Paquete de olas

Un paquete de ondas ( tren de ondas ) es un determinado conjunto de ondas con diferentes frecuencias que describen una formación con propiedades ondulatorias, generalmente limitadas en el tiempo y el espacio. Así, en mecánica cuántica , la descripción de una partícula en forma de paquetes de ondas contribuyó a la adopción de una interpretación estadística del módulo cuadrático de la función de onda [1] .

Una onda individual arbitraria en función del radio vector y el tiempo se describe mediante la expresión $\psi ({\mathbf{r}},t)$ $\mathbf{r}$ $t$

${\displaystyle {{\psi }({\mathbf {r} },t)}={A}~{\exp {(-i({\omega }t-{\mathbf {k} }{\mathbf { r} })))))={A}~{\exp {\frac {-i(Et-{\mathbf {p} }{\mathbf {r} })}{\hbar ))))$

donde es la unidad imaginaria, es la energía transportada por la onda, es la constante de Planck reducida , es el impulso transportado por la onda, es su frecuencia cíclica (frecuencia normal multiplicada por ), es el número de onda (definido como ; aquí está la velocidad de luz). $i$ $mi$ $\hbar$ $pags$ $\omega$ $2\pi$ $k$ $k={\frac {2{\pi }}{\lambda }}={\frac {p}{\hbar }}$ ${\ estilo de visualización c ~-}$

Para una descripción de onda de una partícula individual con una masa en reposo , es necesario sumar un cierto número de ondas con frecuencias cercanas y, en este caso, la función de onda será notablemente diferente de cero solo en una región relativamente pequeña del espacio. Consigue un paquete de ondas. ${\ estilo de visualización \ psi (r, t)}$

Formamos un paquete de ondas a partir de una superposición (conjunto) de ondas planas, para las cuales el número de onda varía de a (para simplificar, asumimos que las amplitudes permanecen constantes e iguales en el intervalo que tiene el valor principal ): $k$ $k_{0}-{\frac {\Delta k}{2))$ $k_{0}+{\frac {\Delta k}{2))$ ${\frac{A}{\Delta k))$

\psi (r,t)={\frac {A}{\Delta k}}\int \limits _{{k_{0}-{\frac {\Delta k}{2}}}}^{{k_ {0}+{\frac {\Delta k}{2}}}}\exp {\big (}-i(\omega t-kr){\big )}\,dk=\sum J_{n}\ psi _{n}

donde now denota la función de onda resultante , y las cantidades denotan las contribuciones de las ondas , a partir de las cuales se forma el paquete, a la onda resultante, y . ${\ estilo de visualización \ psi (r, t)}$ ${\ Displaystyle J_ {n}}$ $\psi_{n}$ ${\ estilo de visualización \ suma J_ {n} ^ {2} = 1}$

Velocidad de grupo

La velocidad de grupo es una característica cinemática de un medio de onda dispersiva, generalmente interpretada como la velocidad de la envolvente de máxima amplitud de un paquete de onda angosto casi monocromático.

Expandimos la frecuencia en una serie de Taylor en función de [2] : $\omega$ $k$

\omega(k)=\omega_{0}+(k-k_{0})\omega_{0}'+{\frac {(k-k_{0})^{2}}{2}} \omega _{0}''+\puntos

Después de eso, limitándonos solo a términos de primer orden de pequeñez con respecto a , encontramos: ${\displaystyle \Delta k=kk_{0))$

\omega (k)=\omega_{0}+(k-k_{0})\omega_{0}'+\puntos =\omega_{0}+\omega_{1}+\puntos

Nuevamente, teniendo en cuenta solo los términos de primer orden de pequeñez, luego de integrar sobre , obtenemos: $dk$

\psi (r,t)=B\exp {\big (}-i(\omega _{0}t-k_{0}r){\big )}

y la amplitud resultante del paquete de ondas será igual a $B$

B=A{\frac {\sin \xi }{\xi }}\,\qquad \xi ={\frac {\Delta k}{2}}\ (r-\omega _{0}'t)

De ello se deduce que la amplitud no permanece constante ni en el espacio ni en el tiempo. También se ve que la distribución espacial del paquete de ondas obedece a una ley similar , donde , , son unas cantidades que generalmente son variables y dependen de la distancia al punto del máximo principal y del tiempo. $B$ $a{\frac {\sin(bx)}{cx))$ $a$ $b$ $C$ $X$

Para determinar la velocidad de grupo del paquete de ondas como un todo, es necesario establecer y luego $tu$ ${\ estilo de visualización \ xi = {\ rm {const}}}$

u={\frac{dr}{dt}}=\omega _{0}'

Ahora considere la distribución espacial del paquete de ondas. deja _ entonces _ El cuadrado de la amplitud del paquete de ondas alcanza el máximo principal en el punto c . Los máximos restantes disminuirán correspondientemente: , , , y en los puntos el cuadrado de la amplitud desaparece. $t=0$ $\xi =r{\frac {\Delta k}{2}}$ ${\displaystyle B^{2}=A^{2}{\frac {\sin ^{2}\xi }{\xi ^{2))))$ ${\ estilo de visualización \ xi = 0}$ $B^{2}(\pm {\frac {3\pi }{2)))={\frac {4A^{2}}{9\pi ^{2}}}$ $B^{2}(\pm {\frac {5\pi }{2)))={\frac {4A^{2}}{25\pi ^{2}}}$ $\ldots$ ${\ estilo de visualización \ pm \ pi, \ pm 2 \ pi, \ puntos}$

Debido a esto, podemos suponer que la región de localización de la parte principal del paquete de ondas se encuentra en las proximidades del máximo principal. Lo más racional es "determinar" que esta área corresponde a la mitad de la distancia entre los primeros ceros de la función ( ). Entonces resulta que . Como consecuencia, $\Delta r$ $\xi$ $B=A{\frac {\sin \xi }{\xi }}$ ${\ estilo de visualización \ xi _ {0} = \ pm \ pi}$ $\Delta \xi ={\frac {\Delta k\Delta r}{2))=\pi$

{\ estilo de visualización \ Delta k \ Delta r = 2 \ pi.}

Sin embargo, matemáticamente hablando, la función de onda no es cero y está fuera del paquete, por lo que sería más correcto escribir

\Delta k\Delta r\geqslant 2\pi

Dado que ( es la longitud de onda) y ( es la constante de Planck (¡no reducida!)), esta desigualdad también se puede reescribir como ${\displaystyle k=2{\pi }/{\lambda ))$ ${\ estilo de visualización {\ lambda))$ ${\ estilo de visualización {\ lambda} = h / p}$ $h$

{\Delta}p{\Delta}r{\geq}h

Representa la relación de incertidumbre de Heisenberg , uno de los principios más fundamentales de la mecánica cuántica. Esta relación es válida para todos los procesos ondulatorios sin excepción, independientemente de su naturaleza. Por lo tanto, en ingeniería de radio y óptica existe una incompatibilidad de localización aguda de los procesos de ondas correspondientes en el tiempo y el espacio con un espectro de frecuencia estrecho. Por ejemplo, un receptor de radio selectivo ( ) no es capaz de captar señales de corta duración, etc. ${\Delta }{\omega }~{\rightarrow }~0$

Propagación de paquetes de ondas

Finalmente, consideremos los términos de la expansión en la serie de Taylor descartados en las fórmulas anteriores . Obviamente, tal aproximación no siempre está físicamente justificada. En ausencia de dispersión ( ), cuando todas las ondas monocromáticas que forman un paquete de ondas se propagan con la misma velocidad de fase, la forma inicial del paquete de ondas no cambia con el tiempo, y el máximo de su amplitud se mueve con una velocidad inicial igual a la velocidad de fase Sin embargo, si la dispersión es diferente de cero ( ), es decir, si las velocidades de fase de los componentes de onda individuales son diferentes, la forma inicial del paquete cambiará con el tiempo, es decir, se expandirá. ${\ omega}$ ${\ estilo de visualización {\ omega _ {2}} = 0}$ ${\omega _{2}}~{\not =}~0$

Estimemos el tiempo de propagación del paquete de ondas. Para ello, es necesario tener en cuenta, al considerar la integral , el término cuadrático de la serie de Taylor , que se descarta en la primera aproximación. Tenerlo en cuenta lleva a una fase adicional ${\frac {A}({\Delta }k))\int \limits _{k_{0}-{\frac ({\Delta }k}{2))}^{k_{0}+ {\frac {{\Delta }k}{2}}}{\mathsf {exp}}(-i({\omega }t-kr))\,{\mathsf {d}}k$ ${\omega_{2}}(k)={\omega_{0}''}{\frac {(k-k_{0})^{2}}{2}}$

{\Delta }{\xi }~{\sim }~{\frac {({\Delta }k)^{2)){2)){\frac {({\parcial }^{2} }{\omega }}{{\parcial }{k}^{2}}}t

que resulta imprescindible si alcanza el orden de . Por tanto, para el tiempo de propagación del paquete de ondas, obtenemos la expresión ${\Pi }$ ${\ estilo de visualización {\ Delta} t}$

{\Delta }t~{\cong }~{\frac {2{\pi }}({\frac {{{\parcial }^{2}}{\omega }}{{\parcial }{ k}^{2}}}({\Delta}k)^{2}}}

Ahora aplicamos las conclusiones obtenidas a las ondas de De Broglie. En primer lugar, prestamos atención al hecho de que la amplitud del paquete es notablemente diferente de cero solo en una pequeña región del espacio, que puede asociarse con la ubicación de la partícula. Además, en el caso particular de las ondas de De Broglie ( ), la velocidad de grupo de la partícula como un todo $E={\hbar }{\omega },~~p={\hbar }k$

{\bar {u}}={\frac {{\parcial }{\omega }}({\parcial }k}}={\frac {{\parcial }E}{{\parcial }p} }={\frac {{c^{2}}p}{E}}=v

exactamente igual a la velocidad de la propia partícula. Gracias a esto, es posible comparar el movimiento de los principales máximos de paquetes de ondas con el movimiento de partículas individuales. Por tanto, la posición de una partícula en el espacio se puede caracterizar por el cuadrado de la amplitud de onda , que es simultáneamente el cuadrado del módulo de la función de onda. $v$ ${B^{2}}={{\psi }^{*}}(r,t){\psi }(r,t)$

Ahora averigüemos: ¿es posible conectar las ondas "psi" con la estructura de la partícula en sí, o describen solo su movimiento? El punto de vista, afirmando que es posible, fue propuesto por Erwin Schrödinger poco después de su descubrimiento de la ecuación fundamental de la mecánica cuántica , quien sugirió que la partícula debería ser un grupo de ondas esparcidas en el espacio, y su densidad en un punto dado. punto es igual a . Sin embargo, esta interpretación resultó ser insostenible: como se mostró arriba, las velocidades de fase de las ondas que forman el paquete de ondas son diferentes y con el tiempo comienza a expandirse. ${{\psi }^{*}}(r,t){\psi }(r,t)$

Encontremos el tiempo de propagación del paquete de ondas a partir de las ondas de De Broglie. En este caso, el término cuadrático de la serie de Taylor anterior, que determina la varianza, será igual a

{\frac {{{\parcial}^{2}}{\omega }}{({\parcial }k}^{2}}}={\hbar }{\frac {{{\parcial} ^{2}}{E}}{{{\parcial}p}^{2}}}

Para simplificar, nos limitamos a la aproximación no relativista ( es la masa en reposo de la partícula). Después: $p~{\ll }~{m_{0}}c~,$ ${\ estilo de visualización {m_{0))}$

{\frac {{\parcial}E}{{\parcial}p}}={\frac {p}{m_{0}}},~~~~~~{\frac {{{\parcial }^{2}}{E}}{{{\parcial }p}^{2}}}={\frac{1}{m_{0}}}

Para estimar el tiempo de propagación del paquete de ondas, obtenemos (según la relación de incertidumbre y similar a la fórmula anterior):

{\Delta }t~{\approx }~{\frac {h}({\frac {({\parcial }^{2}}{E}}{{\parcial }{p}^{2 ))}({\Delta }p)^{2}}}~{\aprox. }~{\frac {{m_{0}}({\Delta }r)^{2}}{h}}

En el caso de una partícula macroscópica que tenga una masa, por ejemplo, 1 gramo y un tamaño de cm, el tiempo de propagación será segundos, es decir, dicho paquete de ondas no se propagará realmente. En el caso de una micropartícula como un electrón, cuya masa es del orden de gramos, cm, el paquete de ondas se expandirá casi instantáneamente: seg. Debido al hecho de que el paquete de ondas de una micropartícula generalmente se propaga muy rápidamente, para que sus (partículas) se describan con éxito, un paquete de ondas debe estar compuesto por ondas cuya dispersión de número de onda sea pequeña, es decir, . ${\ estilo de visualización {{\ Delta} r} = 0,1}$ ${\ estilo de visualización {{\ Delta} t} = {10 ^ {25}}}$ ${\ estilo de visualización {10^{-27))}$ ${{\Delta }r}~{\sim }~{10^{-13}}$ ${{\Delta }t}~{\sim }~{10^{-26))$ ${{\Delta }k}~{\ll }~{k_{0))$

Así, si el punto de vista al que se adhirió Schrödinger al respecto fuera correcto, el electrón no podría ser una formación estable. Además, sería imposible explicar el fenómeno de la difracción reemplazando el haz de electrones con una multitud de paquetes de ondas.

En la actualidad, se acepta otra interpretación "estadística" de la onda -, propuesta por Max Born . Según esta interpretación, el valor tiene el significado de la probabilidad (o densidad de probabilidad ) de encontrar una partícula en un punto dado del espacio o un elemento de volumen infinitesimal (en el caso general, muy pequeño). ${\psi}$ ${{{\mid }{\psi }{\mid }}^{2}}=({\psi }^{*}}{\psi }$

La interpretación estadística propuesta por Born no relaciona la función de onda con la estructura de la partícula. En particular, nada "impide" que el electrón permanezca generalmente como un punto. Cuando la función de onda cambia, solo cambia la probabilidad de encontrar una partícula en algún punto del espacio. A la luz de esta idea, la dispersión del paquete de ondas contradice la estabilidad de la partícula. En el caso límite de una onda monocromática, se puede encontrar una partícula con igual probabilidad en cualquier punto del espacio.

Véase también

Notas

↑ Paquete de ondas - artículo de la Enciclopedia física
↑ Nota: En las fórmulas aquí y debajo, los primos denotan diferenciación con respecto al número de onda $k$

Literatura

AA Sokolov, IM Ternov Mecánica cuántica y física atómica. - M . : "Ilustración", 1970. § 3.
L. A. Gribov, S. P. Mushtakova Química cuántica. - M. : "Gardariki", 1999. Capítulo 1, p. catorce.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Mecánica cuántica (teoría no relativista). - 6ª edición, revisada. — M .: Fizmatlit , 2004. — 800 p. - (" Física Teórica ", Tomo III). — ISBN 5-9221-0530-2 .
Sivukhin DV Curso general de física. — Edición 3, estereotipada. - M. : Fizmatlit , MIPT , 2002. - T. IV. Óptica. — 792 pág. — ISBN 5-9221-0228-1 .