Logaritmo decimal

El logaritmo en base 10 es el logaritmo en base 10. En otras palabras, el logaritmo en base 10 de un número es la solución de la ecuación $b$ ${\ estilo de visualización 10 ^ {x} = b.}$

El logaritmo decimal real de un número existe si ( el logaritmo decimal complejo existe para todos ). La norma internacional ISO 31-11 lo designa . Ejemplos: $b$ $b>0$ $b\neq 0$ $\lg \,b$

\lg \,1=0;\,\lg \,10=1;\,\lg \,100=2

\lg \,1000000=6;\,\lg \,0{,}1=-1;\,\lg \,0{,}001=-3

En la literatura extranjera, así como en el teclado de las calculadoras , existen otras notaciones para el logaritmo decimal: , y hay que tener en cuenta que las 2 primeras opciones también pueden aplicarse al logaritmo natural . $\operatorname {registro},\operatorname {registro},\operatorname {registro10}$

Propiedades algebraicas

La siguiente tabla asume que todos los valores son positivos [1] :

	Fórmula	Ejemplo
Trabajar	${\ estilo de visualización \ lg (xy) = \ lg (x) + \ lg (y)}$	${\ estilo de visualización \ lg (10000) = \ lg (100 \ cdot 100) = \ lg (100) + \ lg (100) = 2 + 2 = 4}$
cociente de división	$\lg \!\left({\frac {x}{y))\right)=\lg(x)-\lg(y)$	$\lg \left({\frac {1}{1000}}\right)=\lg(1)-\lg(1000)=0-3=-3$
La licenciatura	${\ estilo de visualización \ lg (x ^ {p}) = p \ lg (x)}$	${\ estilo de visualización \ lg (10000000) = \ lg (10 ^ {7}) = 7 \ lg (10) = 7}$
Raíz	$\lg {\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\lg(x)}{p}}$	$\lg {\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\lg 1000={\frac {3}{2}}=1{,}5$

Hay una generalización obvia de las fórmulas anteriores para el caso en que se permiten variables negativas, por ejemplo:

\lg |xy|=\lg(|x|)+\lg(|y|),

\lg \!\left|{\frac xy}\right|=\lg(|x|)-\lg(|y|),

La fórmula para el logaritmo de un producto se puede generalizar fácilmente a un número arbitrario de factores:

\lg(x_{1}x_{2}\puntos x_{n})=\lg(x_{1})+\lg(x_{2})+\puntos +\lg(x_{n})

Las propiedades anteriores explican por qué el uso de logaritmos (antes de la invención de las calculadoras) facilitó enormemente los cálculos. Por ejemplo, la multiplicación de números de varios valores utilizando tablas logarítmicas se llevó a cabo de acuerdo con el siguiente algoritmo: $x, y$

Encuentra los logaritmos de los números en las tablas . $x, y$
Suma estos logaritmos, obteniendo (según la primera propiedad) el logaritmo del producto . $x\cdot y$
Usando el logaritmo del producto, encuentre el producto mismo en las tablas.

La división, que sin la ayuda de los logaritmos es mucho más laboriosa que la multiplicación, se realizó de acuerdo con el mismo algoritmo, solo que la suma de los logaritmos se reemplazó por la resta . De igual forma se realizó la exponenciación y extracción de raíces .

Relación entre logaritmos decimales y naturales [2] :

\ln x\approx 2{,}30259\ \lg x;\quad \lg x\approx 0{,}43429\ \ln x

El signo del logaritmo depende de que el número sea logarítmico: si es mayor que 1, el logaritmo es positivo, si está entre 0 y 1, entonces es negativo. Ejemplo:

\lg \,0{,}012=\lg \,(10^{{-2}}\times 1{,}2)=-2+\lg \,1{,}2\aprox. -2+0 {,}079181=-1{,}920819

Para unificar acciones con logaritmos positivos y negativos, se subrayó en la parte superior la parte entera ( característica ) de estos últimos:

\lg \,0{,}012\aprox. -2+0{,}079181={\bar {2}}{,}079181

La mantisa del logaritmo, seleccionada de las tablas, siempre es positiva con este enfoque.

Función de logaritmo decimal

Si consideramos un número logarítmico como variable, obtenemos la función del logaritmo decimal: Se define para todo Rango de valores: . El gráfico de esta curva a menudo se llama logaritmo [3] . ${\ estilo de visualización y = \ lg \, x.}$ ${\ estilo de visualización x> 0.}$ $E(y)=(-\infty ;+\infty )$

La función es monótonamente creciente, continua y diferenciable dondequiera que se defina. Su derivada viene dada por la fórmula:

{\frac{d}{dx}}\lg\,x={\frac {\lg\,e}{x}}

El eje y es una asíntota vertical porque: $(x=0)$

\lim _{{x\to 0+0}}\lg \,x=-\infty

Aplicación

Antes de la invención de las calculadoras electrónicas compactas en la década de 1970, los logaritmos en base 10 se usaban ampliamente para los cálculos. Como cualquier otro logaritmo, permitieron simplificar y facilitar en gran medida los cálculos que consumen mucho tiempo, reemplazando la multiplicación con la suma y la división con la resta; la exponenciación y la extracción de raíces se simplificaron de manera similar . Pero los logaritmos decimales tenían una ventaja sobre los logaritmos con una base diferente: la parte entera del logaritmo de un número ( característica del logaritmo ) es fácil de determinar. $X$ ${\ estilo de visualización [\ lgx]}$

Si , entonces 1 es menor que el número de dígitos en la parte entera de . Por ejemplo, es inmediatamente obvio lo que hay en el intervalo . ${\ estilo de visualización x \ geqslant 1}$ ${\ estilo de visualización [\ lgx]}$ $X$ $\lg 345$ ${\ estilo de visualización (2,3)}$
Si , entonces el entero más cercano al lado más pequeño es igual al número total de ceros delante del primer dígito distinto de cero (incluido el cero antes del punto decimal), tomado con un signo menos. Por ejemplo, está en el intervalo . ${\ estilo de visualización 0 <x <1}$ $\lgx$ $X$ ${\ estilo de visualización \ lg 0 {,} 0014}$ $(-3,-2)$

Además, al mover un punto decimal en un número por dígitos, el valor del logaritmo decimal de este número cambia a Por ejemplo: $norte$ $norte.$

\lg 8314{,}63=\lg 8{,}31463+3

De ello se deduce que para calcular logaritmos decimales, es suficiente compilar una tabla de logaritmos para números en el rango de a [4] . Tales tablas, a partir del siglo XVII, se produjeron en grandes cantidades y sirvieron como una herramienta de cálculo indispensable para científicos e ingenieros. $una$ $diez$

Dado que el uso de logaritmos para los cálculos con el advenimiento de la tecnología informática casi ha cesado, hoy en día el logaritmo decimal ha sido reemplazado en gran medida por el natural [5] . Se conserva principalmente en aquellos modelos matemáticos en los que históricamente ha echado raíces, por ejemplo, al construir escalas logarítmicas .

Logaritmos decimales para números de la forma 5 × 10 C

Número	Logaritmo	Característica	mantisa	Grabación
norte	registro ( n )	C	METRO = largo( norte ) − C
5,000,000	6.698 970...	6	0.698 970...	6.698 970...
cincuenta	1.698 970...	una	0.698 970...	1.698 970...
5	0.698 970...	0	0.698 970...	0.698 970...
0.5	−0.301 029...	−1	0.698 970...	1.698 970...
0.000 005	−5.301 029...	−6	0.698 970...	6.698 970...

Tenga en cuenta que todos los números de la tabla tienen la misma mantisa porque: $norte$ $METRO$

\lg(n)=\lg \left(x\times 10^{C}\right)=\lg(x)+\lg \left(10^{C}\right)=\lg(x )+C

donde es la parte significativa del número . ${\ estilo de visualización 1<x<10}$ $norte$

Historia

Las primeras tablas de logaritmos decimales fueron publicadas en 1617 por el profesor de matemáticas de Oxford Henry Briggs para números del 1 al 1000, con ocho (luego con catorce) dígitos. Por eso, en el extranjero, los logaritmos decimales suelen llamarse bergantines . Sin embargo, se encontraron errores en estas y posteriores ediciones de las tablas. La primera edición infalible basada en las tablas de Georg Vega ( 1783 ) apareció recién en 1852 en Berlín ( tablas de Bremiker ) [6] .

En Rusia, las primeras tablas de logaritmos se publicaron en 1703 con la participación de L. F. Magnitsky [7] . En la URSS se publicaron varias colecciones de tablas de logaritmos [8] :

Bradis V. M. Tablas matemáticas de cuatro valores. M.: Avutarda, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0 . Las tablas de Bradis, publicadas desde 1921, se utilizaron en instituciones educativas y en cálculos de ingeniería que no requieren gran precisión. Contenían mantisas de logaritmos decimales de números y funciones trigonométricas , logaritmos naturales y algunas otras herramientas de cálculo útiles.
Vega G. Tablas de logaritmos de siete dígitos, 4ª edición, M.: Nedra, 1971. Colección profesional para cálculos exactos.

Literatura

Teoría de los logaritmos

Vygodsky M. Ya. Manual de matemáticas elementales . - ed. 25 - M .: Nauka, 1978. - ISBN 5-17-009554-6 .
Korn G., Korn T. Manual de Matemáticas (para Investigadores e Ingenieros) . - M. : Nauka, 1973. - 720 p.
Fikhtengol'ts G. M. Curso de cálculo diferencial e integral. - ed. 6to. — M .: Nauka, 1966. — 680 p.

historia de los logaritmos

Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Matemáticas elementales. Repetir curso. - Tercera edición, estereotipada. — M .: Nauka, 1976. — 591 p.
Klein F. Matemáticas elementales desde un punto de vista superior . - M. : Nauka, 1987. - T. I. Aritmética. Álgebra. Análisis. — 432 págs.
Matemáticas del siglo XVII // Historia de las matemáticas / Editado por A.P. Yushkevich , en tres volúmenes. - M. : Nauka, 1970. - T. II.
Matemáticas del siglo XVIII // Historia de las matemáticas / Editado por A.P. Yushkevich , en tres volúmenes. - M. : Nauka, 1972. - T. III.
Uspensky Ya. V. Ensayo sobre la historia de los logaritmos. - Petrogrado: Editorial científica, 1923. - 78 p.

Enlaces

Logaritmos decimales (Brigs). (Inglés)

Notas

↑ Vygodsky M. Ya. Manual de matemáticas elementales, 1978 , p. 187..
↑ Vygodsky M. Ya. Manual de matemáticas elementales, 1978 , p. 189..
↑ Función logarítmica. // Enciclopedia matemática (en 5 tomos) . - M .: Enciclopedia soviética , 1982. - T. 3.
↑ Matemáticas elementales, 1976 , p. 94-100.
↑ Klein F. Matemáticas elementales desde un punto de vista superior, 1987 , p. 406..
↑ Historia de las Matemáticas, Volumen II, 1970 , p. 62..
↑ Gnedenko B. V. Ensayos sobre la historia de las matemáticas en Rusia, 2.ª edición. - M . : KomKniga, 2005. - S. 66 .. - 296 p. - ISBN 5-484-00123-4 .
↑ Tablas logarítmicas // Gran Enciclopedia Soviética : [en 30 volúmenes] / cap. edición A. M. Projorov . - 3ra ed. - M. : Enciclopedia soviética, 1969-1978.

diccionarios y enciclopedias	Britannica (en línea)
En catálogos bibliográficos	TIERRA : 1151055638