Punto limón

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punto limón
Un triángulo con tres medianas (cian), con tres bisectrices de ángulo (verde) y con tres simedias (rojas) . Las simedianas se intersecan en el punto L de Lemoine , las bisectrices de los ángulos se intersecan en el incentro I y las medianas se intersecan en el baricentro G.
coordenadas baricéntricas	${\ estilo de visualización a^{2}:b^{2}:c^{2))$
Coordenadas trilineales	${\ estilo de visualización a: b: c}$
código ECT	X(6)
puntos conectados
isogonalmente conjugado	centroide
conjugado isotómicamente	El tercer punto de Brokar

El punto Lemoine (el punto de intersección de las simedianas, el punto Grebe, denotado o ) es uno de los puntos notables del triángulo . $k$ $L$

Definición

El punto de Lemoine tiene tres definiciones equivalentes:

el punto de intersección de las rectas que unen cada vértice del triángulo con los puntos de intersección de las tangentes a la circunferencia circunscrita trazada a partir de los otros dos vértices.
punto de intersección de la simedia .
el punto de intersección de las líneas que unen los puntos medios de los lados de un triángulo con los puntos medios de las alturas correspondientes a ellos.

El enunciado de que las dos primeras definiciones son equivalentes se llama teorema de la simedia .

Prueba

Sea el punto de intersección de las tangentes en los vértices ya la circunferencia circunscrita, el punto medio del lado . Entonces, puesto que es la polar del punto con respecto a la circunferencia circunscrita, y es la base de la perpendicular al lado del centro de la circunferencia circunscrita. De la definición de polar se sigue que los puntos y son simétricos con respecto a la circunferencia . Sea el punto el punto medio del arco de la circunferencia circunscrita que no contiene al punto . Entonces , es decir, la recta y la mediana son simétricas con respecto a la bisectriz . Las otras dos líneas construidas de esta manera son igualmente simétricas a las medianas. Pero su punto de intersección es el punto de Lemoine, lo que significa que el punto de Lemoine es conjugado isogonalmente al punto de intersección de las medianas y es el punto de intersección de las simedianas. $A_{1}$ $B$ $C$ $SOY}$ $antes de Cristo$ $antes de Cristo$ $A_{1}$ $SOY}$ $antes de Cristo$ $A_{1}$ $SOY}$ $A_0$ $antes de Cristo$ $A$ $\ángulo A_{0}AA_{M}=\ángulo A_{0}AA_{1}$ $AA_{1}$ $AA_{M}$ $AA_{0}$

Hexágono de Lemoine inscrito en un triángulo de referencia dado

El hexágono de Lemoine es un hexágono alrededor del cual se puede circunscribir un círculo. Sus vértices son los seis puntos de intersección de los lados de un triángulo con tres rectas paralelas a los lados y que pasan por su punto de Lemoine . En cualquier triángulo, el hexágono de Lemoine está dentro de un triángulo con tres pares de vértices que se encuentran en pares a cada lado del triángulo.

Círculos de Lemoine

Lemoine demostró que si por un punto de Lemoine pasan líneas rectas paralelas a los lados de un triángulo, entonces los seis puntos de intersección de las líneas y los lados del triángulo se encuentran en el mismo círculo, o que se encuentran en el círculo. [1] . Este círculo ahora se conoce como el primer círculo o círculo de Lemoine , o simplemente círculo de Lemoine . [2] . En otras palabras, el hexágono de Lemoine , como se define arriba, está inscrito en el círculo de Lemoine .

Historia

La Punta Lemoine fue descubierta por primera vez ( 1809 ) por el geómetra y topólogo suizo Simon Antoine Jean Luillier . Este punto fue objeto de un estudio ( 1847 ) por Ernst Wilhelm Grebe (Grebe) , por quien en Alemania se le llamó el punto Grebe. El punto lleva el nombre del geómetra francés Émile Lemoine , quien publicó una prueba de la existencia del punto ( 1873 ). Ross Honsberger llamó a la existencia del punto de Lemoine "una de las joyas de la corona de la geometría moderna". [3]

Propiedades

La suma de las distancias al cuadrado desde un punto del plano hasta los lados de un triángulo es mínima cuando ese punto es un punto de Lemoine .
Las distancias desde el punto de Lemoine a los lados del triángulo son proporcionales a las longitudes de los lados.
El punto de Lemoine es el punto de intersección de las medianas del triángulo formado por las proyecciones del punto de Lemoine sobre los lados. Además, tal punto es único.
El punto de Lemoine es el punto de Gergonne del triángulo formado por las tangentes a la circunferencia circunscrita en los vértices del triángulo. Este triángulo se llama triángulo tangencial .
El punto de Lemoine es isogonalmente conjugado al punto de intersección de las medianas
El punto de Lemoine es isotómicamente conjugado con su punto de Brocard (el tercer punto, designado X(76) en la Enciclopedia de los Centros de los Triángulos).
El punto de Lemoine es la antiperspectiva del círculo circunscrito. Las polares trilineales de los puntos del círculo circunscrito pasan por el punto de Lemoine.

Un círculo construido sobre un segmento ( es el centro del círculo circunscrito) como sobre un diámetro contiene puntos de Brocard . Este círculo se llama círculo de Brocard . $OK$ $O$
La línea recta se llama eje de Brocard . Contiene los puntos de Apolonio y es conjugada isogonalmente a la hipérbola de Kiepert . $OK$
Los dos puntos de Torricelli y el punto de Lemoine se encuentran en la misma línea.
Los puntos de Apolonio se encuentran en la línea que une el centro del círculo circunscrito con el punto de Lemoine . Esta línea se llama eje de Brocard .
Bajo transformaciones proyectivas que preservan el circuncírculo del triángulo, el punto de Lemoine irá al punto de Lemoine de la imagen de este triángulo.
Una elipse con focos en los puntos de Brocard se llama elipse de Brocard . Su perspectiva es el punto de Lemoine [4] .

Dos círculos de Lemoine

Si dibujamos segmentos a través del punto de Lemoine paralelos a los lados del triángulo, con extremos en los lados, entonces los extremos de estos segmentos estarán en el mismo círculo (en el primer círculo de Lemoine ). El centro del primer círculo de Lemoine es el punto medio del segmento que conecta el centro del círculo circunscrito del triángulo al punto de Lemoine . [5]
Si dibujamos segmentos a través del punto de Lemoine que son antiparalelos a los lados del triángulo, con extremos en los lados, entonces los extremos de estos segmentos estarán en el mismo círculo (en el segundo círculo de Lemoine ). El punto Lemoine será su centro. [6]

Coordenadas

Las coordenadas trilineales del punto de Lemoine son , $(a B C)$
baricéntrico - . $(a^{2}:b^{2}:c^{2})$

Enlaces

punto limón

Notas

↑ Tribunal de Nathan Altshiller. Geometría universitaria (neopr.) . - 2. - Nueva York: Barnes and Noble, 1969. - ISBN 0-486-45805-9 .
↑ Lachlan, Robert. Un tratado elemental sobre geometría pura moderna . — Biblioteca de la Universidad de Cornell, 1893. - ISBN 978-1-4297-0050-4 .
↑ Honsberger, Ross (1995), Capítulo 7: The Symmedian Point, Episodios en la geometría euclidiana de los siglos XIX y XX , Washington, DC: Asociación Matemática de América .
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Propiedades geométricas de curvas de segundo orden. - 2ª ed., suplemento.. - 2011. - Pág. 50.
↑ Zetel S. I. Nueva geometría de un triángulo. 2ª ed. M .: Uchpedgiz, 1962. S. 108-110, p.94-96, infierno. 80-81
↑ Zetel S. I. Nueva geometría de un triángulo. 2ª ed. M.: Uchpedgiz, 1962. S. 111, p.98