Colector central

La variedad central de un punto singular de una ecuación diferencial ordinaria autónoma es una variedad invariante en el espacio de fase que pasa por el punto singular y es tangente al subespacio central invariante de la linealización de la ecuación diferencial. [1] Un importante objeto de estudio en la teoría de ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos . En cierto sentido, toda la dinámica no trivial del sistema en la vecindad del punto singular se concentra en la variedad central. [2]

Formal definición

Considere una ecuación diferencial autónoma con punto singular 0:

${\dot {x}}=Ax+f(x),\quad (*)$

donde , es un operador lineal, es una función suave de clase , y y . En otras palabras, es la linealización del campo vectorial en el punto singular 0. $x\en \mathbb {R} ^{n}$ $A$ $f(x)$ ${\ estilo de visualización C^{k+1}}$ $f(0)=0$ $Df(0)=0$ $Hacha$

subespacio	título	espectro A
$T^{s}$	estable _ _	${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Re} \ lambda <0}$
${\ estilo de visualización T^{u}}$	inestable _ _	${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Re} \ lambda > 0}$
$T^{c}$	céntrico ( centro )	${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Re} \ lambda = 0}$

Según los resultados clásicos del álgebra lineal , un espacio lineal se descompone en una suma directa de tres subespacios invariantes , donde están determinados por el signo de la parte real de los valores propios correspondientes (ver tabla) $A$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=T^{s}\oplus T^{u}\oplus T^{c))$ $T^{s},T^{u},T^{c}$

Estos subespacios son variedades invariantes de un sistema linealizado cuya solución es una matriz exponencial . Resulta que la dinámica del sistema en la vecindad de un punto singular tiene propiedades cercanas a la dinámica de un sistema linealizado. Más precisamente, la siguiente afirmación es verdadera: [3] [4] ${\dot {x}}=Hacha$ $x(t)=e^{En}x_{0}$

Teorema (sobre la variedad central).

Suponga que el lado derecho de la ecuación diferencial (*) pertenece a la clase , . Luego, en la vecindad del punto singular, hay variedades y clases y , respectivamente, invariantes bajo el flujo de fase de la ecuación diferencial. Tocan en el origen los subespacios y se denominan variedades estables , inestables y centrales , respectivamente. $C^k$ $2\leq k<\infty$ $W^{s},W^{u}$ ${\ estilo de visualización W ^ {c}}$ $C^{k},C^{k}$ $C^{k-1}$ $T^{s},T^{u}$ $T^{c}$

En el caso de que el lado derecho de la ecuación (*) pertenezca a la clase , las variedades y también pertenecen a la clase , pero la variedad central , en términos generales, solo puede ser finitamente suave. Además, para cualquier número arbitrariamente grande, la variedad pertenece a la clase en alguna vecindad que se contrae a un punto singular en , de modo que la intersección de todas las vecindades consiste solo en el punto singular mismo [5] . ${\displaystyle C^{\infty ))$ ${\ estilo de visualización W ^ {s}}$ ${\ estilo de visualización W ^ {u}}$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ ${\ estilo de visualización W ^ {c}}$ $k$ ${\ estilo de visualización W ^ {c}}$ ${\ Displaystyle C^{k}}$ $Reino Unido$ $k\to\infty$ $Reino Unido$

Las variedades invariantes estables e inestables también se denominan hiperbólicas , están definidas de forma única; al mismo tiempo, una variedad de centro local no está definida de manera única. Obviamente, si el sistema (*) es lineal, entonces las variedades invariantes coinciden con los correspondientes subespacios invariantes del operador . $A$

Ejemplo: punto silla

Los puntos singulares no degenerados en el plano no tienen una variedad central. Considere el ejemplo más simple de un punto singular degenerado: un nodo de silla de la forma

${\begin{casos}{\dot {x}}=x^{2}\\{\dot {y}}=y\end{casos}}$

Su variedad inestable coincide con el eje Oy y consta de dos separatrices verticales y el propio punto singular. Las curvas de fase restantes están dadas por la ecuación ${\ estilo de visualización \ {x = 0, y> 0 \}}$ ${\ estilo de visualización \ {x = 0, y <0 \))$

$y(x)=y_{0}\exp \left({\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {1}{x}}\right)$ ,

donde _ ${\ estilo de visualización y (x_ {0}) = y_ {0}}$

Es fácil ver que en el semiplano izquierdo la única curva de fase que tiende al punto singular coincide con el rayo del eje Ox . Al mismo tiempo, en el semiplano derecho hay infinitas curvas de fase ( continuas ) que tienden a cero; estas son gráficas de la función y(x) para cualquier y cualquier . Debido al hecho de que la función y(x) es plana en cero, podemos componer una variedad invariante uniforme a partir del rayo , el punto (0, 0) y cualquier trayectoria en el semiplano derecho. Cualquiera de ellos será localmente la variedad central del punto (0, 0). [6] ${\ estilo de visualización \ {x <0, y = 0 \))$ ${\ estilo de visualización x_ {0}> 0}$ $y_0$ ${\ estilo de visualización \ {x <0, y = 0 \))$

Colectores del centro global

Si consideramos la ecuación (*) no en alguna vecindad del punto singular 0, sino en todo el espacio de fases , podemos definir la variedad central global . Hablando informalmente, se puede definir como una variedad invariante cuyas trayectorias no tienden al infinito (en el tiempo hacia adelante o hacia atrás) a lo largo de direcciones hiperbólicas. En particular, la variedad del centro global contiene todas las trayectorias acotadas (y, por lo tanto, todos los ciclos límite , puntos singulares , conectores de separatriz, etc.) [7] $\mathbb{R} ^{n}$

Considere las proyecciones del espacio sobre los correspondientes subespacios invariantes del operador . También definimos un subespacio y una proyección sobre él. La variedad central es el conjunto de puntos en el espacio de fase tal que la proyección de trayectorias a partir de , sobre el subespacio hiperbólico, está acotada. En otras palabras ${\ estilo de visualización \ pi _ {s}, \ \ pi _ {u}, \ pi _ {c}}$ $\mathbb{R} ^{n}$ $A$ $T^{h}=T^{u}\oplus T^{s}$ ${\ estilo de visualización \ pi _ {h}}$ ${\ estilo de visualización W ^ {c}}$ $X$ $X$

$W^{c}:=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\sup _{t\in \mathbb {R} }|\pi _{h}({\ tilde {x}}(t,x))|<\infty\right\}$ ,

donde es una solución de la ecuación (*) tal que . [ocho] ${\tilde {x}}(t,x)$ ${\tilde {x}}(0,x)=x$

Para la existencia de una variedad de centro global , se deben imponer condiciones adicionales a la función: acotación y propiedad de Lipschitz con una constante de Lipschitz suficientemente pequeña. En este caso, existe una variedad de centro global, es en sí misma una subvariedad de Lipschitz y está definida de manera única. [8] Si requerimos suavidad de orden y pequeñez de la derivada, entonces la variedad del centro global tendrá suavidad de orden y tocará el subespacio invariante central en el punto singular 0. Se sigue que si consideramos la restricción del centro global múltiple a una pequeña vecindad del punto singular, entonces será un centro local múltiple es una forma de probar su existencia. Incluso si el sistema (*) no satisface las condiciones para la existencia de una variedad de centro global, puede modificarse fuera de algún entorno de cero (multiplicando por una función de corte suave adecuada del tipo " límite "), de modo que estos las condiciones comienzan a cumplirse, y considere la restricción de que los sistemas múltiples centrales globales modificados. Resulta que también se puede formular la declaración inversa: uno puede globalizar un sistema dado localmente y extender la variedad del centro local al global. [9] Más precisamente, esta declaración se formula de la siguiente manera: [10] $f(x)$ $\mathbb{R} ^{n}$ $f(x)$ $k$ $k$ $T^{c}$

Teorema. Sean , , y una variedad de centro local (*). Hay una vecindad tan pequeña de cero y una función acotada en todo el espacio que coincide con que la ecuación (*) para la función tiene una variedad de centro global suave que coincide en la región con

f\in C^{k}(\mathbb {R} ^{n})

k\geq 1

f(0)=0

Df(0)=0

{\ estilo de visualización W ^ {c}}

\Omega

{\tilde {f}}(x)

f(x)

\Omega

\tilde f

\Omega

{\ estilo de visualización W ^ {c}}

Cabe señalar que la transición de los problemas locales a los globales y viceversa se usa a menudo para probar afirmaciones relacionadas con las variedades centrales.

Principio de reducción

Como se mencionó anteriormente, la dinámica no trivial cerca del punto singular se "concentra" en la variedad central. Si el punto singular es hiperbólico (es decir, la linealización no contiene valores propios con parte real cero), entonces no tiene una variedad de centro. En este caso, según el teorema de Grobman-Hartman , el campo vectorial es orbital-topológicamente equivalente a su linealización, es decir, desde un punto de vista topológico, la dinámica de un sistema no lineal está completamente determinada por la linealización. En el caso de un punto singular no hiperbólico, la topología del flujo de fase está determinada por la parte lineal y la restricción del flujo a la variedad central. Esta declaración, llamada principio de reducción de Shoshitaishvili , se formula de la siguiente manera: [11]

Teorema (A. N. Shoshitaishvili, 1975 [12] ).

Suponga que el lado derecho del campo vectorial (*) pertenece a la clase . Entonces, en una vecindad de un punto singular no hiperbólico, es orbitalmente topológicamente equivalente al producto de la silla de montar estándar y la restricción del campo a la variedad central: $C^{2}$

${\begin{casos}{\dot {x}}=w(x)\\{\dot {y}}=-y\\{\dot {z}}=z,\end{casos} }\quad x\in W^{c},\ y\in T^{s},\ z\in T^{u}$

Notas

↑ D. Wang, C. Lee, S.-N. Perro chino. Formas normales y bifurcaciones de campos vectoriales en el plano. - M. : MTSNMO, 2005. - 416 p. — ISBN 5-94057-206-5 . , C. 13
↑ Ilyashenko Yu.S., Veigu L. Bifurcaciones no locales. - M. : MTsNMO-Chero, 1999. - 416 p. — ISBN 5-900916-34-0 . , capítulo 1, párrafo 2.3
↑ Ilyashenko Yu.S., Veigu L. Bifurcaciones no locales. - M. : MTsNMO-Chero, 1999. - 416 p. — ISBN 5-900916-34-0 . , capítulo 1, punto 2.2
↑ Dinámica no lineal y caos, 2011 , p. 133.
↑ Gukenheimer J., Holmes F. Oscilaciones no lineales, sistemas dinámicos y bifurcaciones de campos vectoriales, - Moscú-Izhevsk: IKI, 2002. - Capítulo 3, par. 3.2.
↑ D. Wang, C. Lee, S.-N. Perro chino. Formas normales y bifurcaciones de campos vectoriales en el plano. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 37. - 416 p. — ISBN 5-94057-206-5 .
↑ D. Wang, C. Lee, S.-N. Perro chino. Formas normales y bifurcaciones de campos vectoriales en el plano. - M. : MTsNMO, 2005. - S. 14. - 416 p. — ISBN 5-94057-206-5 .
↑ 1 2 D. Wang, C. Lee, S.-N. Perro chino. Formas normales y bifurcaciones de campos vectoriales en el plano. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 16. - 416 p. — ISBN 5-94057-206-5 .
↑ D. Wang, C. Lee, S.-N. Perro chino. Formas normales y bifurcaciones de campos vectoriales en el plano. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 36. - 416 p. — ISBN 5-94057-206-5 .
↑ D. Wang, C. Lee, S.-N. Perro chino. Formas normales y bifurcaciones de campos vectoriales en el plano. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 38. - 416 p. — ISBN 5-94057-206-5 .
↑ Ilyashenko Yu.S., Veigu L. Bifurcaciones no locales. - M. : MTsNMO-Chero, 1999. - 416 p. — ISBN 5-900916-34-0 . , véase también D. Wang, C. Lee, Sh.-N. Perro chino. Formas normales y bifurcaciones de campos vectoriales en el plano. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 406. - 416 p. — ISBN 5-94057-206-5 .
↑ Shoshitaishvili A.N. Bifurcaciones del tipo topológico de un campo vectorial cerca de un punto singular. // Tr. seminarios para ellos. I. G. Petrovski. - 1975. - Número 1. . - S. 279-309 .

Literatura

Malinetsky G. G. , Potapov A. B. Dinámica no lineal y caos: conceptos básicos. - M. : Librokom, 2011. - 240 p. - ISBN 978-5-397-01583-7 .