Núcleo jackson

En la teoría de la aproximación , el núcleo de Jackson es una función periódica dada por la fórmula: $2\pi$

$d_{n}(t)=\gamma _{n}\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}} }}\derecho)^{4}$

Nombrado en honor a un científico que trabajó en la teoría de aproximaciones y polinomios trigonométricos - Dunham Jackson .

Esta función es un kernel , convolución con la que da una suma parcial de la serie de Fourier .

Constante del kernel de Jackson

La constante se determina a partir de la relación y es igual a $\gamma_n$ $\int \limits _{\mathbb {T} {d_{n}(t)dt}=1,\mathbb {T} =[-\pi ;\pi ]$ $\gamma _{n}={\frac {3}{2\pi n(2n^{2}+1)))$

Prueba

Usamos la igualdad de Parseval para el caso del espacio L 2 :

Si , entonces la siguiente identidad es verdadera: ${\ estilo de visualización f \ en \ mathbb {L} _ {2}}$ $\int \limits _{Q}{f^{2}}=\pi \left({\frac {a_{0}^{2}}{2}}+\sum \limits _{n= 0}^{\infty }{\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)}\right)$

Hay que sustituir en esta igualdad $f=\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{2}$

Primero, debe escribir una expresión para usar el kernel de Fejér y el kernel de Dirichlet : $\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{2}$

$\Phi _{n-1}(t)={\frac {1}{2\pi n}}\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\ sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{D_{ k}(t)}=$
$={\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{{\frac {1}{\pi }}\left({\frac {1 {2}}+\sum \limits _{j=1}^{k}{\cos {jt}}\right)}$

Resulta que

${\displaystyle \left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{2}=2\pi n {\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{{\frac {1}{\pi }}\left({\frac {1}{2} }+\sum \limits _{j=1}^{k}{\cos {jt}}\right)}=n+2\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\sum \limits _{j=1}^{k}{\cos {jt))))$

Intercambiando las dos sumas y aplicando la transformación apropiada para los índices, obtenemos:

$\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{2}=n+2\ suma \limits _{j=1}^{n-1}\sum \limits _{k=1}^{nj}{\cos {jt}}=n+\sum \limits _{j=1}^{ n-1}{(nj)\cos{jt}}$

Además, es obvio que los coeficientes del polinomio trigonométrico resultante serán los coeficientes de Fourier de su suma, es decir $a_{0}=2n,a_{k}=kj(0<k<n),a_{k}=0(k>n-1),b_{k}=0$

Solo queda sustituir estos coeficientes en la expresión correspondiente por la integral:

$\int \limits_{Q}{\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right) ^{4}}=\pi \left(2n^{2}+4\sum \limits _{j=1}^{n-1}{\left(nj\right)^{2}}\right) =\pi \left(2n^{2}+4\sum _{j=1}^{n-1}{j^{2}}\right)=\pi \left(2n^{2}+4 \left({\frac {n(n-1)(2n-1)}{6}}\right)\right)=$
$=\pi \left({\frac {12n^{2}+8n^{3}-12n^{2}+4n}{6}}\right)={\frac {2\pi n( 2n^{2}+1)}{3}}$
Entonces, sustituyendo en la identidad básica por el núcleo de Jackson, podemos obtener una expresión para la constante: Por lo tanto, se prueba la afirmación sobre la constante.
$\gamma _{n}={\frac {1}{\int \limits _{Q}{\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2))}{\sin { \frac {t}{2}}}}\right)^{4}}}}={\frac {3}{2\pi n(2n^{2}+1)))$

Véase también

Literatura

AVEfimov. Jackson Singular Integral (enlace no disponible) (2001). Consultado el 11 de octubre de 2010. Archivado desde el original el 2 de octubre de 2010. (indefinido)
A. Shadrin. Teoría de la aproximación – Conferencia 9 (Universidad de Cambridge - Departamento de Matemáticas Aplicadas y Física Teórica) (enlace inaccesible) (2005). Consultado el 11 de octubre de 2010. Archivado desde el original el 5 de junio de 2011. (indefinido)
Zhuk VV, Natanson G.I. Series trigonométricas de Fourier y elementos de la teoría de la aproximación. - L. : Editorial Leningrado. un-ta, 1983. - S. 188.
Bari N. K. Serie trigonométrica . - Moscú: Editorial Estatal de Literatura Física y Matemática, 1961. - P. 936 .
D. Jackson. La teoría de la aproximación. — Amer. Matemáticas. Soc., 1930.