Hexágono de limón

El hexágono de Lemoine [1] es un hexágono alrededor del cual se puede circunscribir un círculo. Sus vértices son los seis puntos de intersección de los lados de un triángulo con tres rectas paralelas a los lados y que pasan por su punto de Lemoine . En cualquier triángulo, el hexágono de Lemoine está dentro de un triángulo con tres pares de vértices que se encuentran en pares a cada lado del triángulo.

En geometría , el (primer) hexágono de Lemoine es un hexágono alrededor del cual se puede circunscribir un círculo. Sus vértices son los seis puntos de intersección de los lados de un triángulo con tres rectas paralelas a los lados y que pasan por su punto de Lemoine . En cualquier triángulo, el hexágono de Lemoine está dentro de un triángulo con tres pares de vértices que se encuentran en pares a cada lado del triángulo. Hay dos definiciones de un hexágono, que difieren según el orden en que se conectan los vértices.

Área y perímetro

El hexágono de Lemoine se puede definir de dos maneras, primero como un hexágono simple con vértices en los puntos de intersección, como se definió anteriormente. La segunda forma es un hexágono que se corta a sí mismo con líneas que pasan por el punto de Lemoine como tres aristas y otras tres aristas que conectan pares de vértices adyacentes. Para un hexágono autodesjunto simple construido dentro de un triángulo con longitudes de lado y área, el perímetro está dado por: $a B C$ $\Delta$

{\displaystyle p={\frac {a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc}{a^{2}+b^{2}+c^{2))))

y el área se da como:

S={\frac {a^{4}+b^{4}+c^{4}+a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c ^{2}a^{2}}{\izquierda(a^{2}+b^{2}+c^{2}\derecha)^{2}}}\Delta

Para un hexágono simple que se corta a sí mismo construido dentro de un triángulo, el perímetro se da como:

p={\frac {\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{a^{2}+b^{2}+c^{2} }}

y el área se da como:

S={\frac {a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}{\left(a^{2 }+b^{2}+c^{2}\right)^{2}}}\Delta

El círculo circunscrito del hexágono de Lemoine

En geometría, cinco puntos definen una cónica, de modo que conjuntos arbitrarios de seis puntos, en general, no se encuentran en una cónica, y mucho menos en un círculo. Sin embargo, el hexágono de Lemoine (ya sea con orden de conexión) es un hexágono inscrito, lo que significa que todos sus vértices se encuentran en el mismo círculo. El círculo del hexágono de Lemoine se conoce como el "primer círculo de Lemoine" .

El segundo hexágono de Lemoine

El segundo hexágono de Lemoine [2] es un hexágono alrededor del cual se puede circunscribir un círculo. Sus vértices son los seis puntos de intersección de los lados de un triángulo con tres rectas antiparalelas a los lados y que pasan por su punto de Lemoine.

Notas

↑ Zetel SI Nueva geometría triangular. Una guía para profesores. 2ª edición .. - M. : Uchpedgiz, 1962. - S. 109-110, p.95-96, teoremas, corolario.
↑ Zetel SI Nueva geometría triangular. Una guía para profesores. 2ª edición .. - M . : Uchpedgiz, 1962. - P. 111, p. 98, teorema.

Enlaces

Casey, John (1888), Círculos de Lemoine, Tucker y Taylor , una secuela de los primeros seis libros de los elementos de Euclides, que contiene una introducción sencilla a la geometría moderna con numerosos ejemplos (5.ª ed.), Dublín: Hodges, Figgis, & Co., pág. 179ff , < https://books.google.com/books?id=i87Ikm2u_6sC&pg=PA179 > .
Lemoine, E. (1874), Sur quelques propriétés d'un point remarquable d'un Triangle , Association francaise pour l'avancement des sciences, Congrès (002; 1873; Lyon) , p. 90–95 , < http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k201149r/f128.image > .
Mackay, JS (1895), Simmedianos de un triángulo y sus círculos concomitantes , Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo, volumen 14: 37–103 , DOI 10.1017/S0013091500031758 .

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. Lemoine Hexagon (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .