Número de coma flotante
La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 28 de enero de 2022; las comprobaciones requieren 10 ediciones .Un número de punto flotante (o número de punto flotante ) es una forma exponencial de representar números reales (reales) , en el que el número se almacena como una mantisa y un exponente ( exponente ). En este caso, el número de coma flotante tiene una precisión relativa fija y una absoluta variable. La representación más utilizada se establece en el estándar IEEE 754 . La implementación de operaciones matemáticas con números de coma flotante en los sistemas informáticos puede ser tanto de hardware como de software.
"Coma flotante" y "coma flotante"
Dado que en algunos países, predominantemente de habla inglesa y de habla inglesa, al escribir números, la parte entera se separa del punto fraccionario, el término "punto flotante" aparece en la terminología de estos países . Dado que en Rusia la parte entera de un número se separa tradicionalmente de la parte fraccionaria mediante una coma, el término "coma flotante" se usa históricamente para referirse al mismo concepto, sin embargo, en la actualidad, ambas opciones se pueden encontrar en idioma ruso. bibliografía y documentación técnica.
Origen del nombre
El nombre "coma flotante" proviene del hecho de que una coma en la representación posicional de un número (punto decimal o, para computadoras, una coma binaria; en adelante, simplemente una coma) se puede colocar en cualquier lugar en relación con los dígitos en la cadena. Esta posición de coma se especifica por separado en la representación interna. Por lo tanto, la representación de un número en forma de coma flotante puede verse como una implementación informática de la notación exponencial para números.
La ventaja de utilizar la representación de números en punto flotante sobre la representación en punto fijo (y enteros ) es que se puede utilizar un rango de valores mucho mayor manteniendo la misma precisión relativa . Por ejemplo, en forma de punto fijo, un número que tiene 6 dígitos enteros y 2 decimales se puede representar como 123.456,78 . A su vez, en el formato de punto flotante en los mismos 8 dígitos , puedes escribir los números 1.2345678 ; 1.234.567,8 ; 0.000012345678 ; 12 345 678 000 000 000 y así sucesivamente, pero para esto es necesario tener un campo adicional de dos dígitos para registrar los exponentes de la base 10 de 0 a 16, mientras que el número total de dígitos será 8 + 2 = 10 .
La velocidad a la que una computadora realiza operaciones con números representados en forma de punto flotante se mide en FLOPS (del inglés operaciones de punto flotante por segundo - "[número] de operaciones de punto flotante por segundo") y es uno de los principales Unidades para medir la velocidad de los sistemas informáticos.
Estructura numérica
Un número de coma flotante consta de las siguientes partes:
- signo de la mantisa (indica si el número es negativo o positivo),
- mantisa (expresa el valor de un número sin tener en cuenta el orden ),
- señal de orden,
- orden (expresa el grado de la base del número por el que se está multiplicando la mantisa).
Formas normales y normalizadas
La forma normal de un número de coma flotante es aquella en la que la mantisa (sin tener en cuenta el signo) está en el semiintervalo , es decir, .
Esta forma de notación tiene un inconveniente: algunos números se escriben de forma ambigua (por ejemplo, 0.0001 se puede escribir como 0.000001⋅10 2 , 0.00001⋅10 1 , 0.0001⋅10 0 , 0.001⋅10 −1 , 0.01⋅ 10 −2 y así on), por lo tanto, también es común otra forma de notación (especialmente en informática): normalizada , en la que la mantisa de un número decimal toma valores de 1 (inclusive) a 10 (exclusivamente), es decir (de manera similar, el mantisa de un número binario toma valores de 1 a 2). De esta forma, cualquier número (excepto ) se escribe de forma única. La desventaja es que es imposible representar el 0 de esta forma, por lo que la representación de números en informática proporciona un signo especial ( bit ) para el número 0.
El bit más alto (la parte entera del número) de la mantisa de un número binario (excepto el 0) en forma normalizada es igual a 1 (la llamada unidad implícita ), por lo tanto, al escribir la mantisa de un número en un computadora, se puede omitir el bit alto, que se usa en el estándar IEEE 754 . En los sistemas numéricos posicionales de base mayor que 2 ( internos , cuaternarios, etc.), esta propiedad no existe.
Métodos de grabación
Con opciones de diseño limitadas (por ejemplo, mostrar un número en un indicador de siete segmentos ) y también, si es necesario, proporcionar una entrada de números rápida y conveniente, en lugar de escribir la forma m b e ( m es la mantisa; b es la base , la mayoría de las veces 10; e es el exponente), escriba solo la mantisa y el exponente, separándolos con la letra "E" (del exponente inglés ). En este caso, se asume implícitamente que la base es igual a 10. Por ejemplo, el número 1.528535047⋅10 −25 en este caso se escribe como 1.528535047E-25.
Resumen
Hay varias formas en que las cadenas de dígitos pueden representar números:
- La forma más común de representar el valor de un número a partir de una cadena de dígitos es como un número entero: el punto de base predeterminado se encuentra al final de la cadena.
- En la representación matemática general, una cadena de números puede ser arbitrariamente larga, y la posición de una coma se indica escribiendo explícitamente un carácter de coma (o punto) en el lugar correcto.
- En los sistemas de punto fijo, existe una cierta condición con respecto a la posición de la coma. Por ejemplo, en una cadena de 8 dígitos, la condición puede requerir que se coloque una coma en medio de la entrada (entre el 4.º y el 5.º dígito). Así, la cadena "00012345" significa el número 1,2345 (los ceros de la izquierda siempre se pueden descartar).
- La notación exponencial utiliza una representación estándar ( normalizada ) de números. Se considera que un número está escrito en forma estándar (normalizada) si está escrito en la forma , donde , llamada mantisa, tal que , es un número entero, se llama exponente y es un número entero, la base del sistema numérico (por escrito suele ser 10). Es decir, en la mantisa, se coloca una coma inmediatamente después del primer dígito significativo (que no es igual a cero), contando de izquierda a derecha, y el registro posterior proporciona información sobre el valor real del número. Por ejemplo, el período orbital (en órbita) de la luna Io de Júpiter , que es 152.853,5047 s , se puede escribir en forma estándar como 1,528535047⋅10 5 s . Un efecto secundario de la restricción de los valores de la mantisa es que es imposible representar el número 0 en tal notación.
- La notación de punto flotante es similar a la notación estándar, pero la mantisa y el exponente se escriben por separado. La mantisa se escribe en un formato normalizado , con un punto fijo implícito después del primer dígito significativo. Volviendo al ejemplo de Io, la notación de punto flotante tendría una mantisa de 1,528535047 y un exponente de 5. Esto significa que el número significado es 10 5 veces el número 1,528535047, por lo que el punto decimal se desplaza 5 para obtener los dígitos numéricos implícitos A la derecha. Sin embargo, la notación de punto flotante se usa principalmente en la representación electrónica de números, que usa la base 2 en lugar de 10. Además, en la notación binaria, la mantisa generalmente se desnormaliza, lo que significa que la coma está implícita antes del primer dígito, no después, y el la parte entera no se entiende en absoluto; de esta manera, es posible conservar el valor 0 de forma natural. Por lo tanto, el 9 decimal en la representación binaria de punto flotante se escribirá como una mantisa +1001000…0 y un exponente +0…0100. De ahí, por ejemplo, los problemas con la representación binaria de números como un décimo (0,1), para los cuales la representación binaria de la mantisa resulta ser una fracción binaria periódica, por analogía con 1/3, que no se puede escribir en un número finito de dígitos en el sistema numérico decimal.
Escribir un número en forma de punto flotante le permite realizar cálculos en una amplia gama de valores, combinando un número fijo de dígitos y precisión. Por ejemplo, en representación decimal de números de coma flotante (3 dígitos), la operación de multiplicación, que escribiríamos como
0,12 × 0,12 = 0,0144en forma normal se representa como
(1,20⋅10 −1 ) × (1,20⋅10 −1 ) = (1,44⋅10 −2 ).En formato de punto fijo, obtendríamos redondeo forzado
0,120 × 0,120 = 0,014.Hemos perdido el dígito más a la derecha del número, ya que este formato no permite que la coma "flote" a lo largo de la entrada del número.
Rango de números representables en formato de coma flotante
El rango de números que se pueden escribir de esta manera depende de la cantidad de bits asignados para representar la mantisa y el exponente. En una computadora típica de 32 bits que usa doble precisión (64 bits), la mantisa es un signo de 1 bit + 52 bits, el exponente es un signo de 1 bit + 10 bits. Por lo tanto, obtenemos un rango de precisión de aproximadamente 4.94⋅10 −324 a 1.79⋅10 308 (de 2 −52 × 2 −1022 a ~1 × 2 1024 ). (o de 3.7⋅10 -1126 a 9.99⋅10 1091 ). En el estándar IEEE 754 se reservan varios valores de este tipo para permitir representar valores especiales. Estos incluyen los valores NaN (No es un número) y +/-INF (Infinito ) que resultan de las operaciones de división por cero o cuando se excede el rango numérico. También se incluyen aquí los números desnormalizados , que tienen una mantisa menor que uno. Los dispositivos especializados (como las GPU ) a menudo carecen de soporte para números especiales. Hay paquetes de software en los que la cantidad de memoria asignada para la mantisa y el exponente se establece mediante programación y está limitada solo por la cantidad de memoria disponible en la computadora (consulte Aritmética de precisión arbitraria ).
| Precisión | Único | Doble | Extendido |
|---|---|---|---|
| Tamaño (bytes) | cuatro | ocho | diez |
| Número de lugares decimales | ~7.2 | ~15,9 | ~19.2 |
| Valor mínimo (>0), denormalidad | 1.4⋅10 −45 | 4.9⋅10 −324 | 3.7⋅10 −1126 |
| Valor más bajo (>0), normal | 1.2⋅10 −38 | 2.3⋅10 −308 | 1⋅10 −1091 |
| valor más alto | 3.4×10 +38 | 1.7×10 +308 | 9.9×10 +1091 |
| campos | SEF | SEF | SEIF |
| Tamaños de margen | 1-8-23 | 1-11-52 | 1-15-1-63 |
- S - signo, E - exponente, I - parte entera, F - parte fraccionaria
- Al igual que con los números enteros, el bit de signo es el bit más significativo.
Máquina épsilon
A diferencia de los números de punto fijo , la cuadrícula de números que puede mostrar la aritmética de punto flotante no es uniforme: es más densa para números con exponentes pequeños y más dispersa para números con exponentes grandes. Pero el error relativo de escribir números es el mismo para números pequeños que para números grandes. Máquina épsilon es el número positivo más pequeño ε tal que (el signo denota suma de máquina). En términos generales, los números a y b están correlacionados de modo que la máquina no distingue.
Para precisión simple , es decir, aproximadamente 7 dígitos significativos . Para doble precisión: , 15 dígitos significativos [1] .
Véase también
- Estabilidad computacional
- Punto fijo
- Número de media precisión
- Número de precisión simple
- Número de doble precisión
- número cuádruple
- Separador decimal
Notas
- ↑ E. Cheney, David Kincaid. Matemática Numérica y Computación. — Cengage Learning, 2012. — 43– pág. — ISBN 1-133-71235-5 .
Literatura
- Krinitsky N. A., Mironov G. A., Frolov G. D. Programación. - M. : Editorial estatal de literatura física y matemática, 1963. - 384 p.
- Henry S. Warren, Jr. Capítulo 15. Números de punto flotante // Trucos algorítmicos para programadores = Hacker's Delight. - M .: Williams , 2007. - S. 288. - ISBN 0-201-91465-4 .
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