Experimento shihallion

El experimento de Schiehallion fue un experimento para determinar la densidad media de la Tierra , realizado en el verano de 1774 en la zona del monte escocés Schiehallion en Perthshire con el apoyo económico de una subvención de la Royal Society of London . El experimento consistió en medir pequeñas desviaciones de la vertical de la suspensión del péndulo debido a la atracción gravitacional de una montaña cercana. Schichallion se consideró el lugar ideal después de buscar montañas candidatas debido a su aislamiento y forma casi simétrica.

Isaac Newton había considerado previamente el escenario del experimento como una demostración práctica de su teoría de la gravedad , pero expresó dudas sobre si la precisión de las mediciones era suficiente. Un grupo de científicos, en particular el astrónomo real Nevil Maskelyne , estaban convencidos de que el efecto podía detectarse, y Maskelyne se dispuso a realizar el experimento. El ángulo de desviación dependía de las densidades y volúmenes relativos de la Tierra y la montaña: si era posible determinar la densidad y el volumen de Shihallion, entonces era posible determinar la densidad de la Tierra. Este valor también da valores aproximados para las densidades de otros planetas, sus satélites y el Sol , que antes solo se conocían en términos de sus proporciones.

Antecedentes

En un campo gravitatorio centralmente simétrico , la plomada del péndulo se ubica verticalmente, es decir, hacia el centro de la Tierra (en los polos) [1] . Sin embargo, si hay un objeto de una masa lo suficientemente grande cerca, que sobresale por encima de una superficie esférica, como una montaña (o un área subterránea con mayor densidad - una anomalía gravitatoria ), su atracción gravitatoria debería desviar ligeramente la plomada del péndulo de su posición verdadera. El cambio en el ángulo de la plomada en relación con la posición de un objeto conocido, como una estrella, podría medirse cuidadosamente en lados opuestos de la montaña. Si la masa de una montaña pudiera determinarse independientemente de determinar su volumen y estimar la densidad media de sus rocas, entonces estos valores podrían extrapolarse para obtener la densidad media de la Tierra y, en consecuencia, su masa [2] [3 ] .

Isaac Newton consideró esta desviación del péndulo en Principia [4] , pero creía con pesimismo [5] que cualquier montaña real crearía una desviación medible muy pequeña. Escribió que los efectos gravitacionales solo se notan a escala planetaria [6] . El pesimismo de Newton era infundado: aunque sus cálculos sugerían una desviación de menos de 20 segundos de arco (para una montaña idealizada de 5 km), este ángulo, aunque muy pequeño, estaba dentro de las capacidades teóricas de los instrumentos de la época [7] .

Un experimento para poner a prueba la idea de Newton confirmaría su ley de la gravitación universal , y también permitiría estimar la masa y la densidad de la Tierra. Dado que las masas de los objetos astronómicos solo se conocían en términos de magnitudes relativas, el conocimiento de la masa de la Tierra daría una estimación razonable de los valores de masa de otros planetas , sus lunas y el Sol. Los datos también permitieron determinar el valor de la constante gravitatoria de Newton G , aunque este no era el objetivo de los experimentadores, ya que las referencias al valor de G aparecerían en la literatura científica solo después de casi cien años [8] .

Elección de montaña

Chimborazo, 1738

En 1738, los astrónomos franceses Pierre Bouguerre y Charles Marie de la Condamine fueron los primeros en intentar un experimento utilizando el volcán Chimborazo de 6.268 metros (20.564 pies ) ubicado en la audiencia de Quito del Virreinato del Perú (en lo que ahora es la provincia de Chimborazo en la República del Ecuador ). ) [9] . Su expedición viajó desde Francia a América del Sur en 1735 para medir la longitud de un arco meridiano de un grado de latitud cerca del ecuador , pero aprovecharon la oportunidad para intentar un experimento con la desviación de la suspensión pendular. En diciembre de 1738, en condiciones de terreno y clima muy difíciles, realizaron un par de mediciones a 4680 y 4340 m Bouguer escribió en un artículo de 1749 que pudieron detectar una desviación de 8 segundos de arco , pero restó importancia a sus resultados, lo que sugiere que el experimento se realiza mejor en condiciones más ligeras en Francia o Inglaterra [7] [10] . Agregó que el experimento al menos probó que la Tierra no podía ser una cáscara hueca , como sugirieron algunos pensadores de la época, incluido Edmond Halley [9] [11] .

Shihallion, 1774

Entre 1763 y 1767, durante las expediciones topográficas para investigar la línea Mason-Dixon entre Pensilvania y Maryland, los astrónomos británicos descubrieron muchos más errores sistemáticos y no aleatorios en sus mediciones de lo que cabría esperar, lo que aumentó el tiempo de trabajo [12] . Cuando esta información llegó a los miembros de la Royal Society, Henry Cavendish se dio cuenta de que este fenómeno podría deberse a la atracción gravitatoria de las cercanas montañas Allegheny , que probablemente desviaron las líneas puras de los teodolitos y el líquido dentro de los niveles de burbuja [13] .

Inspirado por esta noticia, el astrónomo Royal Nevil Maskelyne propuso a la Royal Society que repitieran el experimento para determinar la masa de la Tierra en 1772 [14] . Sugirió que el experimento "honraría a la nación que lo llevó a cabo" [7] y sugirió Mt Warnside en Yorkshire , o Mt Blenkata en Skiddaw Massif en Cumberland como objetivos adecuados. La Royal Society formó el Comité de Atracción para considerar el asunto, nombrando a Maskelyne, Joseph Banks y Benjamin Franklin como miembros . [15] El comité envió al astrónomo y topógrafo Charles Mason para encontrar una montaña adecuada [4] .

Después de una larga búsqueda en el verano de 1773, Mason informó que el mejor candidato era Schehallion (entonces llamado Schehallien ), un pico que se encuentra entre Loch ea y Loch Rannoch en el centro de las Tierras Altas del Norte de Escocia [15] . La montaña estaba aislada de las colinas cercanas, lo que reducía su influencia gravitacional, y sus crestas simétricas al este y al oeste simplificaban los cálculos. Sus fuertes pendientes norte y sur permitirían llevar a cabo el experimento cerca de su centro de masa , maximizando el efecto de deflexión. Coincidentemente, la cumbre se encuentra casi exactamente en el centro de Escocia en latitud y longitud [16] .

Mason se negó a hacer el trabajo él mismo por la comisión ofrecida de una guinea al día, [15] [17] por lo que la tarea recayó en Maskelyne, por lo que se le concedió una licencia temporal de su puesto como Astrónomo Real. Fue asistido en esta tarea por el matemático y topógrafo Charles Hutton y el matemático del Observatorio Real de Greenwich Reuben Burrow . Se trajo mano de obra para construir observatorios para astrónomos y ayudar en la topografía. El grupo científico estaba especialmente bien equipado: sus instrumentos astronómicos incluían un cuadrante de latón de la expedición de Cook para el tránsito de Venus a través del disco del Sol (1769) , así como un telescopio antiaéreo y un regulador ( reloj de péndulo preciso ) para medir el tiempo astronómico. observaciones [18] . También compraron un teodolito y una cadena de Gunther para inspeccionar la montaña y un par de barómetros para medir la altitud [18] . Se dispuso de una generosa financiación para el experimento debido a los gastos insuficientes en una expedición para observar el tránsito de Venus a través del disco del Sol , que fue confiada a la Sociedad por el rey Jorge III [4] [7] [19] .

Medidas

Astronómico

Se construyeron observatorios al norte y al sur de la montaña, así como una sala para albergar equipos y científicos. Las ruinas de estos edificios quedaron en la ladera de la montaña. La mayor parte de la mano de obra se alojaba en tiendas de campaña de lona tosca. Las mediciones astronómicas de Maskelyne fueron las primeras que se realizaron. Necesitaba determinar las distancias cenitales a lo largo de la plomada de un conjunto de estrellas en el momento exacto en que cada una de ellas pasaba en dirección sur ( latitud astronómica ) [7] [20] . Las condiciones climáticas a menudo eran desfavorables debido a la niebla y la lluvia. Sin embargo, desde el observatorio del sur logró hacer 76 mediciones de 34 estrellas en una dirección, y luego 93 observaciones de 39 estrellas en la otra. En el lado norte, hizo una serie de 68 observaciones de 32 estrellas y una serie de 100 observaciones de 37 estrellas [10] . Habiendo realizado una serie de mediciones con el plano del sector cenital ( cenit-telescopio ), mirando primero al este y luego al oeste, evitó con éxito cualquier error sistemático derivado de la colimación del sector [4] .

Para determinar la desviación de la plomada debido a la presencia de la montaña, había que tener en cuenta la curvatura de la Tierra : un observador que se desplazara hacia el norte o hacia el sur vería el desplazamiento del cenit local en el mismo ángulo que cualquier cambio en latitud geodésica . Después de tener en cuenta los efectos observados como la precesión , la aberración de la luz y la nutación , Maskelyne demostró que la diferencia entre el cenit determinado localmente para los observadores al norte y al sur de Schiehallion es de 54,6". Después de que el equipo geodésico proporcionó una diferencia de 42,94" de latitud entre dos estaciones , pudo restar estos valores y, después de redondear a la precisión de sus observaciones, declaró que la suma de las desviaciones norte y sur es 11.6″ [7] [10] [21] [22] .

Maskelyne publicó sus resultados iniciales en Philosophical Transactions of the Royal Society en 1775 [21] utilizando datos preliminares sobre la forma de la montaña y, por lo tanto, sobre la posición de su centro de gravedad . Esto dio una estimación de la desviación esperada de 20,9″ si las densidades promedio de Schickhallion y la Tierra fueran iguales [7] [23] . Debido a que la desviación era aproximadamente la mitad, pudo hacer una afirmación provisional de que la densidad promedio de la Tierra era aproximadamente el doble que la de Schickhallion. Para obtener un valor más preciso, fue necesario esperar a la finalización del levantamiento geodésico [21] .

Maskelyne aprovechó la oportunidad para señalar que Shihallion exhibía atracción gravitacional como todas las montañas, y que la ley del inverso del cuadrado de la gravitación universal de Newton había sido confirmada [21] . La agradecida Royal Society otorgó a Maskelyne la Medalla Copley de 1775 ; el biógrafo Chalmers comentó más tarde que "si había alguna duda sobre la validez del sistema newtoniano, ahora está completamente eliminada" [24] .

Geodésico

El trabajo del grupo geodésico se vio muy obstaculizado por las inclemencias del tiempo, y la tarea tomó tiempo hasta 1776 [23] [K 1] para completar la tarea . Para encontrar el volumen de una montaña, era necesario dividirla en un conjunto de prismas verticales y calcular el volumen de cada uno. La tarea de triangulación que recayó en el lote de Charles Hutton fue seria: los topógrafos obtuvieron miles de orientaciones en más de mil puntos alrededor de la montaña [26] . Además, la parte superior de sus prismas no siempre coincidía convenientemente con las alturas medidas. Para dar sentido a todos sus datos, se le ocurrió la idea de interpolar una serie de líneas a intervalos dados entre sus valores medidos, marcando puntos de la misma altura. Al mismo tiempo, no solo podía determinar fácilmente la altura de sus prismas, sino que también a partir de la curvatura de las líneas se podía obtener una idea instantánea de la forma del terreno. Por lo tanto, Hutton utilizó líneas de contorno , que se han vuelto ampliamente utilizadas desde entonces para la representación del relieve cartográfico [10] [26] .

Tabla de densidad del sistema solar de Hutton

Cuerpo	Densidad, kg·m −3
Cuerpo	Hutton, 1778 [27] [K 2]	Significado moderno [28]
Sol	1100	1408
Mercurio	9200	5427
Venus	5800	5204
Tierra	4500	5515
Luna	3100	3340
Marte	3300	3934
Júpiter	1100	1326
Saturno	410	687

Hutton tuvo que calcular individualmente la atracción de cada uno de los muchos prismas que forman una cuadrícula completa, un proceso que fue tan laborioso como el propio estudio. Esta tarea le llevó otros dos años antes de poder presentar sus resultados en un artículo de cien páginas para la Royal Society en 1778 [27] . Encontró que la atracción de una plomada a la Tierra sería 9933 veces mayor que la suma de su atracción a la montaña en los observatorios del norte y del sur, si las densidades de la Tierra y Shihallion fueran las mismas [26] . Dado que la desviación real de 11,6″ implicaba una relación de 17.804:1 después de tener en cuenta el efecto de la latitud sobre la gravedad , pudo afirmar que la Tierra tiene una densidad media de , o aproximadamente la densidad de una montaña [23] [ 26] [27] . Por lo tanto, el largo proceso de topografía de la montaña no afectó mucho los resultados de los cálculos de Maskelyne. Hutton tomó la densidad de la montaña como 2.500 kg m −3 y declaró que la densidad de la Tierra es igual a 4.500 kg m −3 [26] . En comparación con la cifra actualmente aceptada de 5,515 kg m −3 [28] , la densidad de la Tierra se calcula con un error de menos del 20 %. ${\tfrac{17,804}{9,933}}$ ${\tfrac {9}{5}}$ ${\tfrac {9}{5}}$

Que la densidad media de la tierra deba exceder tanto a la de sus rocas superficiales significaba naturalmente que el material más denso debía estar más profundo. Hutton sugirió correctamente que el material del núcleo era probablemente metálico y podría tener una densidad de 10 000 kg m −3 [26] . Según él, esta parte metálica ocupa alrededor del 65% del diámetro de la Tierra [27] . Conociendo el valor de la densidad media de la Tierra, Hutton pudo establecer unos valores para las tablas planetarias de Jerome Lalande , que anteriormente solo podían expresar la densidad de los principales objetos del sistema solar en unidades relativas [27] .

Experimentos posteriores

Se realizó una medición más precisa de la densidad media de la Tierra 24 años después del experimento Shihallion, cuando en 1798 Henry Cavendish utilizó una balanza de torsión excepcionalmente sensible para medir la atracción entre grandes bolas de plomo . El valor de Cavendish de 5,448 ± 33 kg m −3 difería solo en un 1,2 % del valor actualmente aceptado de 5,515 kg m −3 ; su resultado no mejoró mucho hasta las mediciones de Charles Boyce en 1895 [K 3] . El cuidado con el que Cavendish llevó a cabo el experimento y la precisión de sus resultados llevaron a que desde entonces fuera su nombre el que se asociara con la primera medida de la densidad de la Tierra [30] .

John Playfair realizó un segundo estudio de Schickhallion en 1811; sobre la base de repensar la distribución de las capas de roca, propuso una densidad de 4560 a 4,870 kg m -3 [31] . El anciano Hutton defendió enérgicamente el valor original en un artículo de 1821 [7] [32] , pero los cálculos de Playfair acercaron la densidad a su valor moderno, aunque todavía demasiado bajo y significativamente peor que los demostrados por Cavendish unos años antes [31] .

El experimento de Schiehallion fue repetido en 1856 por Henry James , Director General de Land Survey , quien usó Arthur's Seat Hill en el centro de Edimburgo en lugar de una montaña [33] . Con los recursos del Servicio de Artillería a su disposición, James amplió su levantamiento topográfico a un radio de 21 kilómetros, llevándolo a los límites de Midlothian . Obtuvo una densidad de unos 5.300 kg m −3 [7] [23] .

En el experimento de 2005, se intentó mejorar el trabajo de 1774: en lugar de calcular las diferencias locales en el cenit, el experimento hizo una comparación muy precisa del período del péndulo en la parte superior e inferior del Schickhallion. El período de un péndulo depende de g , la aceleración local debida a la gravedad . Se esperaba que el péndulo se moviera más lentamente en altitud, pero la masa de la montaña disminuiría esta diferencia. Este experimento tiene la ventaja de que es mucho más fácil de realizar que el experimento de 1774, pero para lograr la precisión deseada es necesario medir el período del péndulo con una precisión de una millonésima [20] . Este experimento dio el valor de la masa de la Tierra como 8.1 ± 2.4 × 10 24 kg [34] , lo que corresponde a una densidad promedio de 7.500 ± 1.900 kg m −3 [K 4] .

La nueva verificación moderna de los datos geofísicos ha hecho posible tener en cuenta factores que no estaban disponibles para el grupo de 1774. Gracias a un modelo de elevación digital con un radio de 120 km, una importante ampliación del conocimiento sobre la geología de Shihallion y cálculos informáticos, en el trabajo de 2007 se obtuvo la densidad media de la Tierra 5.480 ± 250 kg m -3 [35 ] . Esto está cerca del valor moderno de 5,515 kg m −3 , lo que indica la precisión de las observaciones astronómicas de Maskelyne [35] .

Procedimiento matemático

El diagrama de fuerza , que se muestra a la derecha, representa la desviación del péndulo, no a escala. El análisis matemático moderno se simplifica al considerar la atracción desde un solo lado de la montaña [31] . Una plomada de masa m está situada a una distancia d de P , el centro de masa de una montaña de masa M M y densidad ρ M . Se desvía un pequeño ángulo θ debido a su atracción F hacia P y su peso W hacia la Tierra. La suma vectorial de W y F crea una tensión T en la cuerda del péndulo. La Tierra tiene masa M E , radio r E y densidad ρ E [31] .

Las dos fuerzas gravitatorias que actúan sobre una plomada están dadas por la ley de gravitación universal de Newton :

F={\frac {GmM_{M}}{d^{2}}},\quad W={\frac {GmM_{E}}{r_{E}^{2}}}\,,

donde G es la constante gravitacional de Newton . G y m se pueden eliminar tomando la relación de F a W :

{\frac {F}{W}}={\frac {GmM_{M}/d^{2}}{GmM_{E}/r_{E}^{2}}}={\frac { M_{M}}{M_{E}}}\left({\frac {r_{E}}{d}}\right)^{2}={\frac {\rho_{M}}{\rho _{E))}{\frac {V_{M}}{V_{E}}}\left({\frac {r_{E}}{d}}\right)^{2}\,,

donde V M y V E son los volúmenes de la montaña y la Tierra. En equilibrio estático, las componentes horizontal y vertical de la tensión de la cuerda T se pueden relacionar con las fuerzas gravitatorias y el ángulo de deflexión θ :

W=T\cos \theta ,\quad F=T\sin \theta \,.

Sustituyendo T :

\tan \theta ={\frac {F}{W}}={\frac {\rho _{M}}{\rho _{E}}}{\frac {V_{M}}{V_ {E}}}\left({\frac {r_{E}}{d}}\right)^{2}\,.

Como se conocen V E , V M y r E , se mide θ y se calcula d , entonces el valor de la relación ρ E : ρ M puede obtenerse como [31] :

{\frac {\rho _{E}}{\rho _{M}}}={\frac {V_{M}}{V_{E}}}\left({\frac {r_{E }}{d}}\right)^{2}{\frac {1}{\tan \theta }}\,.

Comentarios

↑ Durante una fiesta de clausura de borrachos, el observatorio del norte se quemó accidentalmente hasta los cimientos, llevándose consigo un violín que pertenecía a Duncan Robertson, un miembro junior del equipo de investigación. En agradecimiento por la diversión que la interpretación de Robertson proporcionó a Maskelyne durante cuatro meses de observaciones astronómicas, lo compensó reemplazando el violín perdido con lo que ahora se llama The Yellow London Lady [25] .
↑ Los valores de Hutton se expresan como fracciones comunes, múltiplos de la densidad del agua, como para Marte . Aquí se expresan como un número entero de dos dígitos significativos multiplicado por la densidad del agua 1000 kg m −3 [27] . ${\tfrac{10}{3))$
↑ El valor 5.480 kg m −3 aparece en el artículo de Cavendish. Sin embargo, cometió un error aritmético: sus medidas en realidad dieron como resultado un valor de 5,448 kg m −3 ; una discrepancia que fue descubierta en 1821 por Francis Bailey [29] .
↑ Tomando el volumen de la Tierra como 1.0832 × 10 12 km 3 [20] .

Notas

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Literatura

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