Circulación de campo vectorial

La circulación de un campo vectorial a lo largo de un contorno cerrado dado Γ es una integral curvilínea del segundo tipo, tomada sobre Γ . Por definición

C=\punto \limits _{\Gamma }{\mathbf {F} d\mathbf {l} }=\punto \limits_{\Gamma }{(F_{x}dx+F_{y}dy +F_{z}dz)},

donde es un campo vectorial (o función vectorial) definido en algún dominio D que contiene el contorno Γ , es un incremento infinitesimal del radio vector a lo largo del contorno. El círculo en el símbolo integral enfatiza el hecho de que la integración se realiza a lo largo de un contorno cerrado. La definición anterior es válida para el caso tridimensional, pero, al igual que las principales propiedades enumeradas a continuación, puede generalizarse directamente a una dimensión espacial arbitraria. ${\mathbf {F}}=\{F_{{x}},F_{{y}},F_{{z}}\}$ $d{\mathbf{l}}=\{dx,dy,dz\}$ ${\mathbf {l))$

Propiedades de circulación

Aditividad

La circulación a lo largo del contorno que limita varias superficies adyacentes es igual a la suma de las circulaciones a lo largo de los contornos que limitan cada superficie por separado, es decir

C=\sum \limits _{{i}}{C_{{i}}}.

Fórmula de Stokes

La circulación del vector F a lo largo de un contorno arbitrario Ã es igual al flujo vectorial a través de una superficie arbitraria S , limitada por este contorno. $\operatorname {rot}{\mathbf {F}}$

\oint \limits _{{\Gamma }}{{\mathbf {F}}d{\mathbf {l}}=\iint \limits_{{S}}{\operatorname {rot}}}{\mathbf { F}}\cdot {\mathbf {n}}dS,

donde está el rotor (vórtice) del vector F . $\operatorname {rot}{\mathbf {F}}=[\nabla ,{\mathbf {F}}]=\left|{\begin{matrix}{\mathbf {e}}_{{x}}&{ \mathbf {e}}_{{y}}&{\mathbf {e}}_{{z}}\\{\frac {\parcial }{\parcial x}}&{\frac {\parcial }{ \parcial y}}&{\frac {\parcial }{\parcial z}}\\F_{{x}}&F_{{y}}&F_{{z}}\\\end{matriz}}\right|$

Si el contorno es plano, por ejemplo, se encuentra en el plano OXY, el teorema de Green es válido

\oint \limits _{\Gamma }{(F_{x}dx+F_{y}dy)}=\iint \limits _{\Gamma ^{\circ }}{\left({\frac { \parcial F_{y}}{\parcial x}}-{\frac {\parcial F_{x}}{\parcial y}}\right)dxdy},

donde es el plano delimitado por el contorno (el interior del contorno). $\gamma^{\circ}$ $\Gama$

Interpretación física

Si F es algún campo de fuerza , entonces la circulación de este campo a lo largo de algún contorno arbitrario Γ es el trabajo de este campo cuando el punto se mueve a lo largo del contorno Г. De aquí se sigue directamente el criterio de potencialidad del campo : el campo es potencial cuando su circulación a lo largo de un circuito cerrado arbitrario es cero. O, como sigue de la fórmula de Stokes, en cualquier punto de la región D el rotor de este campo es cero.

\forall \Gamma \subset D:\oint \limits _({\Gamma }}{{\mathbf {F}}({\mathbf {r}})d{\mathbf {l}}}=0\Leftrightarrow \ forall {\mathbf {r}}\in D:\operatorname {rot}{\mathbf {F}}({\mathbf {r}})={\mathbf {0}}.

Antecedentes históricos

El término "circulación" se introdujo originalmente en hidrodinámica para calcular el movimiento de un fluido a través de un canal cerrado. Considere el flujo de un fluido incompresible ideal. Elegimos un contorno arbitrario Γ . Imagina mentalmente que congelamos (instantáneamente) todo el líquido en el volumen, con la excepción de un canal delgado de sección transversal constante, que incluye el contorno Γ . Luego, dependiendo de la naturaleza inicial del flujo de fluido, estará estacionario en el canal o se moverá a lo largo del contorno (circular). Como característica de tal movimiento, se toma un valor igual al producto de la velocidad media del fluido a través del canal y la longitud del contorno l : $tu$

C=ul

ya que es la velocidad la que finalmente se establecerá en este caso en todas partes del canal, y el valor de circulación C dará un impulso (generalizado) para un líquido de densidad unitaria, conjugado a una coordenada (generalizada) que caracteriza la posición del líquido como un todo en el canal, correspondiente, algo simplificando, a la posición de un solo "grano de polvo" en un líquido, medido por una regla curva a lo largo de un canal. $tu$

Dado que, durante la solidificación de las paredes del canal, la componente de velocidad normal al contorno se extinguirá (imaginamos que esto sucede antes de que la velocidad tangencial en el canal sea la misma en todas partes debido a la incompresibilidad del líquido), el líquido se moverá a lo largo del canal inmediatamente después de la solidificación con la componente tangencial de la velocidad inicial . Entonces la circulación se puede representar como $v_{{\tau}}$

C=\punto \limits _{{\Gamma }}{v_{{\tau }}dl}=\punto \limits_{{\Gamma }}{{\mathbf {v}}d{\mathbf {l} }},

donde dl es el elemento de longitud del contorno.

Más tarde, el concepto de "circulación" se extendió a cualquier campo vectorial, incluso a aquellos en los que literalmente no hay nada que "circular".

Literatura

Fikhtengol'ts G. M. Curso de cálculo diferencial e integral. T.3. M.: "Nauka", 1960.
Savelyev IV Curso de física general . T2. M.: Astrel • AST, 2004.