Filtro elíptico

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El filtro elíptico ( filtro Cauer , o filtro Zolotarev , o filtro Zolotarev-Cauer ) es un filtro electrónico , cuyo rasgo característico es la ondulación de la característica de amplitud-frecuencia tanto en la banda de paso como en la banda de supresión . La magnitud de las pulsaciones en cada una de las bandas es independiente entre sí. Otra característica distintiva de un filtro de este tipo es una caída muy pronunciada de la característica de amplitud, por lo que con este filtro puede lograr una separación de frecuencia más efectiva que con otros filtros lineales.

Si las ondas en la banda de supresión son iguales a cero, entonces el filtro elíptico se convierte en un filtro Chebyshev del primer tipo . Si la ondulación es cero en la banda de paso, entonces el filtro se convierte en un filtro Chebyshev del segundo tipo. Si no hay ondulaciones en toda la característica de amplitud, entonces el filtro se convierte en un filtro Butterworth .

La respuesta en frecuencia de un filtro elíptico de paso bajo es función de la frecuencia circular ω y viene dada por:

G_{n}(\omega )={1 \over {\sqrt {1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(\xi ,\omega /\omega _{0))))) }

donde R n es una función elíptica racional de orden n y

\omega_0

- frecuencia de corte

\epsilon

— factor de ondulación _

\xi

- factor de selectividad _

El valor del índice de ondulación determina la ondulación en la banda de paso, mientras que la ondulación en la banda de rechazo depende tanto del índice de ondulación como del índice de selectividad.

Propiedades

En la banda de paso, la función elíptica cambia los valores de cero a uno. La respuesta de frecuencia en la banda de paso, por lo tanto, varía de la unidad a . $1/{\sqrt {1+\epsilon^{2}}}$

En la banda de supresión, la función elíptica cambia valores de infinito al valor , que se define como: $L_{n}$

L_{n}=R_{n}(\xi,\xi)

La respuesta de frecuencia en la banda de supresión cambia así los valores de cero a .

1/{\sqrt {1+\epsilon^{2}L_{n}^{2}}}

El caso límite convierte la función elíptica en un polinomio de Chebyshev y, por lo tanto, el filtro elíptico se convierte en un filtro de Chebyshev del primer tipo con exponente de ondulación ε. $\xi \rightarrow \infty$
Dado que el filtro Butterworth es un caso límite del filtro Chebyshev, entonces, bajo las condiciones , el filtro elíptico se convierte en un filtro Butterworth. $\xi \rightarrow \infty$ $\omega _{0}\rightarrow 0$ $\epsilon \rightarrow 0$ $\epsilon \,R_{n}(\xi,1/\omega _{0})=1$
El caso límite , y así convierte el filtro elíptico en un filtro Chebyshev del segundo tipo con respuesta de frecuencia $\xi \rightarrow \infty$ $\epsilon \rightarrow 0$ $\omega _{0}\rightarrow 0$ $\xi \omega _{0}=1$ $\epsilon L_{n}=\alfa$

G(\omega )={\frac {1}{{\sqrt {1+{\frac {1}{\alpha ^{2}T_{n}^{2}(1/\omega ))))) }}.

Polos y ceros

Los ceros del módulo de respuesta en frecuencia coinciden con los polos de la función elíptica fraccionaria-racional.

Los polos de un filtro elíptico se pueden definir de la misma forma que los polos de un filtro Chebyshev del primer tipo. Para simplificar, tomaremos la frecuencia de corte igual a la unidad. Los polos del filtro elíptico serán los ceros del denominador de la característica de amplitud. Usando la frecuencia compleja obtenemos: $(\omega_{pm})$ $s=\sigma +j\omega,$

1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(-js,\xi )=0

Sea , donde cd es la función coseno elíptica de Jacobi . Entonces, usando la definición de una función racional fraccionaria elíptica, obtenemos: $-js={\mathrm {cd}}(w,1/\xi )$

1+\epsilon ^{2}\mathrm {cd} ^{2}\left({\frac {nwK_{n)){K)),{\frac {1}{L_{n))} \derecho)=0

donde y . Resolviendo w $K=K(1/\xi)$ $K_{n}=K(1/L_{n})$

w={\frac {K}{nK_{n}}}{\mathrm {cd}}^{{-1}}\left({\frac {\pm j}{\epsilon }}),{\frac { 1}{L_{n}}}\derecha)+{\frac{mK}{n}},

donde los valores de la función cd inversa se hacen explícitos usando un índice entero m .

Los polos de la función elíptica en este caso:

s_{pm}=i\,\mathrm {cd} (w,1/\xi ).

Como en el caso de los polinomios de Chebyshev, esto se puede expresar en forma compleja explícita [1]

s_{{pm}}={\frac{a+jb}{c}},

a=-\zeta _{n}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2))}{\sqrt {1-x_{m}^{2))}{\sqrt {1-x_ {m}^{2}/\xi^{2}}},

b=x_{m}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2}(1-1/\xi ^{2})}}),

c=1-\zeta _{n}^{2}+x_{i}^{2}\zeta _{n}^{2}/\xi ^{2},

donde es una función de y y son los ceros de la función elíptica. La función se define para todo n en el sentido de la función elíptica de Jacobi. Para los pedidos 1 y 2 tenemos $\zeta _{n}$ $n,\,\épsilon$ $\xi$ $x_{m}$ $\zeta _{n}$

\zeta _{1}={\frac{1}{{\sqrt {1+\epsilon^{2))))},

\zeta _{2}={\frac {2}{(1+t){\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}+{\sqrt {(1-t)^{2}+\epsilon ^{2}(1+t)^{2}}}}}},

dónde

t={\frac {1}{{\sqrt {1-1/\xi ^{2))))}.

Las propiedades recursivas de las funciones elípticas se pueden utilizar para construir expresiones de orden superior para : $\zeta _{n}$

\zeta _{{m\cdot n}}(\xi ,\epsilon )=\zeta _{m}\left(\xi ,{\sqrt ({\frac {1}{\zeta _{n}^{ 2}(L_{m},\epsilon)}}-1}}\derecha),

dónde $L_{m}=R_{m}(\xi,\xi).$

Filtros elípticos con factor Q mínimo

Ver [2] Los filtros elípticos generalmente se definen especificando una cierta cantidad de ondulación en la banda de paso, la banda de rechazo y la pendiente de la respuesta de amplitud. Estas características son decisivas para establecer el pedido mínimo del filtro. Otro enfoque para diseñar un filtro elíptico es determinar la sensibilidad de la respuesta de amplitud de un filtro analógico a los valores de sus componentes electrónicos. Esta sensibilidad es inversamente proporcional al exponente especial ( factor Q ) de los polos de la función de transferencia del filtro . El factor de calidad de un poste se define como:

Q=-{\frac {|s_{{pm}}|}{2{\mathrm {Re}}(s_{{pm}})}}=-{\frac {1}{2\cos(\arg (s_{{pm}})))}}

y es una medida de la influencia de un polo dado en la característica de amplitud general. Para un filtro elíptico de un orden dado, existe una relación entre el índice de ondulación y el factor de selectividad, que minimiza el factor de calidad de todos los polos de la función de transferencia:

\epsilon _{{Qmin}}={\frac {1}{{\sqrt {L_{n}(\xi )))}}

Esto conduce a la existencia de un filtro que es menos sensible a los cambios en los parámetros de los componentes del filtro; sin embargo, con este método de diseño, se pierde la capacidad de asignar independientemente la cantidad de ondulación en la banda de paso y la banda de supresión. Para tales filtros, a medida que aumenta el orden, disminuye la ondulación tanto en la banda de exclusión como en la banda de paso, y aumenta la pendiente de la característica alrededor de la frecuencia de corte. Al calcular un filtro con un factor de calidad mínimo, se debe tener en cuenta que el orden de dicho filtro será mayor que con el método de cálculo habitual. El gráfico del módulo de características de amplitud se verá casi igual que antes, sin embargo, los polos no estarán ubicados en una elipse, sino en un círculo, y a diferencia del filtro Butterworth , cuyos polos también están dispuestos en un círculo, el la distancia entre ellos no será la misma, pero en el eje imaginario se colocarán ceros.

Comparación con otros filtros lineales

A continuación se muestran gráficos de las características de amplitud-frecuencia de algunos de los filtros electrónicos lineales más comunes con el mismo número de coeficientes:

Como puede ver en el gráfico, el filtro elíptico tiene la pendiente más alta, pero también tiene una ondulación significativa tanto en la banda de paso como en la banda de parada.

Véase también

Bibliografía

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Notas

↑ Miroslav D. Lutovac. § 12.11, § 13.14 // Diseño de filtros para procesamiento de señales usando MATLAB© y Mathematica©.