Funciones elípticas de Jacobi

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Las funciones elípticas de Jacobi son un conjunto de funciones elípticas básicas de una variable compleja y funciones theta auxiliares que están directamente relacionadas con algunos problemas aplicados (por ejemplo, la ecuación del péndulo ). También tienen analogías útiles con funciones trigonométricas , como lo muestra la notación correspondiente para . No proporcionan la forma más fácil de desarrollar una teoría general, como se señaló recientemente: esto se puede hacer con base en las funciones elípticas de Weierstrass . Las funciones elípticas de Jacobi tienen dos polos simples y dos ceros simples en el paralelogramo principal. $\operatorname{\mathrm{sn))$ $\pecado$

Introducción

Hay una función elíptica que tiene un polo de segundo orden y dos ceros simples en el paralelogramo principal; esta es la "función elíptica de Weierstrass". Más útiles, sin embargo, son las "funciones elípticas de Jacobi", que tienen dos polos simples y dos ceros simples en cada paralelogramo principal. Cada una de estas funciones en el paralelogramo principal toma cualquier valor exactamente dos veces.

Designación

Para funciones elípticas, uno puede encontrar varias notaciones que pueden confundir la esencia del asunto. Las funciones elípticas son funciones de dos variables. La primera variable se puede dar en términos de amplitud o, por lo general, en términos de lo que se indica a continuación. La segunda variable podría darse en términos de un parámetro , ya sea como un módulo elíptico , donde , o en términos de un ángulo modular , donde . $\varphi$ $tu$ $metro$ $k$ $k^{2}=m$ ${\mbox{æ}}$ $m=\sin ^{2}{\mbox{æ))$

Definición como inversas de integrales elípticas

La definición anterior en términos de funciones meromórficas es abstracta. Existe una definición más simple pero absolutamente equivalente que define las funciones elípticas como inversas de una integral elíptica incompleta de primera especie. Dejar

u=\int \limits _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}.

La función elíptica se da como ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {sn} u}$

{\ estilo de visualización \ nombre del operador {sn} u = \ pecado \ varphi}

y decidido ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {cn} u}$

{\ estilo de visualización \ nombre del operador {cn} u = \ cos \ varphi,}

\operatorname {dn} u={\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi )).

Aquí el ángulo se llama amplitud . llamada amplitud delta . El valor es un parámetro libre que se supone real en el rango y, por lo tanto, las funciones elípticas son funciones de dos argumentos: amplitud y parámetro . $\varphi$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {dn} u = \ Delta (u)}$ $metro$ $0\leqslant m\leqslant 1$ $\varphi$ $metro$

Las nueve funciones elípticas restantes son fáciles de construir a partir de las tres anteriores. Esto se hará a continuación.

Tenga en cuenta que cuando , entonces es igual a un cuarto del período . ${\ estilo de visualización \ varphi = \ pi /2}$ $tu$ $k$

Definición en términos de funciones theta

De manera equivalente, las funciones elípticas de Jacobi se pueden definir en términos de funciones θ . Si definimos como , y respectivamente como ( constantes theta ) entonces el módulo elíptico es . Suponiendo que obtenemos ${\ estilo de visualización \ vartheta (0; \; \ tau)}$ $\vartheta$ $\vartheta _{01}(0;\;\tau ),\vartheta _{10}(0;\;\tau ),\;\vartheta _{11}(0;\;\tau )$ $\vartheta _{01},\;\vartheta _{10},\;\vartheta _{11}$ $k$ $k=\left({\frac {\vartheta _{10}}{\vartheta }}\right)^{2}$ $u=\pi\vartheta ^{2}z$

\operatorname {sn} (u;\;k)=-{\frac {\vartheta \vartheta _{11}(z;\;\tau )}{\vartheta _{10}\vartheta _{01 }(z;\;\tau)}},

\operatorname {cn} (u;\;k)={\frac {\vartheta _{01}\vartheta _{10}(z;\;\tau )}{\vartheta _{10}\vartheta _ {01}(z;\;\tau)}},

\operatorname {dn} (u;\;k)={\frac {\vartheta _{01}\vartheta (z;\;\tau)}{\vartheta \vartheta _{01}(z;\ ;\tau)}}.

Dado que las funciones de Jacobi se definen en términos del módulo elíptico , es necesario encontrar sus inversas y expresarlas en términos de . Comencemos con un módulo adicional . Cómo escribir una función $k(\tau)$ $\tau$ $k$ $k'={\raíz cuadrada {1-k^{2}}}$ $\tau$

k'(\tau )=\left({\frac {\vartheta _{01}}{\vartheta }}\right)^{2}.

Introduzcamos la notación

\ell ={\frac {1}{2}}{\frac {1-{\sqrt {k'}}}{1+{\sqrt {k'}}}}={\frac {1 {2}}{\frac {\vartheta -\vartheta _{01}}{\vartheta +\vartheta _{01}}}.

También definimos el nombre como y lo expandimos en una serie en potencias del nombre . Obtener $q$ $q=\exp(\pi i\tau)$ $\ana$ $q$

\ell ={\frac {q+q^{9}+q^{25}+\ldots}{1+2q^{4}+2q^{16}+\ldots)).

Invertir la serie da

q=\ell +2\ell ^{5}+15\ell ^{9}+150\ell ^{13}+1707\ell ^{17}+20910\ell ^{21}+268616\ ell ^{25}+\ldots

Como podemos considerar el caso especial donde la parte imaginaria es mayor o igual que , podemos decir que el valor es menor o igual que . Para valores tan pequeños, la serie anterior converge muy rápidamente y esto facilita encontrar un valor adecuado para . $\tau$ ${\ sqrt {3}}/2$ $q$ $\exp(-\pi {\sqrt {3}}/2)$ $q$

Otras características

Al cambiar el orden de dos letras en el nombre de las funciones, generalmente denotan el inverso de las tres funciones anteriores:

{\ estilo de visualización \ nombre del operador {ns} (u) = 1/\ nombre del operador {sn} (u),}

{\ estilo de visualización \ nombre del operador {nc} (u) = 1/\ nombre del operador {cn} (u),}

\nombre del operador {nd} (u)=1/\nombre del operador {dn} (u).

Las proporciones de las tres funciones principales se denotan con la primera letra del numerador que sigue a la primera letra del denominador:

{\ estilo de visualización \ nombre del operador {sc} (u) = \ nombre del operador {sn} (u)/\ nombre del operador {cn (u)},}

\operatorname {sd} (u)=\operatorname {sn} (u)/\operatorname {dn(u)} ,

\operatorname {dc} (u)=\operatorname {dn} (u)/\operatorname {cn(u)} ,

\operatorname {ds} (u)=\operatorname {dn} (u)/\operatorname {sn(u)} ,

{\ estilo de visualización \ nombre del operador {cs} (u) = \ nombre del operador {cn} (u)/\ nombre del operador {sn (u)},}

\operatorname {cd} (u)=\operatorname {cn} (u)/\operatorname {dn(u)} .

Escribamos más brevemente

\operatorname {pq} (u)={\frac {\operatorname {pr} (u)}{\operatorname {qr(u)} )),

donde todas las letras , y son letras , , , (recuerda que ). ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {p}}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {q}}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {r}}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {s}}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {c}}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {d}}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {n}}$ $\operatorname {ss} =\operatorname {cc} =\operatorname {dd} =\operatorname {nn} =1$

Teoremas adicionales

Las funciones satisfacen dos relaciones algebraicas

\nombre del operador {cn} ^{2}+\nombre del operador {sn} ^{2}=1,

\nombre del operador {dn} ^{2}+k^{2}\nombre del operador {sn} ^{2}=1.

Se puede ver que ( , , ) parametriza la curva elíptica , que es la intersección de dos cuádricas definidas por las dos ecuaciones anteriores. Ahora podemos definir la ley de grupo para puntos en esta curva usando fórmulas adicionales para las funciones de Jacobi ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {cn}}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {sn}}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {dn}}$

\operatorname {cn} (x+y)={\frac {\operatorname {cn} (x)\,\operatorname {cn} (y)-\operatorname {sn} (x)\,\operatorname { sn} (y)\,\nombre del operador {dn} (x)\,\nombre del operador {dn} (y)}{1-k^{2}\,\nombre del operador {sn} ^{2}(x)\, \nombre del operador {sn} ^{2}(y)}},

\operatorname {sn} (x+y)={\frac {\operatorname {sn} (x)\,\operatorname {cn} (y)\,\operatorname {dn} (y)+\operatorname { sn} (y)\,\nombre del operador {cn} (x)\,\nombre del operador {dn} (x)}{1-k^{2}\,\nombre del operador {sn} ^{2}(x)\, \nombre del operador {sn} ^{2}(y)}},

\operatorname {dn} (x+y)={\frac {\operatorname {dn} (x)\,\operatorname {dn} (y)-k^{2}\,\operatorname {sn} ( x)\,\nombre del operador {sn} (y)\,\nombre del operador {cn} (x)\,\nombre del operador {cn} (y)}{1-k^{2}\,\nombre del operador {sn} ^{ 2}(x)\,\nombre del operador {sn} ^{2}(y)}}.

Funciones trigonométricas e hiperbólicas como caso especial de elíptica

si , entonces $metro=1$

u=\int \limits _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\theta ))))=\operatorname {ln } \left({\frac {1}{\cos \varphi }}-\operatorname {tg} \varphi \right).

De aquí

\sin \varphi =\operatorname {sn} \,u={\frac {e^{2u}-1}{e^{2u}+1}}=\operatorname {th} \,u.

De aquí

\operatorname {cn}\,u={\sqrt {1-\operatorname {sn}^{2}\,u}}={\frac {1}{\operatorname {ch}\,u}}

\operatorname {dn} \,u={\sqrt {1-\operatorname {sn} ^{2}\,u}}={\frac {1}{\operatorname {ch} \,u}} .

Así, en , las funciones elípticas degeneran en hiperbólicas . $metro=1$

si , entonces $metro=0$

u=\int \limits _{0}^{\varphi }d\theta =\varphi .

De aquí

\sin \varphi =\sin \,u=\operatorname {sn} \,u,

tanto como

\operatorname {cn} \,u=\cos \,u,

{\ estilo de visualización \ nombre del operador {dn} \, u = 1.}

Así, en , las funciones elípticas degeneran en funciones trigonométricas . $metro=0$

Relación entre los cuadrados de funciones

Para los cuadrados de estas funciones, las siguientes relaciones son verdaderas

-\operatorname {dn} ^{2}(u)+m_{1}=-m\;\operatorname {cn} ^{2}(u)=m\;\operatorname {sn} ^{2 }(u)-m,

-m_{1}\;\operatorname {nd} ^{2}(u)+m_{1}=-mm_{1}\;\operatorname {sd} ^{2}(u)=m\ ;\nombre del operador {cd} ^{2}(u)-m,

m_{1}\;\operatorname {sc} ^{2}(u)+m_{1}=m_{1}\;\operatorname {nc} ^{2}(u)=\operatorname {dc } ^{2}(u)-m,

\operatorname {cs} ^{2}(u)+m_{1}=\operatorname {ds} ^{2}(u)=\operatorname {ns} ^{2}(u)-m,

donde y . $m+m_{1}=1$ $m=k^{2}$

Se pueden obtener igualdades adicionales para los cuadrados observando que , y , donde , , son letras , , y . $\nombre del operador {pq}^{2}\cdot \nombre del operador {qp}^{2}=1$ $\nombre del operador {pq}=\nombre del operador {pr}/\nombre del operador {qr}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {p}}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {q}}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {r}}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {s}}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {c}}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {d}}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {n}}$ $\operatorname {ss} =\operatorname {cc} =\operatorname {dd} =\operatorname {nn} =1$

Nombre

Sea nom igual y sea el argumento . Entonces las funciones se pueden representar como sumas de Lambert $q=\exp(-\pi K'/K)$ $v=\pi u/(2K)$

\operatorname {sn} (u)={\frac {2\pi }{K{\sqrt {m))))\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^ {n+1/2}}{1-q^{2n+1}}}\sen(2n+1)v,

\operatorname {cn} (u)={\frac {2\pi }{K{\sqrt {m))))\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^ {n+1/2}}{1+q^{2n+1}}}\cos(2n+1)v,

\operatorname {dn} (u)={\frac {\pi }{2K}}+{\frac {2\pi }{K}}\sum _{n=1}^{\infty }{ \frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}\cos 2nv.

Soluciones a ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales

Las derivadas de las tres funciones elípticas básicas de Jacobi se escriben como:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {sn} \,(z;\;k)=\mathrm {cn} \,(z;\ ;k)\,\mathrm {dn} \,(z;\;k),

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {cn} \,(z;\;k)=-\mathrm {sn} \,(z; \;k)\,\mathrm {dn} \,(z;\;k),

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {dn} \,(z;\;k)=-k^{2}\mathrm {sn} \,(z;\;k)\,\mathrm {cn} \,(z;\;k).

Usando el teorema, cuya formulación se da arriba , para una ecuación dada ( ), cuyas soluciones son funciones elípticas de Jacobi: $k$ ${\ estilo de visualización 0<k<1}$

$\mathrm {sn} \,(x;\;k)$ es una solución a la ecuación y ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1+k^{2})y-2k^{2}y^ {3}=0$ $\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2 }y^{2});$

$\mathrm {cn} \,(x;\;k)$ es una solución a la ecuación y ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1-2k^{2})y+2k^{2}y^ {3}=0$ $\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2 }+k^{2}y^{2});$

$\mathrm {dn} \,(x;\;k)$ es una solución a la ecuación y ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2))}-(2-k^{2})y+2y^{3}=0$ $\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(y^{2}-1)(1-k^{2 }-y^{2}).$

Enlaces

Weisstein, Eric W. Jacobi Funciones elípticas (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Funciones elípticas (enlace descendente) - Procedimientos para Matlab

Literatura

Bobylev DK Integrales y funciones elípticas // Diccionario enciclopédico de Brockhaus y Efron : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - San Petersburgo. , 1890-1907.
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. eds. Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . — Nueva York: Dover, 1972. Véase el Capítulo 16

Akhiezer N. I. Elementos de la teoría de funciones elípticas (neopr.) . — M .: Nauka, 1970.

Watson J. N., Whittaker E. T. Curso de análisis moderno. Parte 2. Funciones trascendentes . - M . : Mir, 1963. (Ruso) o Moscú: URSS, 2010

Curvas

Definiciones

transformado

no plano

algebraica plana

Secciones cónicas

3er orden ( cúbico )

Elíptico	curva elíptica Funciones elípticas de Jacobi Integral elíptica Funciones elípticas
Otro	Verziera Agnesi hoja cartesiana Trisector de Maclaurin Chirnhaus Ofiurida estrofoides parábola semicúbica Tridente Cisoide de Diocles

4to orden

lemniscatas

Aproximación

Ranura
- B-spline
- Cúbico
- monospline
- Suavizado
- Perfecto
- hermita
Béziers

cicloidal

Otro

granja torcida

Plana
trascendental

Espirales	Arquímedov Granja galilea Hiperbólico "Varita mágica" Dorado clotoide logarítmico sinusoidal
cicloidal	trocoide Cicloide epitrocoide epicicloide hipotrocoide hipocicloide cuasitrocoide "Rosa" cuadrifolio Descenso rápido (braquistocrona, arco cicloide)
Otro	cuadratriz cocleoide Perseguir tractor trocoide línea de cadena arco invertido ancho constante sinusoide Ribokura Súper fórmula superelipse Triángulo de Reuleaux polígono figuras de lissajous

fractales

Simple	gilberto Gosper curva de dragón Koch Exacción Minkowski Peaño Sierpinsky
topológico	Servilleta Sierpinski alfombra sierpinski Esponja Menger fractal circular alfombra apolonio