{i}}}}\,,\qquad i\,\,=\,\,r+1,\dots ,s;

en consecuencia, en este caso, el orden de las ecuaciones de movimiento se reduce, pero no tan significativamente, a [15] . ${\ estilo de visualización s+r}$

Otros usos

En 1884, G. Helmholtz utilizó las ecuaciones de Routh en su investigación en el campo de la termodinámica [21] .

A finales del siglo XX. V. F. Zhuravlev demostró la conveniencia de usar las ecuaciones de Routh para describir el movimiento de sistemas mecánicos con restricciones unidireccionales, cuando pueden tener lugar interacciones de impacto . En este caso, el aparato de las ecuaciones de Routh le permite escribir las ecuaciones de movimiento en una forma que no contiene singularidades como las funciones delta [22] .

Notas

↑ Petkévich, 1981 , pág. 358-359.
↑ Golubev, 2000 , pág. 564.
↑ Markeev, 1990 , pág. 249.
↑ 1 2 Markeev, 1990 , pág. 240.
↑ Kilchevski, 1977 , pág. 130.
↑ Golubev, 2000 , pág. 565.
↑ Kilchevski, 1977 , pág. 348-349.
↑ Routh, tomo I, 1983 , pág. 361.
↑ 1 2 Kilchevsky, 1977 , p. 349.
↑ Golubev, 2000 , pág. 565-566.
↑ En la literatura, hay otras opciones para escribir las ecuaciones de Routh: o cambian los roles de las coordenadas del primer y segundo grupo, o cambian el signo de la función de Routh (seguimos a Routh al elegir el signo de las "cambiadas"). función de Lagrange”).
↑ Zhuravlev, 2001 , pág. 127.
↑ Kilchevski, 1977 , pág. 349-350.
↑ Kilchevski, 1977 , pág. 351.
↑ 1 2 3 4 Zhuravlev, 2001 , pág. 128.
↑ Helmholtz, H. von Principien der Statik monocyklischer Systeme // Borchardt-Crelle's Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1884, 97 . - Pág. 111-140.
↑ Lanczos K. Principios variacionales de la mecánica. — M .: Mir, 1965. — 408 p. - art. 151.
↑ Markeev, 1990 , pág. 276.
↑ Markeev, 1990 , pág. 351.
↑ Kilchevski, 1977 , pág. 350.
↑ Petkévich, 1981 , pág. 359.
↑ Zhuravlev, Fufaev, 1993 , pág. 88-89.

Literatura

Golubev Yu. F. Fundamentos de la mecánica teórica. 2ª ed. - M. : Editorial de Moscú. un-ta, 2000. - 719 p. — ISBN 5-211-04244-1 .
Zhuravlev VF Fundamentos de mecánica teórica. 2ª ed. - M. : Fizmatlit, 2001. - 320 p. — ISBN 5-94052-041-3 .
Zhuravlev V. F. , Fufaev N. A. Mecánica de sistemas con restricciones sin retención. — M .: Nauka, 1993. — 240 p. — ISBN 5-02-006784-9 .
Kilchevsky N.A. Curso de Mecánica Teórica. T. II. — M .: Nauka, 1977. — 544 p.
Markeev A.P. Mecánica teórica. — M .: Nauka, 1990. — 416 p. — ISBN 5-02-014016-3 .
Petkevich VV Mecánica teórica. — M .: Nauka, 1981. — 496 p.
Raus, E. J. Dinámica de un sistema de cuerpos rígidos. T. I. - M. : Nauka, 1983. - 464 p.
Ecuación de Targ S. M. Routh // Enciclopedia física : [en 5 volúmenes] / Cap. edición A. M. Projorov . - M . : Enciclopedia soviética (vol. 1-2); Gran Enciclopedia Rusa (vols. 3-5), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .