Trabajo mecánico

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Trabajar
${\ estilo de visualización A, W}$
Dimensión	L 2 MT -2
Unidades
SI	j
SGA	ergio
notas
escalar

El trabajo mecánico , una cantidad física , es una medida cuantitativa escalar de la acción de una fuerza (fuerza resultante) sobre un cuerpo o fuerzas sobre un sistema de cuerpos. Depende del valor numérico y la dirección de la fuerza (fuerzas) y del desplazamiento del cuerpo (sistema de cuerpos) [1] .

Con una fuerza constante y un movimiento rectilíneo de un punto material , el trabajo se calcula como el producto de la magnitud de la fuerza y el desplazamiento y el coseno del ángulo entre los vectores de desplazamiento y fuerza: . En casos más complejos (fuerza no constante, movimiento curvilíneo), esta relación es aplicable a un pequeño intervalo de tiempo, y para calcular el trabajo total, es necesaria la suma de todos esos intervalos. $A=Fs\cos(F,s)$

En mecánica, realizar un trabajo sobre un cuerpo es la única razón para cambiar su energía ; en otras áreas de la física, la energía también cambia debido a otros factores (por ejemplo, en termodinámica , transferencia de calor).

Definición de trabajo

Por definición, el trabajo “elemental” (realizado en un tiempo infinitamente pequeño) es el producto escalar de la fuerza que actúa sobre un punto material y el desplazamiento , es decir $\vec{F}$ ${\ Displaystyle d {\ vec {s}}}$

\delta A={\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}

El uso del símbolo δ (en lugar de ) se debe al hecho de que el diferencial de trabajo no es necesariamente completo. El trabajo durante un período de tiempo finito es la integral del trabajo elemental: $d$

A=\int \delta A

Si existe un sistema de puntos materiales, la sumatoria se realiza sobre todos los puntos. En presencia de varias fuerzas, su trabajo se define como el trabajo de la resultante (suma vectorial) de estas fuerzas.

Notación, dimensión

El trabajo generalmente se denota con una letra mayúscula (del alemán A rbeit - trabajo, trabajo) o una letra mayúscula (del inglés trabajo - trabajo, trabajo). $A$ $W$

La unidad de medida (dimensión) de trabajo en el Sistema Internacional de Unidades (SI) es el joule , en el CGS - erg . Donde

1 J = 1 kg m² / s² = 1 N m ; 1 erg \u003d 1 g cm ² / s ² \ u003d 1 dina cm ; 1 ergio \ u003d 10 −7 J.

Cálculo del trabajo

El caso de un punto material

Con un movimiento rectilíneo de un punto material y un valor constante de la fuerza que se le aplica , el trabajo (de esta fuerza) es igual al producto de la proyección del vector fuerza en la dirección del movimiento y la longitud del vector desplazamiento hecho por el punto:

A=F_{s}s=Fs\ {\mathrm {cos))(F,s)={\vec F}\cdot {\vec s}

Aquí “ ” denota el producto escalar , es el vector de desplazamiento . ${\ estilo de visualización \, \ cdot \,}$ ${\ vec s}$

Si la dirección de la fuerza aplicada es ortogonal al desplazamiento del cuerpo o el desplazamiento es cero, entonces el trabajo de esta fuerza es cero.

En el caso general, cuando la fuerza no es constante, y el movimiento no es rectilíneo, el trabajo se calcula como una integral curvilínea de segunda especie a lo largo de la trayectoria del punto [2] :

A=\int {\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}

(la suma está implícita a lo largo de la curva, que es el límite de una línea quebrada formada por desplazamientos , si primero los consideramos finitos, y luego dejamos que la longitud de cada uno de ellos sea cero). ${\ Displaystyle d {\ vec {s}}}$

Si existe una dependencia de la fuerza en las coordenadas [3] , la integral se define [4] como sigue:

A=\int \limits _({\vec {r}}_{0}}^({\vec {r}}_{1}}{\vec {F}}\left({\vec {r}}\right)\cdot d{\vec {r}}

donde y son los radios vectores de las posiciones inicial y final del cuerpo. Por ejemplo, si el movimiento ocurre en el plano , y y ( , - orts ), entonces la última integral tomará la forma , donde se toma la derivada de la curva a lo largo de la cual se mueve el punto. ${\vecr}_{0}$ ${\vecr}_{1}$ $xy$ ${\vec {F}}=F_{x}{\vec {e}}_{x}+F_{y}{\vec {e}}_{y}$ $d{\vec {r}}=dx{\vec {e}}_{x}+dy{\vec {e}}_{y}$ $\vec{e}_x$ $\vec{e}_y$ $A=\int (F_{x}+F_{y}|dy/dx|)dx$ $dy/dx$ $y(x)$

Si la fuerza es conservativa (potencial) , el resultado de calcular el trabajo dependerá solo de la posición inicial y final del punto, pero no de la trayectoria a lo largo de la cual se movió. $\vec{F}$

El caso de un sistema de puntos o un sólido

El trabajo de fuerzas para mover el sistema desde los puntos materiales se define como la suma del trabajo de estas fuerzas para mover cada punto (el trabajo realizado en cada punto del sistema se suma al trabajo de estas fuerzas en el sistema): $norte$

A=\sum A_{n},\quad n=1,2,..,N

Si el cuerpo no es un sistema de puntos discretos, puede dividirse (mentalmente) en un conjunto de elementos (piezas) infinitamente pequeños , cada uno de los cuales puede considerarse un punto material, y el trabajo puede calcularse de acuerdo con la definición arriba. En este caso, la suma discreta se reemplaza por una integral:

A=\int \delta A({\vec {r}}')=\iint {\frac {d{\vec {F}}({\vec {r}}')}{dV'} }\cdot d{\vec {r}}({\vec {r}}')dV'

donde es el trabajo de mover un fragmento infinitamente pequeño del volumen del cuerpo , localizado cerca de la coordenada (en el marco de referencia del cuerpo), desde la posición inicial a la final, (N/m 3 ) es la densidad de la acción fuerza, y la integración se lleva a cabo sobre todo el volumen del cuerpo. $dA({\vec {r))')$ $dV'$ ${\vec{r))'$ $d{\vec {F}}/dV'$

Estas fórmulas se pueden usar tanto para calcular el trabajo de una fuerza o clase de fuerzas en particular como para calcular el trabajo total realizado por todas las fuerzas que actúan sobre el sistema.

Trabajo y energía cinética

La energía cinética se introduce en la mecánica en conexión directa con el concepto de trabajo.

Usando la segunda ley de Newton , que permite expresar la fuerza en términos de aceleración como (donde es la masa de un punto material), así como las relaciones y , el trabajo elemental se puede reescribir como ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$ $metro$ $d{\vec {s}}=d{\vec {r}}={\vec {v}}dt$ $d(v^{2})/dt=d({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})/dt=2{\vec {a}}\cdot {\vec { v}}$

\delta A=m{\vec {a}}\cdot {\vec {v}}dt={\frac {d}{dt}}\left({\frac {mv^{2}}{ 2}}\derecho)dt

Al integrar desde el momento inicial al final, obtenemos

A=\Delta \left({\frac {mv^{2}}{2}}\right)=\Delta E_{k}

donde es la energía cinética . Para un punto material, se define como la mitad del producto de la masa de este punto y el cuadrado de su velocidad y se expresa [5] como . Para objetos complejos que constan de muchas partículas, la energía cinética del cuerpo es igual a la suma de las energías cinéticas de las partículas. $E_k$ $E_{k}=mv^{2}/2$

Trabajo y energía potencial

Una fuerza se llama potencial si existe una función escalar de coordenadas, conocida como energía potencial y denotada por , tal que $E_{p}$

{\vec{F}}=-\nabla E_{p}

Aquí , está el operador nabla . Si todas las fuerzas que actúan sobre una partícula son conservativas, y es la energía potencial total que se obtiene sumando las energías potenciales correspondientes a cada fuerza, entonces $\nabla$ $E_{p}$

{\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}=-\nabla E_{p}\cdot d{\vec {s}}=-dE_{p}\Rightarrow -dE_{p }=dE_{k}\Flecha derecha d(E_{k}+E_{p})=0

Este resultado se conoce como la ley de conservación de la energía mecánica y establece que la energía mecánica total

{\displaystyle E=E_{k}+E_{p))

en un sistema cerrado en el que actúan fuerzas conservativas, es constante en el tiempo. Esta ley es muy utilizada en la resolución de problemas de mecánica clásica .

El trabajo de una fuerza en la mecánica teórica

Supongamos que un punto material se mueve a lo largo de una curva continuamente diferenciable , donde s es una longitud de arco variable , y sobre él actúa una fuerza dirigida tangencialmente a la trayectoria en la dirección del movimiento (si la fuerza no está dirigida tangencialmente, entonces entenderemos el proyección de la fuerza sobre la tangente positiva de la curva, reduciéndose así este caso al que se considera a continuación). $METRO$ $G=\{r=r(s)\}$ $0\leq s\leq S$ $F$ $F$

El valor , se denomina trabajo elemental de la fuerza en el sitio y se toma como valor aproximado del trabajo que produce la fuerza , actuando sobre un punto material cuando éste pasa por la curva . La suma de todos los trabajos elementales es la suma integral de Riemann de la función . $F(\xi _{i})\triángulo s_{i},\triángulo s_{i}=s_{i}-s_{{i-1}},i=1,2,...,i_{{ \tau}}$ $F$ $Soldado americano}$ $F$ $Soldado americano}$ $\sum _{{i=1}}^{{i_{{\tau }}}}F(\xi _{i})\triángulo s_{i}$ $F$

De acuerdo con la definición de la integral de Riemann , podemos definir el trabajo:

El límite al que tiende la suma de todos los trabajos elementales cuando la finura de la partición tiende a cero se llama trabajo de la fuerza a lo largo de la curva . $\sum _{{i=1}}^{{i_{{\tau }}}}F(\xi _{i})\triángulo s_{i}$ $|\tau |$ $\tau$ $F$ $GRAMO$

Así, si denotamos esta obra con la letra , entonces, en virtud de esta definición, $A$

A=\lim_{|\tau |\rightarrow 0}\sum_{i=1}^{i_{\tau}}F(\xi_{i})\triángulo s_{i}=\ int \limites _{0}^{s}F(s)ds

Si la posición de un punto en la trayectoria de su movimiento se describe usando algún otro parámetro (por ejemplo, el tiempo) y si la distancia recorrida es una función continuamente diferenciable, entonces la última fórmula dará $t$ $s=s(t)$ $a\leq t\leq b$

A=\int \limits _{a}^{b}F[s(t)]s'(t)dt

Trabajo en termodinámica

En termodinámica, el trabajo realizado por un gas durante la expansión [6] se calcula como la integral de presión sobre volumen:

A_{1\rightarrow 2}=\int \limits _{V_{1}}^{V_{2}}PdV

El trabajo realizado sobre el gas coincide con esta expresión en valor absoluto, pero es de signo opuesto.

La generalización natural de esta fórmula es aplicable no solo a procesos donde la presión es una función de volumen de un solo valor, sino también a cualquier proceso (representado por cualquier curva en el plano ), en particular, a procesos cíclicos. $fotovoltaica$
En principio, la fórmula es aplicable no solo al gas, sino también a cualquier cosa capaz de ejercer presión (solo es necesario que la presión en el recipiente sea la misma en todas partes, lo cual está implícitamente implícito en la fórmula).

Esta fórmula está directamente relacionada con el trabajo mecánico, aunque pareciera que pertenece a otra sección de la física. La fuerza de presión del gas se dirige ortogonalmente a cada área elemental y es igual al producto de la presión y el área del área. Cuando el recipiente se expande, el trabajo realizado por el gas para desplazar una de esas áreas elementales será $PAGS$ $dS$ $h$

dA=PdSh

Este es el producto del incremento de presión y volumen cerca del área elemental. Después de sumar todo , se obtendrá el resultado, donde ya habrá un aumento completo de volumen, como en la fórmula principal de la sección. $dS$

Véase también

Notas

↑ Targ S. M. Trabajo de fuerza // Enciclopedia Física / Cap. edición A. M. Projorov . - M .: Gran Enciclopedia Rusa , 1994. - T. 4. - S. 193-194. - 704 pág. - 40.000 copias. - ISBN 5-85270-087-8 .
↑ Esto se hace sobre la base de que es posible dividir el desplazamiento final total en pequeños desplazamientos sucesivos , en cada uno de los cuales la fuerza será casi constante, lo que significa que será posible usar la definición de fuerza constante presentada anteriormente . Luego se suma el trabajo de todos estos movimientos , lo que da como resultado la integral . ${\ Displaystyle d {\ vec {s}}}$ ${\ Displaystyle d {\ vec {s}}}$
↑ Como suele ser el caso. Por ejemplo, en el caso de un campo de Coulomb, un resorte que se estira, la fuerza gravitacional de un planeta, etc.
↑ Esencialmente a través del anterior, ya que aquí ; el pequeño vector de desplazamiento coincide con . ${\vec F}(t)={\vec F}({\vec r}(t))$ ${\ Displaystyle d {\ vec {s}}}$ $d{\ vec {r}}$
↑ Targ S. M. Energía cinética // Enciclopedia física / Cap. edición A. M. Projorov . - M .: Enciclopedia soviética , 1990. - T. 2. - S. 360. - 704 p. — 100.000 copias. — ISBN 5-85270-061-4 .
↑ El trabajo realizado por un gas cuando se comprime es obviamente negativo, pero se calcula usando la misma fórmula. El trabajo realizado por un gas (o sobre un gas) sin expandirlo ni comprimirlo (por ejemplo, en el proceso de mezcla con un agitador) puede en principio expresarse con una fórmula similar, pero aún no directamente con esta, ya que requiere una generalización: el hecho es que en la fórmula , se supone que la presión es la misma en todo el volumen (lo que a menudo se hace en termodinámica, ya que a menudo se trata de procesos cercanos al equilibrio), lo que conduce a la fórmula más simple (en el caso de un agitador giratorio, por ejemplo, la presión será diferente en la parte anterior y posterior de la pala, lo que conducirá a la necesaria complicación de la fórmula si queremos aplicarla a tal caso; estas consideraciones se aplican a todos los demás casos de no equilibrio cuando la presión no es la misma en diferentes partes del sistema). $\int PDF$

Literatura

Historia de la mecánica desde la antigüedad hasta finales del siglo XVIII. En 2 volúmenes M.: Nauka, 1972.
Kirpichev VL Conversaciones sobre mecánica. M.-L.: Gostekhizdat, 1950.
Gliozzi M. Historia de la Física. M.: Mir, 1970.
Mach, E. El principio de conservación del trabajo: una historia y su raíz. SPb., 1909.
Mach E. Mecánica. Bosquejo histórico-crítico de su desarrollo. Izhevsk: RHD, 2000.
Tyulina I. A. Historia y metodología de la mecánica. M.: Editorial de la Universidad Estatal de Moscú, 1979.