Ecuación de Schrödinger

La ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial parcial lineal que describe el cambio en el espacio (en el caso general, en el espacio de configuración ) y en el tiempo de un estado puro , dado por la función de onda , en sistemas cuánticos hamiltonianos .

Desempeña el mismo papel importante en la mecánica cuántica que las ecuaciones de Hamilton o la ecuación de la segunda ley de Newton en la mecánica clásica o las ecuaciones de Maxwell para las ondas electromagnéticas.

Formulado por Erwin Schrödinger en 1925 , publicado en 1926 . La ecuación de Schrödinger no se deriva, sino que se postula por analogía con la óptica clásica, basada en una generalización de datos experimentales [1] .

La ecuación de Schrödinger está diseñada para partículas sin espín que se mueven a velocidades mucho menores que la velocidad de la luz . En el caso de partículas rápidas y partículas con espín, se utilizan sus generalizaciones ( ecuación de Klein-Gordon , ecuación de Pauli , ecuación de Dirac , etc.).

Historia

A principios del siglo XX, los científicos llegaron a la conclusión de que había una serie de discrepancias entre las predicciones de la teoría clásica y los datos experimentales sobre la estructura atómica. El descubrimiento de la ecuación de Schrödinger siguió la suposición revolucionaria de de Broglie de que no solo la luz, sino cualquier cuerpo en general (incluidas las micropartículas ) tiene propiedades ondulatorias .

Históricamente, la formulación final de la ecuación de Schrödinger estuvo precedida por un largo período de desarrollo de la física . La ecuación en sí fue formulada por Erwin Schrödinger en 1925 , en el proceso de explicar, a pedido de Peter Debye , las ideas de de Broglie sobre la naturaleza ondulatoria de las micropartículas a un grupo de estudiantes graduados en la Universidad de Zúrich [2] . Publicado en 1926 [3] .

Por el descubrimiento de esta ecuación, E. Schrödinger recibió el Premio Nobel de Física en 1933 [4] .

Ecuación dependiente del tiempo

La forma más general de la ecuación de Schrödinger es la forma que implica dependencia del tiempo [5] [6] :

Ecuación dependiente del tiempo (caso general)

$i\hbar {\frac {\parcial }{\parcial t))\Psi ={\hat {H))(p,q)\Psi ,$

donde es el hamiltoniano , son las coordenadas y son los momentos. $\ que H$ $q$ ${\ Displaystyle p_ {r} = {\ frac {\ hbar} {i}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial q_ {r}}}}$

Un ejemplo de una ecuación de Schrödinger no relativista en la representación de coordenadas para una partícula puntual de masa que se mueve en un campo potencial con potencial : $metro$ $V(\vec{r},t)$

Un ejemplo de una ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

$i\hbar {\frac {\parcial }{\parcial t))\Psi ({\vec {r)),t)=\left[-{\frac {\hbar ^{2)){2m }}\nabla ^{2}+V({\vec {r}},t)\right]\Psi ({\vec {r}},t).$

En este ejemplo, el hamiltoniano . $\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{r},t)$

Algunas propiedades

La función de onda , que es una solución a la ecuación de Schrödinger, y sus primeras derivadas deben ser de un solo valor y continuas en todo el espacio. La continuidad de las derivadas significa físicamente la continuidad de la densidad de flujo [7] .

Si la energía potencial no gira hacia el infinito en ningún lugar o gira hacia algún punto más lentamente que , ¿dónde está la distancia a este punto, entonces la función de onda debe ser finita en todo el espacio [7] . $tu$ $-\infty$ ${\ estilo de visualización - {\ frac {1} {r ^ {2}}}}$ $r$

Los valores medios de cantidades mecánicas para un paquete de ondas , que pueden ser descritos por la ecuación de Schrödinger, satisfacen las ecuaciones clásicas de Hamilton ( teorema de Ehrenfest ) [8] .

La ecuación de Schrödinger es invariante bajo transformaciones de Galileo . De este hecho se derivan una serie de consecuencias importantes: la existencia de una serie de operadores de mecánica cuántica asociados con las transformaciones de Galileo; la incapacidad para describir estados con un espectro de masas o partículas elementales inestables en la mecánica cuántica no relativista ( teorema de Bargman ); la existencia de invariantes mecánicos cuánticos generados por la transformación de Galileo [9] .

La ecuación de Schrödinger es más compleja que las ecuaciones de Hamilton de la mecánica clásica. Las ecuaciones de Hamilton son un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden , y la ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial parcial [10] .

La ecuación de Schrödinger es lineal, es decir, si las funciones de onda satisfacen la ecuación de Schrödinger, entonces cualquier combinación lineal de ellas la satisface , donde y son números complejos [11] . Como resultado, la superposición lineal de las funciones de onda no es violada por la ecuación de Schrödinger y es necesaria una operación de medición para reducir la función de onda. La linealidad del operador de Schrödinger es una consecuencia y generalización del principio de superposición , el cual es importante para la correcta formulación del concepto de operación de medida [12] . $\psi$ $\Fi$ $\alpha \Psi +\beta \Phi$ $\alfa$ $\beta$

Para todos los sistemas cuánticos que ocupan regiones limitadas del espacio, las soluciones de la ecuación de Schrödinger existen solo para un conjunto contable de valores de energía y representan un conjunto contable de funciones de onda , cuyos miembros están numerados por un conjunto de números cuánticos [7] [13 ] . La función de onda del estado normal (con la energía más baja) no desaparece (no tiene nodos) en ninguna parte del espacio. El nivel de energía normal no puede ser degenerado. Teorema de oscilación : para el movimiento unidimensional, la función de onda del espectro discreto correspondiente al -ésimo valor propio más grande se anula (para valores finitos de la coordenada x) veces [7] . $E_{{n}}$ $\Psi _{{n}}$ $norte$ ${\ estilo de visualización \ Psi _ {0}}$ $\Psi _{{n}}$ $(n+1)$ $E_{{n}}$ $norte$

La ecuación de Schrödinger, al igual que las ecuaciones de Hamilton, es una ecuación de primer orden en el tiempo. Es una expresión matemática del principio del determinismo estadístico en la mecánica cuántica: un estado dado de un sistema determina su estado posterior no sin ambigüedad, sino solo con una cierta probabilidad especificada usando la función de onda . $\psi$

La ecuación de Schrödinger es simétrica con respecto a ambas direcciones del tiempo. Esta simetría se expresa en su invariancia cuando se cambia el signo y la función de onda se reemplaza simultáneamente por un complejo conjugado [14] . $t$ $\psi$ ${\ estilo de visualización \ Psi ^ {*}}$

Si y son dos soluciones de la ecuación de Schrödinger, entonces su producto escalar no cambia con el tiempo: . Esto se sigue de la igualdad a cero de la derivada del producto escalar [15] : $\fi$ $\psi$ $(\mathbf {\phi } ,\mathbf {\psi } )=\mathrm {const}$

{\frac {d}{dt))(\mathbf {\phi } ,\mathbf {\psi } )=(\mathbf {\dot {\phi )) ,\mathbf {\psi } )+( \mathbf {\phi } ,\mathbf {\dot {\psi )) )=(\mathbf {i} {\hat {H))\phi ,\mathbf {\psi } )+(\mathbf {\phi } ,\mathbf {i} {\hat {H}}\psi )=i(\mathbf {\hat {H}} \phi ,\mathbf {\psi } )-i(\mathbf {\phi } ,\mathbf {\sombrero {H}}\psi )=0

Limitaciones de aplicabilidad

La ecuación de Schrödinger no puede explicar la emisión espontánea , ya que la función de onda del estado excitado es la solución exacta de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo [16] [17] .

La ecuación de Schrödinger no puede describir el proceso de medida en mecánica cuántica, ya que es lineal, determinista y reversible en el tiempo, mientras que el proceso de medida es no lineal, estocástico e irreversible en el tiempo [18] .

La ecuación de Schrödinger no puede describir los procesos de transformaciones mutuas de partículas elementales . Los procesos de transformaciones mutuas de partículas se describen mediante la teoría cuántica relativista de campos.

Redacción

Caso general

En la física cuántica , se introduce una función de valor complejo que describe el estado puro de un objeto, que se denomina función de onda . En la interpretación más común de Copenhague , esta función está relacionada con la probabilidad de encontrar un objeto en uno de los estados puros (el cuadrado del módulo de la función de onda es la densidad de probabilidad ) [19] [20] . El comportamiento de un sistema hamiltoniano en estado puro está completamente descrito por la función de onda. ${\ estilo de visualización \ psi}$

Habiendo abandonado la descripción del movimiento de una partícula con la ayuda de trayectorias obtenidas de las leyes de la dinámica , y habiendo determinado en su lugar la función de onda, es necesario introducir en consideración una ecuación que es equivalente a las leyes de Newton y da una receta para encontrando en particular problemas físicos. Tal ecuación es la ecuación de Schrödinger. ${\ estilo de visualización \ psi}$

Deje que la función de onda se dé en el espacio de configuración n-dimensional , luego en cada punto con coordenadas en un cierto punto en el tiempo se verá como . En este caso, la ecuación de Schrödinger se escribirá como: $\vec{r}({x}_1, {x}_2, {x}_3,\ldots,{x}_n)$ $t$ ${\ estilo de visualización \ Psi \ izquierda ({\ vec {r)), t \ derecha)}$

-{{\hbar }^{2} \over 2m}{\Delta }\Psi ({\vec {r)),t)+V({\vec {r)),t)\Psi ( {\vec {r)),t)=i\hbar {\parcial \sobre \parcial t}\Psi ({\vec {r)),t),\qquad (1)

donde , es la constante de Planck ; es la masa de la partícula, es la energía potencial externa a la partícula en el punto en el tiempo , es el operador de Laplace (o Laplaciano), es equivalente al cuadrado del operador nabla y en el sistema de coordenadas n-dimensional tiene la forma : $\hbar = {h \sobre 2 \pi}$ $h$ $metro$ ${\ Displaystyle V ({\ vec {r)), t)}$ $\vec{r}({x}_1, {x}_2, {x}_3,\ldots,{x}_n)$ $t$ $\Delta$

\Delta \equiv {\nabla}^{\,2} \! = {{\parcial}^2 \sobre \parcial {x}_1^2} + {{\parcial}^2 \sobre \parcial {x}_2^2} + {{\parcial}^2 \sobre \parcial {x}_3^2} + \ldots + {{\parcial}^2 \over \parcial {x}_n^2}.

El caso del espacio tridimensional

En el caso tridimensional , la función psi es una función de tres coordenadas, y en el sistema de coordenadas cartesianas se reemplaza por la expresión ${\ estilo de visualización \ Delta \ Psi}$

\Delta \Psi ={{\parcial}^{2}\Psi \over \parcial {x}^{2}}+{{\parcial}^{2}\Psi \over \parcial {y} ^{2}}+{{\parcial}^{2}\Psi \over \parcial {z}^{2}},

entonces la ecuación de Schrödinger tomará la forma:

-{{\hbar }^{2} \over 2m}\left({{\parcial}^{2}\Psi \over \parcial {x}^{2}}+{{\parcial }^ {2}\Psi \over \parcial {y}^{2}}+{{\parcial}^{2}\Psi \over \parcial {z}^{2}}\right)+V(x,y ,z,t)\Psi =i\hbar {\parcial \Psi \sobre \parcial t},

donde , es la constante de Planck ; es la masa de la partícula, es la energía potencial en el punto en el tiempo t . $\hbar = {h \sobre 2 \pi}$ $h$ $metro$ ${\ estilo de visualización V (x, y, z, t)}$ $(x, y, z)$

Ecuación estacionaria de Schrödinger

La forma de la ecuación de Schrödinger muestra que, con respecto al tiempo, su solución debería ser simple, ya que el tiempo entra en esta ecuación solo a través de la primera derivada del lado derecho. De hecho, una solución particular para el caso en que no es una función del tiempo se puede escribir como: $V$

\Psi ({\vec {r}},t)=\psi ({\vec {r}}\,){e}^{-iEt/\hbar},\qquad (2)

donde la función debe satisfacer la ecuación: ${\ estilo de visualización \ psi ({\ vec {r}} \,)}$

-{{\hbar }^{2} \over 2m}\Delta \psi ({\vec {r)))+V({\vec {r)))\psi ({\vec {r} })=E\psi ({\vec {r))),\qquad (3)

que se obtiene de la ecuación de Schrödinger (1) sustituyendo la fórmula anterior por (2) en ella . Tenga en cuenta que esta ecuación no contiene tiempo en absoluto; en este sentido, se denomina ecuación de Schrödinger estacionaria (la ecuación de Schrödinger que no contiene el tiempo) . $\psi$

La expresión (2) es solo una solución particular de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo (1) , la solución general es una combinación lineal de todas las soluciones particulares de la forma (2) . La dependencia de la función con el tiempo es simple, pero su dependencia con la coordenada no siempre tiene una forma elemental, ya que la ecuación (3) con una elección de la forma de la función potencial es completamente diferente de la misma ecuación con otra elección de esta función. De hecho, la ecuación (3) puede resolverse analíticamente solo para un pequeño número de tipos particulares de la función . ${\ estilo de visualización \ Psi ({\ vec {r)), t)}$ $V({\vec{r)))$ $V({\vec{r)))$

La ecuación de Schrödinger en forma invariante

Sea la energía cinética clásica de un sistema dinámico de la forma . Las cantidades pueden considerarse como componentes de un tensor métrico en el espacio de medidas. En coordenadas cartesianas rectangulares , estas son solo las masas de las partículas y son las masas recíprocas. $T=\sum_{j,j}^{n}a_{ij}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}$ $a_{{ij}}$ $norte$ $a_{{ij}}$ ${\ estilo de visualización a^{ij}}$

La ecuación de Schrödinger en forma invariante tiene la forma:

$\sum _{k,j}\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{\sqrt {a}}}{\frac {\parcial }{\parcial q^{k}} }\left({\sqrt {a}}a^{kj}{\frac {\parcial }{\parcial q^{j}}}\right)+V\right]\Psi +{\frac {\hbar {i}}{\frac {\parcial \Psi }{\parcial t}}=0$

Aquí está el determinante de la matriz . $a$ $a_{{ij}}$

Métodos para resolver la ecuación de Schrödinger

Método analítico. La solución se busca en forma de una expresión matemática exacta. Este método es aplicable solo en unos pocos casos simples (átomos de un solo electrón, oscilador lineal, pozo de potencial con paredes infinitamente altas, etc.) [22] .

Método de perturbación . El operador de Hamilton se considera como la suma de dos términos. Uno de ellos se considera como un operador imperturbable con una solución analítica exacta. El otro término se considera como una pequeña adición perturbadora. Con una perturbación estacionaria, la solución consiste en expandir los valores propios y las funciones propias en una serie en potencias de una pequeña constante de perturbación y encontrar una solución aproximada al sistema de ecuaciones obtenido [23] . Con una perturbación no estacionaria, la función de onda se busca en forma de una combinación lineal de funciones de onda propia con coeficientes dependientes del tiempo [24] .
El método Ritz . Se utiliza para resolver la ecuación estacionaria de Schrödinger. Los valores extremos de la energía total promedio del sistema se determinan variando los parámetros de alguna función de prueba [25] .
Método de Hartree-Fock .
Método WKB .

Transición a la mecánica clásica

La ecuación de Schrödinger que describe el movimiento de un microobjeto en un campo potencial : $U({\vec {r)))$

i\hbar {\frac {\parcial \psi }{\parcial t))=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +U({ \vec {r)))\psi

La función de onda de una micropartícula en puede representarse como . Debido a las identidades , la ecuación de Schrödinger en este caso también se puede escribir de la forma: . ${\ estilo de visualización \ hbar \ flecha derecha 0}$ ${\displaystyle \psi ({\vec {r)),t)=Ae^({\frac {i}{\hbar}}S({\vec {r}},t)))$ $i\hbar {\frac {\parcial \psi }{\parcial t))=-{\frac {\parcial S}{\parcial t))\psi$ $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi =\left[{\frac {1}{2m}}(\nabla S)^{2} -{\frac{i\hbar }{2m}}\Delta S\right]\psi$ ${\frac {\S parcial}{\t parcial))+{\frac {1}{2m))(\nabla S)^{2}+U({\vec {r)))-{ \frac{i\hbar}{2m}}\Delta S=0$

En este caso, esta ecuación se convierte en la ecuación de Hamilton-Jacobi de la mecánica clásica: ${\ estilo de visualización \ hbar \ flecha derecha 0}$

{\frac {\S parcial}{\t parcial))+{\frac {1}{2m))(\nabla S)^{2}+U({\vec {r)))=0

La existencia de un límite de transición de la ecuación de Schrödinger a la ecuación de Hamilton-Jacobi da motivos para considerar la mecánica de Newton como un caso límite de una mecánica cuántica más general, adecuada para describir objetos tanto microscópicos como macroscópicos ( el principio de correspondencia ).

Analogías y conexiones con otras ecuaciones

Ecuaciones de Maxwell para ondas electromagnéticas en el espacio vacío

\left\{{\begin{alineado}-c\cdot \operatorname {rot} E&={\frac {\parcial H}{\parcial t)),\\c\cdot \operatorname {rot} H& ={\frac {\E parcial}{\t parcial}}\end{alineado}}\right.

se puede convertir en una sola ecuación introduciendo una nueva cantidad compleja , similar a la función de onda en la ecuación de Schrödinger $\Psi =E+iH$

i{\frac {\parcial \Psi }{\parcial t))=c\cdot \operatorname {rot} \Psi ,

similar a la ecuación de Schrödinger [27] .

La ecuación de Schrödinger es similar a las ecuaciones de conducción y difusión de calor de la física clásica en que es una ecuación de primer orden en el tiempo y se diferencia de ellas en la presencia de un coeficiente imaginario antes de . Gracias a ella, también puede tener soluciones periódicas [28] . ${\frac {\parcial \Psi }{\parcial t))$

La ecuación de Schrödinger se puede derivar del principio de mínima acción tratando como la ecuación de Euler

{\frac {\parcial L}{\parcial \psi }}-\sum_{{k=0}}^{{3}}{\frac {\parcial }{\parcial x_{{k}}}} {\frac {\parcial L}{\parcial \left({\frac {\parcial \psi }{\parcial x_{{k))))\right)))=0

algún problema variacional en el que la densidad del Lagrangiano tiene la forma [29] [30] :

L=i\hbar \psi ^{*}{\frac {\parcial \psi }{\partial t))-{\frac {\hbar ^{2)){2m))\nabla \psi ^ {*}\nabla \psi -U(r,t)\psi ^{*}\psi -i\hbar {\frac {\parcial \psi ^{*}}{\parcial t}}\psi ={\ frac {i\hbar }{2}}\left(\psi ^{*}{\frac {\parcial \psi }{\parcial t}}-{\frac {\parcial \psi ^{*}}{\ t parcial}}\psi \right)-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(\nabla \psi ^{*}\cdot \nabla \psi )-U(r,t)\psi ^{*}\psi

La ecuación de Dirac se puede escribir como la ecuación de Schrödinger:

i\hbar {\frac {\parcial \psi _{1}}{\parcial t}}=mc^{2}\psi _{1}+c({\hat {p_{x}}} -i{\sombrero {p_{y}}}})\psi _{4}+c{\sombrero {p_{z}}}\psi _{3}

i\hbar {\frac {\parcial \psi _{2}}{\parcial t}}=mc^{2}\psi _{2}+c({\hat {p_{x}}} +i{\sombrero {p_{y}}}})\psi _{3}-c{\sombrero {p_{z}}}\psi _{4}

i\hbar {\frac {\parcial \psi _{3}}{\parcial t}}=-mc^{2}\psi _{3}+c({\hat {p_{x}} }-i{\sombrero {p_{y}}}})\psi _{2}+c{\sombrero {p_{z}}}\psi _{1}

i\hbar {\frac {\parcial \psi _{4}}{\parcial t}}=-mc^{2}\psi _{4}+c({\hat {p_{x}} }+i{\sombrero {p_{y}}}})\psi _{1}-c{\sombrero {p_{z}}}\psi _{2}

Aquí: , , ${\sombrero {p_{x))}=-i\hbar {\frac {\parcial }{\parcial x))$ ${\hat {p_{y))}=-i\hbar {\frac {\parcial }{\parcial y))$ ${\hat {p_{z))}=-i\hbar {\frac {\parcial }{\parcial z))$

En algunos casos, la solución de la ecuación estacionaria de Schrödinger por el método WKB se puede buscar en la forma y la acción satisface la ecuación de Hamilton-Jacobi . Expandiendo la función a una serie en potencias del parámetro : , se obtiene la ecuación estacionaria de Hamilton-Jacobi en la aproximación cero, y correcciones de varios órdenes en las próximas aproximaciones [31] . ${\displaystyle \psi =e^{{\frac {i}{\hbar}}S(r))))$ $S$ ${\frac {1}{2m}}(\nabla S)^{2}+{\frac {i\hbar }{2m}}\Delta S+V(r)=E$ $S$ ${\ estilo de visualización i \ hbar}$ $S=S^{0}+i\hbar S'+...$ ${\ estilo de visualización S^{0))$

Pensamientos rectores

Ecuación de onda para las ondas de De Broglie

Se puede llegar a la ecuación de Schrödinger generalizando la ecuación de onda al caso de las ondas de De Broglie : [32]

$\Delta \varphi ={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\parcial ^{2}\varphi }{\parcial t^{2}}}$

donde es el operador de Laplace , es la función de onda , que tiene las propiedades de una onda de De Broglie, es el tiempo, es la coordenada espacial, es la velocidad de fase . $\Delta$ ${\ estilo de visualización \ varphi = \ varphi ({\ vec {r)), t)}$ $t$ ${\ vec {r))$ $v$

Si la función de onda es monocromática, entonces la solución a esta ecuación se puede representar como

$\varphi ({\vec {r)),t)=e^{-i\omega t}\Psi ({\vec {r)))$

donde es la frecuencia circular . $\omega$

La ecuación para la parte espacial de la función de onda es: ${\ estilo de visualización \ psi ({\ vec {r)))}$

$\Delta \Psi ({\vec {r)))=-{\frac {\omega ^{2}}{v^{2}}}\Psi ({\vec {r}})$

Usemos la expresión para la longitud de onda:

$\lambda ={\frac {2\pi v}{\omega }}$

La ecuación para la parte espacial de la función de onda toma la forma:

$\Delta \Psi ({\vec {r)))=-{\frac {4\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}}\Psi ({\vec {r}})$

Teniendo en cuenta la expresión para la longitud de onda de de Broglie :

${\ estilo de visualización \ lambda = {\ frac {2 \ pi \ hbar} {p}}}$

y la ley de conservación de la energía :

${\frac {p^{2}}{2m}}+V({\vec {r}})=E$

donde es el momento de la partícula, es la constante de Planck , es la masa de la partícula, es la energía potencial de la partícula, es la energía total de la partícula. $pags$ $\hbar$ $metro$ $V({\vec{r)))$ $mi$

Obtenemos:

${\frac {4\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(EV({\vec {r}} ))$

Como resultado, tenemos la ecuación estacionaria de Schrödinger:

$\Delta \Psi ({\vec {r)))+{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(EV({\vec {r))))\Psi ({\vec {r}})=0$

Para pasar a la ecuación de Schrödinger no estacionaria, representamos la ecuación de Schrödinger estacionaria de la forma:

$E\Psi (t)+({\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta -V)\Psi (t)=0$

donde _ $\Psi (t)=\Psi e^{-{\frac {i}{\hbar}}Et}$

Con la ayuda de la igualdad

$-{\frac {\hbar}}{i}}{\frac {\parcial \Psi (t)}{\parcial t}}=E\Psi (t)$

llegamos a la ecuación de Schrödinger no estacionaria:

$i\hbar\frac{\parcial}{\parcial t} \Psi(\vec{r} ,t) = \left [ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec {r},t)\right] \Psi(\vec{r},t)$

Operador de turno de tiempo

En mecánica cuántica, la derivada temporal de la función de onda puede considerarse como un operador de desplazamiento temporal. Por analogía con la mecánica clásica y la relación entre energía y tiempo, podemos suponer que su papel lo juega siempre el hamiltoniano . Esto implica inmediatamente la ecuación de Schrödinger [33] [34] .

Correspondencia entre la mecánica clásica y la óptica geométrica

Se puede llegar a la ecuación de Schrödinger basándose en la correspondencia entre la mecánica clásica y la óptica geométrica. Los conceptos de punto material, trayectoria, velocidad, energía potencial, energía, principio variacional de Maupertuis en mecánica clásica corresponden a los conceptos de paquete de ondas, haz, velocidad de grupo, velocidad de fase (índice de refracción), frecuencia, principio variacional de Fermat en geometría óptica [35] .

El principio variacional de Maupertuis en la mecánica clásica

{\ estilo de visualización \ int {\ sqrt {EV}} ds = \ min \ qquad}

(una)

corresponde al principio variacional de Fermat en óptica

\int {\frac {ds}{v}}=\min .\qquad

(2)

Aquí , es la energía total, es la energía potencial y es la velocidad de fase. Una trayectoria en mecánica clásica corresponde a un haz de luz en óptica si $mi$ $V$ $v$

{\frac {1}{v(\omega ,x)}}=f(\omega ){\sqrt {E(\omega )-V(x))).\qquad

(3)

El paquete de ondas se puede representar como

{\displaystyle \sum_{\omega }a_{\omega }\cos {2\pi \omega \left(t-{\frac {x}{v(\omega )))\right)))

Para el paquete máximo, la igualdad

{\frac {d}{d\omega }}\left\{\omega \left(t-{\frac {x}{v(\omega )))\right)\right\}=0

De esta igualdad se sigue que . En mecánica clásica, esto corresponde a la igualdad . De estas dos expresiones se obtiene una fórmula para la velocidad de grupo [36] : $t=x{\frac {d}{d\omega}}\left({\frac {\omega}{v}}\right)$ $t=\frac{x}{V_{g}}$

V_{g}=\left[{\frac {d}{d\omega }}\left({\frac {\omega }{v}}\right)\right]^{-1}.\ qquad

(cuatro)

Entonces, la condición de igualdad de la velocidad del punto material y la velocidad del grupo del paquete de ondas se puede escribir como [37] :

{\frac {d}{d\omega }}\left({\frac {\omega }{v}}\right)={\sqrt {\frac {m}{2}}}{\frac {1}{\sqrt {E(\omega )-V(x)}}}.\qquad

(5)

De aquí, usando (3), obtenemos:

{\sqrt {\frac {m}{2}}}{\frac {1}{\sqrt {EV}}}={\frac {d}{d\omega }}\left\{\omega f(\omega ){\sqrt {EV}}\right\}={\frac {d(\omega f(\omega ))}{d\omega }}{\sqrt {EV}}+{\frac { \omega f(\omega )}{2{\sqrt {EV)))){\frac {dE}{d\omega )).

Comparando los coeficientes a las mismas potencias , encontramos $\sqrt{VE}$

{\frac {d}{d\omega }}(\omega f(\omega ))=0,\qquad {\sqrt {\frac {m}{2}}}={\frac {\omega f(\omega )}{2}}{\frac {dE}{d\omega }}.

El primero de ellos da , luego el segundo implica , , . La velocidad de fase de la onda depende de la frecuencia : $\omega f(\omega )=\mathrm {const}$ $\frac{dE}{d\omega} = constante$ $E=\hbar\omega$ $f(\omega)=\frac{\sqrt{2m)){\hbar \omega}$ $v$ $\omega$

v={\frac {\hbar \omega }{\sqrt {2m))}{\frac {1}{\sqrt {\hbar \omega -V))}.\qquad

(6)

Una onda monocromática con velocidad de fase satisface la ecuación $v$

\nabla ^{2}\Psi -{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\parcial ^{2}\Psi }{\parcial t^{2}}}= 0.\qquad

(7)

Una solución particular a esta ecuación tiene la forma:

\Psi =ue^{-i\omega t}=ue^{-{\frac {i}{\hbar }}Et},\qquad

(ocho)

donde es la frecuencia de la onda. Sustituyendo la solución (8) en la ecuación (7), obtenemos: $\omega$

\nabla ^{2}u+{\frac {\omega ^{2}}{v^{2}}}u=0.\qquad

(9)

Sustituyendo (6) en (9), obtenemos:

\nabla ^{2}u+{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(\hbar \omega -V)u=0.\qquad

(diez)

De la ecuación (8) obtenemos:

\omega u=-{\frac {1}{i}}{\frac {\parcial \Psi }{\parcial t)).\qquad

(once)

Sustituyendo (11) en (10), obtenemos la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo (12) [38] :

i\hbar {\frac {\parcial }{\parcial t}}\Psi =\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V\ derecha]\Psi .\qquad

(12)

Generalizaciones

Ecuación de Schrödinger en un campo electromagnético

Una partícula sin espín no relativista en un campo electromagnético definido por los potenciales y describe la ecuación de Schrödinger en un campo magnético (el potencial del campo eléctrico es escalar y entra como un término ordinario ): $\varphi$ $\matemáticas {A}$ $V$

i\hbar {\frac {\parcial }{\parcial t))\Psi =\left[{\frac {1}{2m))({\hat {\mathbf {p} ))-{\ fracción {e}{c}}\mathbf {A} )^{2}+e\varphi \right]\Psi .

Aquí está el operador de cantidad de movimiento . Esta ecuación está escrita en el sistema de unidades de Gauss . En el sistema SI , el coeficiente at no es igual a , sino a . ${\sombrero {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla$ $\matemáticas {A}$ ${\frac{e}{c))$ $mi$

Ecuación de Schrödinger no lineal

La ecuación no lineal de Schrödinger tiene la forma:

i{\frac {\parcial u}{\parcial t))+{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial x^{2))}+\nu |u|^{2 }u=0,

donde es una función de valor complejo . $tu(x, t)$

Se utiliza en la descripción de fenómenos mecánicos cuánticos no lineales.

Teoría cuántica de campos

En la teoría cuántica de campos, al estudiar procesos relativistas con aniquilación y creación de partículas elementales, se conoce una generalización de la ecuación de Schrödinger en derivadas variacionales:

i{\frac {\delta \Phi (g)}{\delta g(x)))=H(x;g)\Phi (g).

Aquí , es la amplitud de estado , es la intensidad de interacción, es la densidad de la función de Hamilton generalizada y es la matriz de dispersión [39] . ${\ estilo de visualización \ Phi (g)}$ $gramo$ $H(x,g)=i{\frac {\delta S(g)}{\delta g(x)))S^{+}(g)$ ${\ estilo de visualización S (g)}$

Esta ecuación se puede reescribir en la forma de la ecuación diferencial funcional de Schwinger-Tomonaga :

i{\frac {\delta \Phi (\sigma)}{\delta \sigma (x)))=H(x,\sigma)\Phi (\sigma)

donde es una superficie similar al espacio en el espacio de Minkowski [40] . $\sigma (x)$

Véase también

función de onda
Ecuación de Schrödinger estacionaria unidimensional
Ecuación de Dirac
ecuación de Pauli
Ecuación de Lindblad
Ecuación de Von Neumann
Ecuación de Heisenberg
Jost funciones
grupo de Schrödinger
Ecuación de Schwinger-Tomonaga
operador de Schrödinger
Ecuación de Schrödinger no lineal
Características de la transformación de dispersión para la ecuación de Schrödinger bidimensional

Notas

↑ Prigozhin, 2006 , pág. 74.
↑ Kapitsa P. L. Algunos principios de crianza y educación creativa de la juventud moderna // Experimento, teoría, práctica. - M., Nauka, 1981. - pág. 257.
↑ Kuznetsov B. G. Ideas básicas de la mecánica cuántica // otv. edición Grigoryan A. T. , Polak L. S. Ensayos sobre el desarrollo de ideas físicas básicas. - M., Academia de Ciencias de la URSS, 1959. - S. 390-421;
↑ El Premio Nobel de Física 1933 Erwin Schrödinger . Consultado el 26 de octubre de 2019. Archivado desde el original el 18 de julio de 2020. (indefinido)
↑ Shankar, R. Principios de mecánica cuántica (neopr.) . — 2do. - Springer Science + Business Media / Springer Science + Business Media , 1994. - P. 143. - ISBN 978-0-306-44790-7 .
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Enlaces

Estados esféricamente simétricos de un electrón en un átomo de hidrógeno

Literatura

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Gribov L. A., Mushtakova S. P. química cuántica. - M. : Gardariki, 1999. - 390 p. - ISBN 5-8297-0017-4 .

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