Carácter (teoría de números)

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 10 de diciembre de 2021; las comprobaciones requieren 2 ediciones .

Un carácter (o carácter numérico , o carácter de Dirichlet ), es una función aritmética definida que surge de caracteres completamente multiplicativos en elementos invertibles . Los caracteres de Dirichlet se utilizan para definir las funciones L de Dirichlet , que son funciones meromórficas con muchas propiedades analíticas interesantes. Si es un personaje de Dirichlet, su serie L -Dirichlet está definida por la igualdad $\mathbb {Z} /k\mathbb {Z}$ $\ chi$

{\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s))))

donde s es un número complejo con parte real > 1. Por continuación analítica , esta función se puede extender a una función meromórfica en todo el plano complejo . Las funciones L de Dirichlet son una generalización de la función zeta de Riemann y aparecen prominentemente en las hipótesis de Riemann generalizadas .

Los personajes de Dirichlet llevan el nombre de Peter Gustav Lejeune Dirichlet .

Definición axiomática

Un carácter de Dirichlet es cualquier función sobre el conjunto de enteros con valores complejos que tiene las siguientes propiedades [1] : $\ chi$ $\matemáticas {Z}$

Existe un entero positivo k tal que para cualquier n . ${\ estilo de visualización \ chi (n) = \ chi (n + k)}$
Si n y k no son primos relativos , entonces ; si son coprimos, . ${\ estilo de visualización \ chi (n) = 0}$ ${\ estilo de visualización \ chi (n) \ neq 0}$
${\ estilo de visualización \ chi (mn) = \ chi (m) \ chi (n)}$ para cualquier número entero m y n .

Algunas otras propiedades se pueden deducir de esta definición. Según propiedad 3) . Como mcd (1, k ) = 1, propiedad 2) dice que , entonces ${\ estilo de visualización \ chi (1) = \ chi (1 \ veces 1) = \ chi (1) \ chi (1)}$ ${\ estilo de visualización \ chi (1) \ neq 0}$

$\chi(1)=1$ .

Las propiedades 3) y 4) muestran que cualquier carácter de Dirichlet es un carácter completamente multiplicativo . $\ chi$

La propiedad 1) dice que el carácter es una función periódica con período k . Decimos que es un carácter módulo k . Esto es equivalente a decir que $\ chi$

si , entonces . $a\equiv b{\pmod {k))$ ${\ estilo de visualización \ chi (a) = \ chi (b)}$

Si mcd( a , k ) = 1, el teorema de Euler establece que (donde es la función de Euler ). Así, según las propiedades 5) y 4), y según la propiedad 3) . Como consecuencia, $a^{\varphi (k)}\equiv 1{\pmod {k))$ $\varphi(k)$ $\chi (a^{\varphi (k)})=\chi (1)=1$ ${\displaystyle \chi (a^{\varphi (k)})=\chi (a)^{\varphi (k)))$

Para todo coprimo de k es la raíz compleja de la unidad , $\chi(a)$ $\varphi(k)$

es decir, para algún número entero . ${\displaystyle e^{2ri\pi /\varphi (k)))$ $0\leqslant r<\varphi (k)$

El único carácter con punto 1 se llama el carácter trivial . Tenga en cuenta que cualquier carácter desaparece en 0, excepto el trivial, que es 1 para todos los números enteros.

Un carácter que toma el valor 1 en todos los números coprimos con se llama principal : $k$ $\chi _{0}(n)=\left\{{\begin{array}{ll}1,&{\text{gcd}}(n,\;k)=1;\\0, &{\text{gcd}}(n,\;k)\neq 1.\end{matriz}}\right.$ [2] .
- En el grupo de personajes módulo , desempeña el papel de una unidad. $k$

Un carácter se llama real si sólo toma valores reales. Un personaje que no es real se llama complejo [3]

El signo del carácter depende de su valor en el punto −1. Dicen que impar si , e incluso si . $\ chi$ $\ chi$ ${\ estilo de visualización \ chi (-1) = -1}$ ${\ estilo de visualización \ chi (-1) = 1}$

Construcción a través de Clases de Residuos

Los caracteres de Dirichlet se pueden considerar en términos del grupo de caracteres del grupo de elementos invertibles de un anillo como caracteres extendidos de clases de residuos [4] . $\mathbb {Z} /k\mathbb {Z}$

Clases de residuos

Dado un entero k , se puede definir la clase de residuo de un entero n como el conjunto de todos los enteros congruentes con n módulo k : Es decir , la clase de residuo es la clase lateral de n en el anillo del cociente . ${\hat {n}}=\{m\mid m\equiv n{\pmod {k}}\}.$ $\sombrero{n}$ $\mathbb {Z} /k\mathbb {Z}$

El conjunto de elementos invertibles módulo k forma un grupo abeliano de orden , donde la multiplicación en el grupo viene dada por la igualdad , y de nuevo significa la función de Euler . La unidad en este grupo es la clase de residuo , y el elemento inverso para es la clase de residuo , donde , eso es . Por ejemplo, para k = 6, el conjunto de elementos invertibles es , ya que 0, 2, 3 y 4 no son coprimos con 6. $\varphi(k)$ ${\sombrero ancho {mn}}={\sombrero {m}}{\sombrero {n}}$ $\varphi$ ${\ estilo de visualización {\ sombrero {1}}}$ ${\ estilo de visualización {\ sombrero {m))}$ $\sombrero{n}$ ${\sombrero {m}}{\sombrero {n}}={\sombrero {1}}$ $mn\equiv 1{\pmod {k))$ $\{{\sombrero {1)),{\sombrero {5}}\}$

El grupo de caracteres consta de los caracteres de las clases de residuos . La naturaleza de la clase de residuo on es primitiva si no hay un divisor propio d para k tal que se factorice como [5] . ${\ estilo de visualización (\ mathbb {Z} / k) ^ {*}}$ $\ theta$ ${\ estilo de visualización (\ mathbb {Z} / k) ^ {*}}$ $\ theta$ $(\mathbb {Z} /k)^{*}\a (\mathbb {Z} /d)^{*}\a \mathbb {C} ^{*}$

Personajes de Dirichlet

La definición de un carácter de Dirichlet módulo k asegura que está restringido al carácter del grupo de elementos invertibles módulo k [6] : el grupo de homomorfismos de a números complejos distintos de cero $\ chi$ ${\ estilo de visualización (\ mathbb {Z} / k) ^ {*}}$

\chi :(\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{*}\to \mathbb {C} ^{*}

con valores que son necesariamente raíces de la unidad, ya que los elementos invertibles módulo k forman un grupo finito. En la dirección opuesta, dado un grupo de homomorfismo en el grupo de elementos invertibles módulo k , podemos elevar a una función completamente multiplicativa en enteros coprimos a k , y luego extender esta función a todos los enteros asignando el valor 0 en todos los enteros que tienen divisores no triviales en común con k . La función resultante será entonces un carácter de Dirichlet [7] . $\ chi$

El carácter principal módulo k tiene las propiedades [7] ${\ estilo de visualización \ chi _ {1}}$

{\ estilo de visualización \ chi _ {1} (n) = 1}

para mcd( n , k ) = 1 y

{\ estilo de visualización \ chi _ {1} (n) = 0}

para mcd( n , k ) > 1.

El carácter asociado de un grupo multiplicativo es el carácter principal , que siempre toma el valor 1 [8] . ${\ estilo de visualización (\ mathbb {Z} / k) ^ {*}}$

Cuando k es 1, el carácter principal módulo k es 1 en todos los números enteros. Para k mayor que 1, los caracteres principales módulo k desaparecen en los números enteros que tienen factores comunes distintos de cero con k , y son iguales a 1 en otros números enteros.

Hay caracteres de Dirichlet módulo n [7] . $\varfi (n)$

Ejemplos

Para cualquier módulo impar , el símbolo de Jacobi es un módulo de caracteres . $k$ ${\ estilo de visualización \ izquierda ({\ frac {n}{k}} \ derecha)}$ $k$
El residuo de potencia de un grado superior a 2 es un carácter no real.

Algunas tablas de caracteres

Las siguientes tablas ayudan a ilustrar la naturaleza de los personajes de Dirichlet. Representan los personajes módulo 1 a 10. Los personajes son los personajes principales. ${\ estilo de visualización \ chi _ {1}}$

Módulo 1

Hay un módulo de carácter 1: $\varfi(1)=1$

${\ estilo de visualización \ chi \ setminus n}$	0
${\ estilo de visualización \ chi _ {1} (n)}$	una

Este es un personaje trivial.

Módulo 2

Hay un módulo de carácter 2: ${\ estilo de visualización \ varphi (2) = 1}$

${\ estilo de visualización \ chi \ setminus n}$	0	una
${\ estilo de visualización \ chi _ {1} (n)}$	0	una

Nótese que está completamente determinado por el valor de , ya que 1 genera un grupo de elementos invertibles módulo 2. $\ chi$ ${\ estilo de visualización \ chi (1)}$

Módulo 3

Hay un personaje módulo 3: ${\ estilo de visualización \ varphi (3) = 2}$

${\ estilo de visualización \ chi \ setminus n}$	una	2
${\ estilo de visualización \ chi _ {1} (n)}$	una	una
${\ estilo de visualización \ chi _ {2} (n)}$	una	−1

Nótese que está completamente determinado por el valor de , ya que 2 genera un grupo de elementos invertibles módulo 3. $\ chi$ ${\ estilo de visualización \ chi (2)}$

Módulo 4

Hay un módulo de carácter 4: ${\ estilo de visualización \ varphi (4) = 2}$

${\ estilo de visualización \ chi \ setminus n}$	una	2	3
${\ estilo de visualización \ chi _ {1} (n)}$	una	0	una
${\ estilo de visualización \ chi _ {2} (n)}$	una	0	−1

Nótese que está completamente determinado por el valor de , ya que 3 genera un grupo de elementos invertibles módulo 4. $\ chi$ ${\ estilo de visualización \ chi (3)}$

La serie L -Dirichlet para igual a la función lambda de Dirichlet (estrechamente relacionada con la función eta de Dirichlet ) ${\ estilo de visualización \ chi _ {1} (n)}$

L(\chi _{1},s)=(1-2^{-s})\zeta(s)

donde es la función zeta de Riemann. La serie L para es la función beta de Dirichlet $\zeta (s)$ ${\ estilo de visualización \ chi _ {2} (n)}$

L(\chi _{2},s)=\beta(s).\,

Módulo 5

Hay caracteres módulo 5. En las tablas, i es la raíz cuadrada de . ${\ estilo de visualización \ varphi (5) = 4}$ $-una$

${\ estilo de visualización \ chi \ setminus n}$	una	2	3	cuatro
${\ estilo de visualización \ chi _ {1} (n)}$	una	una	una	una
${\ estilo de visualización \ chi _ {2} (n)}$	una	i	−yo	−1
${\ estilo de visualización \ chi _ {3} (n)}$	una	−1	−1	una
${\ estilo de visualización \ chi _ {4} (n)}$	una	− yo	i	−1

Tenga en cuenta que el valor está completamente determinado , ya que 2 genera un grupo de elementos invertibles módulo 5. $\ chi$ ${\ estilo de visualización \ chi (2)}$

Módulo 6

Hay personajes módulo 6: $\varfi(6)=2$

${\ estilo de visualización \ chi \ setminus n}$	una	2	3	cuatro	5
${\ estilo de visualización \ chi _ {1} (n)}$	una	0	0	0	una
${\ estilo de visualización \ chi _ {2} (n)}$	una	0	0	0	−1

Nótese que está completamente determinado por el valor de , ya que 5 genera un grupo de elementos invertibles módulo 6. $\ chi$ ${\ estilo de visualización \ chi (5)}$

Módulo 7

Hay caracteres módulo 7. La siguiente tabla ${\ estilo de visualización \ varphi (7) = 6}$ $\omega =\exp(\pi i/3).$

${\ estilo de visualización \ chi \ setminus n}$	una	2	3	cuatro	5	6
${\ estilo de visualización \ chi _ {1} (n)}$	una	una	una	una	una	una
${\ estilo de visualización \ chi _ {2} (n)}$	una	$\omega^{2}$	$\omega$	${\ estilo de visualización - \ omega}$	$-\omega^{2}$	−1
${\ estilo de visualización \ chi _ {3} (n)}$	una	− $\omega$	$\omega^{2}$	$\omega^{2}$	${\ estilo de visualización - \ omega}$	una
${\ estilo de visualización \ chi _ {4} (n)}$	una	una	−1	una	−1	−1
${\ estilo de visualización \ chi _ {5} (n)}$	una	$\omega^{2}$	${\ estilo de visualización - \ omega}$	${\ estilo de visualización - \ omega}$	$\omega^{2}$	una
${\ estilo de visualización \ chi _ {6} (n)}$	una	${\ estilo de visualización - \ omega}$	$-\omega^{2}$	$\omega^{2}$	$\omega$	−1

Nótese que está completamente determinado por el valor de , ya que 3 genera un grupo de elementos invertibles módulo 7. $\ chi$ ${\ estilo de visualización \ chi (3)}$

Módulo 8

Hay personajes módulo 8. ${\ estilo de visualización \ varphi (8) = 4}$

${\ estilo de visualización \ chi \ setminus n}$	una	2	3	cuatro	5	6	7
${\ estilo de visualización \ chi _ {1} (n)}$	una	0	una	0	una	0	una
${\ estilo de visualización \ chi _ {2} (n)}$	una	0	una	0	−1	0	−1
${\ estilo de visualización \ chi _ {3} (n)}$	una	0	−1	0	una	0	−1
${\ estilo de visualización \ chi _ {4} (n)}$	una	0	−1	0	−1	0	una

Nótese que está completamente determinada por los valores de y , ya que 3 y 5 generan un grupo de elementos invertibles módulo 8. $\ chi$ ${\ estilo de visualización \ chi (3)}$ ${\ estilo de visualización \ chi (5)}$

Módulo 9

Hay caracteres módulo 9. La siguiente tabla ${\ estilo de visualización \ varphi (9) = 6}$ $\omega =\exp(\pi i/3).$

${\ estilo de visualización \ chi \ setminus n}$	una	2	3	cuatro	5	6	7	ocho
${\ estilo de visualización \ chi _ {1} (n)}$	una	una	0	una	una	0	una	una
${\ estilo de visualización \ chi _ {2} (n)}$	una	$\omega$	0	$\omega^{2}$	$-\omega^{2}$	0	${\ estilo de visualización - \ omega}$	−1
${\ estilo de visualización \ chi _ {3} (n)}$	una	$\omega^{2}$	0	${\ estilo de visualización - \ omega}$	$\omega$	0	$\omega^{2}$	una
${\ estilo de visualización \ chi _ {4} (n)}$	una	−1	0	una	−1	0	una	−1
${\ estilo de visualización \ chi _ {5} (n)}$	una	${\ estilo de visualización - \ omega}$	0	$\omega^{2}$	$\omega^{2}$	0	${\ estilo de visualización - \ omega}$	una
${\ estilo de visualización \ chi _ {6} (n)}$	una	$-\omega^{2}$	0	${\ estilo de visualización - \ omega}$	$\omega$	0	$\omega^{2}$	−1

Nótese que está completamente determinado por el valor de , ya que 2 genera un grupo de elementos invertibles módulo 9. $\ chi$ ${\ estilo de visualización \ chi (2)}$

Módulo 10

Hay personajes módulo 10. ${\ estilo de visualización \ varphi (10) = 4}$

${\ estilo de visualización \ chi \ setminus n}$	una	2	3	cuatro	5	6	7	ocho	9
${\ estilo de visualización \ chi _ {1} (n)}$	una	0	una	0	0	0	una	0	una
${\ estilo de visualización \ chi _ {2} (n)}$	una	0	i	0	0	0	− yo	0	−1
${\ estilo de visualización \ chi _ {3} (n)}$	una	0	−1	0	0	0	−1	0	una
${\ estilo de visualización \ chi _ {4} (n)}$	una	0	− yo	0	0	0	i	0	−1

Nótese que está completamente determinado por el valor de , ya que 3 genera un grupo de elementos invertibles módulo 10. $\ chi$ ${\ estilo de visualización \ chi (3)}$

Ejemplos

Si p es un número primo impar , entonces la función

\chi (n)=\left({\frac {n}{p}}\right),\

donde está el símbolo de Legendre , es un carácter primitivo de Dirichlet módulo p [9] .

\left({\frac {n}{p}}\right)

Más generalmente, si m es un número impar positivo, la función

\chi (n)=\left({\frac {n}{m}}\right),\

donde está el símbolo de Jacobi , es el carácter de Dirichlet módulo m [9] .

\left({\frac {n}{m}}\right)

Estos son caracteres cuadráticos ; en el caso general, los caracteres cuadráticos primitivos surgen exactamente del símbolo de Kronecker-Jacobi [10] .

Personajes primitivos y director de orquesta

Al pasar de residuos módulo N a residuos módulo M , para cualquier factor M de N , se pierde información. El efecto de carácter de Dirichlet da el resultado opuesto: si es un módulo de carácter M , induce un módulo de carácter N para cualquier N múltiplo de M. Un carácter es primitivo si no es inducido por ningún carácter módulo menos [3] . ${\ estilo de visualización \ chi *}$ ${\ estilo de visualización \ chi *}$

Si es un caracter modulo n y d divide a n , decimos que el modulo d es el modulo inducido por si para todo un coprimo a n y 1 mod d [11] : el caracter es primitivo si no hay modulo inducido menor [12 ] . $\ chi$ $\ chi$ ${\ estilo de visualización \ chi (a) = 1}$

Podemos formalizar esto de varias maneras definiendo caracteres y como consistente si para algún módulo N , tal que N 1 y N 2 ambos dividen N , tenemos para todo n coprimo con N , es decir, hay algún carácter generado como , entonces y . Esta es una relación de equivalencia de caracteres. El carácter con el módulo más pequeño en una clase de equivalencia es primitivo, y ese módulo más pequeño es el conductor de los caracteres en la clase. ${\ estilo de visualización \ chi _ {1} \ mod N_ {1}}$ ${\ estilo de visualización \ chi _ {2} \ mod N_ {2}}$ ${\ estilo de visualización \ chi _ {1} (n) = \ chi _ {2} (n)}$ ${\ estilo de visualización \ chi *}$ ${\ estilo de visualización \ chi _ {1}}$ ${\ estilo de visualización \ chi _ {2}}$

El carácter no primitivo de los caracteres puede conducir a la ausencia de multiplicadores de Euler [ en sus funciones L.

Ortogonalidad de caracteres

La ortogonalidad de los caracteres de un grupo finito se traslada a los caracteres de Dirichlet [13] .

Si fijamos un carácter módulo n , entonces $\ chi$

\sum _{a{\bmod {n}}}\chi (a)=0

si no es el carácter principal, de lo contrario la suma es . $\ chi$ $\varfi (n)$

De manera similar, si fijamos una clase de residuo a módulo n , entonces la suma de todos los caracteres da

{\ estilo de visualización \ suma _ {\ chi} \ chi (a) = 0}

excepto para el caso a =1, cuando la suma es . $\varfi (n)$

Por lo tanto, concluimos que cualquier función periódica con período n sobre la clase de residuos coprimos con n es una combinación lineal de caracteres de Dirichlet [14] .

Historia

Los caracteres de Dirichlet, junto con su serie -, fueron introducidos por Dirichlet en 1831, como parte de la demostración del teorema de Dirichlet sobre la infinidad del número de números primos en las progresiones aritméticas. Las estudió sólo para y principalmente cuando tendían a 1. La extensión de estas funciones a todo el plano complejo la obtuvo Riemann en 1859. $L$ $s\en \mathbb {R}$ $s$

Véase también

Personaje Gekke
Suma de caracteres
suma de Gauss
Raíz primitiva módulo n
Clase Selberg

Notas

↑ Montgomery, Vaughan, 2007 , pág. 117-8.
↑ Montgomery, Vaughan, 2007 , pág. 115.
↑ 1 2 Montgomery, Vaughan, 2007 , pág. 123.
↑ Fröhlich y Taylor 1991 , pág. 218.
↑ Fröhlich y Taylor 1991 , pág. 215.
↑ Apóstol, 1976 , p. 139.
↑ 1 2 3 Apóstol, 1976 , p. 138.
↑ Apóstol, 1976 , p. 134.
↑ 1 2 Montgomery, Vaughan, 2007 , pág. 295.
↑ Montgomery, Vaughan, 2007 , pág. 296.
↑ Apóstol, 1976 , p. 166.
↑ Apóstol, 1976 , p. 168.
↑ Apóstol, 1976 , p. 140.
↑ Davenport, 1967 , pág. 31–32.

Literatura

ApostolTM Introducción a la teoría analítica de números. - Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976. - (Textos de Licenciatura en Matemáticas). — ISBN 978-0-387-90163-3 .
Apostol TM Algunas propiedades de funciones aritméticas completamente multiplicativas // The American Mathematical Monthly. - 1971. - T. 78 , núm. 3 . — S. 266–271 . -doi : 10.2307/ 2317522 . — .
Harold Davenport. teoría de los números multiplicativos. - Chicago: Markham, 1967. - Vol. 1. - (Conferencias de matemáticas avanzadas).
- Davenport G. Teoría de números multiplicativos. - M. : "Nauka", 1971.
Helmut Hasse. Vorlesungen über Zahlentheorie. — 2ª revisada. — Springer-Verlag . - V. 59. - (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen). véase el capítulo 13.
- Hasse G. Conferencias sobre teoría de números. - M. : Literatura Extranjera, 1953.
Mathar, RJ (2010), Table of Dirichlet L-series and prime zeta modulo functions for small moduli, arΧiv : 1008.2547 [math.NT].
Hugh L Montgomery, Robert C. Vaughan. teoría de los números multiplicativos. I. Teoría clásica. - Cambridge University Press , 2007. - V. 97. - (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). - ISBN 0-521-84903-9 .
- Montgomery G. Teoría de números multiplicativos. - M. : "Mir", 1974.
Roberto Spira. Cálculo de Funciones L de Dirichlet // Matemáticas de Computación. - 1969. - T. 23 , núm. 107 . — S. 489–497 . -doi : 10.1090 / S0025-5718-1969-0247742-X .
Fröhlich A., Taylor MJ Teoría algebraica de números. - Cambridge University Press , 1991. - V. 27. - (Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas). — ISBN 0-521-36664-X .

Literatura

Galochkin A. I., Nesterenko Yu. V., Shidlovsky A. B. Introducción a la teoría de números. - M .: Editorial de la Universidad de Moscú, 1984.
Karatsuba A. A. Fundamentos de la teoría analítica de los números. - 3ra ed. — M.: URSS, 2004.

Caracteres en la teoría de números y en la teoría de grupos
Caracteres cuadráticos	Símbolo de Legendre símbolo de jacobi Símbolo de Kronecker - Jacobi
Personajes de Power Residuos	La naturaleza del residuo cúbico. La naturaleza del residuo bicuadrático. Símbolo de residuo de energía