Finca Privada

En teoría de números, el cociente de Fermat para un número entero a ≥ 2 sobre una base simple p es una fracción [1] [2] [3] [4]

q_{p}(a)={\frac {a^{p-1}-1}{p)).

Si a es coprimo de p , entonces el Pequeño Teorema de Fermat establece que q p ( a ) será un número entero. El privado lleva el nombre de Pierre de Fermat .

Propiedades

Es obvio por la definición que

q_{p}(1)\equiv 0{\pmod {p))

q_{p}(-a)\equiv q_{p}(a){\pmod {p))

En 1850, Gotthold Eisenstein demostró que si a y b son primos relativos con p , entonces: [5]

q_{p}(ab)\equiv q_{p}(a)+q_{p}(b){\pmod {p))

;

q_{p}(a^{r})\equiv rq_{p}(a){\pmod {p))

;

q_{p}(a+p)\equiv q_{p}(a)-{\frac {1}{a}}{\pmod {p}}

;

q_{p}(p-1)\equiv 1{\pmod {p))

;

q_{p}(p+1)\equiv -1{\pmod {p))

Eisenstein comparó las dos primeras relaciones con las propiedades de los logaritmos.

De estas propiedades se sigue

q_{p}(1/a)\equiv -q_{p}(a){\pmod {p))

;

q_{p}(a/b)\equiv q_{p}(a)-q_{p}(b){\pmod {p))

En 1895, Dmitry Mirimanov (Dmitry Mirimanoff) señaló que la aplicación consistente de las reglas de Eisenstein conduce a [6]

q_{p}(a+np)\equiv q_{p}(a)-n\cdot {\frac {1}{a}}{\pmod {p}}.

De esto se deduce que [7]

q_{p}(a+np^{2})\equiv q_{p}(a){\pmod {p)).

Ocasiones especiales

Eisenstein descubrió que el cociente de Fermat en base 2 es comparable en módulo p a la suma de los recíprocos de los números de 1 a , es decir, un número armónico : ${\frac{p-1}{2}}$ $H_{\frac{p-1}{2}}$

-2q_{p}(2)\equiv \sum _{k=1}^{\frac {p-1}{2}}{\frac {1}{k}}\equiv H_{\frac {p-1}{2}}{\pmod {p}}.

Autores más recientes han demostrado que el número de elementos en tal representación se puede reducir de 1/2 a 1/4, 1/5 o incluso 1/6:

-3q_{p}(2)\equiv \sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {p}{4}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\ pmod {p}}.

[ocho]

4q_{p}(2)\equiv \sum _{k=\lpiso {\frac {p}{10}}\rpiso +1}^{\lpiso {\frac {2p}{10}}\ rpiso }{\frac {1}{k}}+\sum _{k=\lpiso {\frac {3p}{10}}\rpiso +1}^{\lpiso {\frac {4p}{10}} \rpiso }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.

[9]

2q_{p}(2)\equiv \sum _{k=\lpiso {\frac {p}{6}}\rpiso +1}^{\lpiso {\frac {p}{3}}\ rpiso }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.

[10] [11]

La complejidad de las comparaciones de Eisenstein aumenta a medida que crece la base de los parciales de Fermat, los primeros ejemplos son:

-3q_{p}(3)\equiv 2\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {p}{3}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{ \pmod{p}}.

[12]

-5q_{p}(5)\equiv 4\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {p}{5}}\rfloor }{\frac {1}{k}}+ 2\sum_{k=\lpiso {\frac {p}{5}}\rpiso +1}^{\lpiso {\frac {2p}{5}}\rpiso}{\frac {1}{k} }{\pmod{p}}.

[13]

Primos de Wieferich generalizados

Si q p ( a ) ≡ 0 (mod p ), entonces a p −1 ≡ 1 (mod p 2 ). Los primos para los que esto es cierto para a = 2 se llaman primos de Wieferich . En un caso más general, se denominan primos de Wieferich con base prima a. Soluciones conocidas q p ( a ) ≡ 0 (mod p ) para a pequeña : [2]

a	pags	secuencia OEIS
2	1093, 3511	A001220
3	11, 1006003	A014127
5	2, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801	A123692
7	5, 491531	A123693
once	71
13	2, 863, 1747591	A128667
17	2, 3, 46021, 48947, 478225523351	A128668
19	3, 7, 13, 43, 137, 63061489	A090968
23	13, 2481757, 13703077, 15546404183, 2549536629329	A128669

La solución más pequeña q p ( a ) ≡ 0 (mod p ) con a = n- ésimo primo

1093, 11, 2, 5, 71, 2, 2, 3, 13, 2, 7, 2, 2, 5, … secuencia A174422 en OEIS .

Un par ( p , r ) de números primos tales que q p ( r ) ≡ 0 ( mod p ) y q r ( p ) ≡ 0 ( mod r ) se denomina par de Wieferich .

Notas

↑ Weisstein, Eric W. Fermat Cociente en el sitio web de Wolfram MathWorld .
↑ Cociente de Fermat 1 2 en The Prime Glossary
↑ Paulo Ribenboim , 13 Lecciones sobre el último teorema de Fermat (1979), especialmente páginas 152, 159-161.
↑ Paulo Ribenboim , Mis números, mis amigos: conferencias populares sobre teoría de números (2000), p. 216.
↑ Gotthold Eisenstein , "Neue Gattung zahlentheoret. Funktionen, die v. 2 Elementen abhangen und durch gewisse lineare Funktional-Gleichungen definirt werden," Bericht über die zur Bekanntmachung geeigneten Verhandlungen der Königl. Prensa. Akademie der Wissenschaften zu Berlín 1850, 36-42
↑ Dmitry Mirimanoff , "Sur la congruencia ( r p − 1 − 1): p = qr(mod p )," Journal für die reine und angewandte Mathematik 115 (1895): 295-300
↑ Paul Bachmann , Niedere Zahlentheorie , 2 vols. (Leipzig, 1902), 1:159.
↑ James Whitbread Lee Glaisher , "Sobre los residuos de r p − 1 a módulo p 2 , p 3 , etc.", Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 32 (1901): 1-27.
↑ Ladislav Skula, "Una nota sobre algunas relaciones entre sumas especiales de recíprocos módulo p ", Mathematica Slovaca 58 (2008): 5-10.
↑ Emma Lehmer, "Sobre las congruencias relacionadas con los números de Bernoulli y los cocientes de Fermat y Wilson", Annals of Mathematics 39 (1938): 350–360, págs. 356ss.
↑ Karl Dilcher y Ladislav Skula, "Un nuevo criterio para el primer caso del último teorema de Fermat", Mathematics of Computation 64 (1995): 363-392.
↑ James Whitbread Lee Glaisher , "Un teorema de congruencia general relacionado con la función de Bernoullian", Actas de la London Mathematical Society 33 (1900-1901): 27-56, en las págs. 49-50.
↑ Mathias Lerch , "Zur Theorie des Fermatschen Quotienten...", Mathematische Annalen 60 (1905): 471-490.

Enlaces

Gottfried Helms. Cocientes de Fermat-/Euler ( a p -1 – 1)/ p k con k arbitraria .
Ricardo Fischer. Cocientes de Fermat B^(P-1) == 1 (mod P^2) .