Geometria alexander

La geometría de Alexander es un desarrollo peculiar del enfoque axiomático en la geometría moderna. La idea es reemplazar cierta igualdad en la axiomática del espacio euclidiano por una desigualdad.

Historia

La primera definición sintética de las restricciones de curvatura superior e inferior fue dada por Abraham Wald en su trabajo de pregrado escrito bajo la supervisión de Carl Menger . [1] Esta obra quedó en el olvido hasta los años 80.

Definiciones similares fueron redescubiertas por Aleksandr Danilovich Aleksandrov . [2] [3] También dio las primeras aplicaciones significativas de esta teoría, en particular a los problemas de empotrar y doblar superficies.

Herbert Busemann dio casi simultáneamente una definición estrechamente relacionada de espacios métricos de curvatura no positiva . [cuatro]

La investigación de Alexandrov y sus alumnos se llevó a cabo en dos direcciones principales:

Espacios bidimensionales con curvatura limitada desde abajo;
Espacios de dimensión arbitraria con curvatura acotada desde arriba.
- La hiperbolicidad en el sentido de Gromov es una extensión de esta teoría para espacios discretos. Tiene aplicaciones significativas en la teoría de grupos .

Los espacios de dimensión arbitraria con curvatura acotada por debajo comenzaron a estudiarse solo a fines de la década de 1990. El ímpetu de estos estudios fue el teorema de compacidad de Gromov . El trabajo seminal fue escrito por Yuri Dmitrievich Burago , Mikhail Leonidovich Gromov y Grigory Yakovlevich Perelman . [5]

Definiciones básicas

Un triángulo de comparación para un triple de puntos en un espacio métrico es un triángulo en el plano euclidiano con las mismas longitudes de lado; eso es ${\ estilo de visualización xyz}$ $X$ $[{\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}]$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {E} ^ {2}}$

{\begin{alineado}|{\tilde {x}}-{\tilde {y}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|xy|_{X},\\ |{\tilde {y}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|yz|_{X},\\|{\tilde {z}}- {\tilde {x}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|zx|_{X}.\end{alineado}}

El ángulo en el vértice en el triángulo de comparación se llama ángulo de comparación del triple y se denota . ${\ tilde x}$ $[{\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}]$ ${\ estilo de visualización xyz}$ ${\tilde {\ángulo medido}}(x\,_{z}^{y})$

En la geometría de Aleksandrov, los espacios métricos completos con métrica intrínseca se consideran con una de las dos desigualdades siguientes para 6 distancias entre 4 puntos arbitrarios. $X$

La primera desigualdad es la siguiente: para 4 puntos arbitrarios , considere un par de triángulos de comparación , y luego para un punto arbitrario , la desigualdad ${\ estilo de visualización x, y, p, q \ en X}$ $[{\tilde {x}}{\tilde {p}}{\tilde {q}}]$ $[{\tilde {y}}{\tilde {p}}{\tilde {q}}]$ ${\tilde {z}}\en [{\tilde {p}}{\tilde {q}}]$

|xy|_{X}\leq |{\tilde {x}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}+|{\tilde {y}} -{\tilde {z}}|_{\mathbb {E}^{2}}.

En este caso, se dice que el espacio satisface la -desigualdad. Un espacio completo que satisface la desigualdad se llama espacio de Hadamard . En el caso del cumplimiento local de esta desigualdad, se dice que el espacio tiene una curvatura no positiva en el sentido de Alexandrov . $\mathrm {CAT} [0]$ $\mathrm {CAT} [0]$

La segunda desigualdad es la siguiente: para 4 puntos arbitrarios , la desigualdad ${\ estilo de visualización p, x, y, z \ en X}$

{\tilde {\ángulo medido}}(p\,_{y}^{x})+{\tilde {\ángulo medido}}(p\,_{z}^{y})+{\tilde {\ángulo medido}}(p\,_{x}^{z})\leq 2\cdot \pi .

En este caso, se dice que el espacio satisface la -desigualdad, o se dice que el espacio tiene una curvatura no negativa en el sentido de Alexandrov . ${\ estilo de visualización \ matemáticas {CBB} [0]}$

Restricciones generales sobre la curvatura

En lugar del plano euclidiano, puede tomar el espacio : el modelo de plano de curvatura . Eso es ${\ estilo de visualización \ mathbb {M} [k]}$ $k$

${\ estilo de visualización \ mathbb {M} [0]}$ es el plano euclidiano ,
${\ estilo de visualización \ mathbb {M} [k]}$ cuando hay una esfera de radio , $k>0$ ${\ estilo de visualización 1/{\ sqrt {k))}$
${\ estilo de visualización \ mathbb {M} [k]}$ en es el plano de curvatura de Lobachevsky . $k<0$ $k$

Luego, las definiciones anteriores se convierten en definiciones de espacios CAT[k] y CBB [k] y espacios con curvatura y en el sentido de Alexandrov . ${\ estilo de visualización \ leq k}$ ${\ estilo de visualización \ geq k}$ $k>0$ ${\ estilo de visualización (xyz)}$

|xy|_{X}+|yz|_{X}+|zx|_{X}<2\cdot \pi /{\sqrt {k))

Teoremas básicos

El lema de Alexandrov es una afirmación técnica importante sobre los ángulos de comparación.

Teorema de pegado de Reshetnyak : permite construir espacios CAT(k) pegando espacios CAT(k) sobre conjuntos convexos.

El teorema de mayorización de Reshetnyak da una definición equivalente conveniente de espacios CAT(k).

El teorema de globalización para espacios CAT(k) es una generalización del teorema de Hadamard-Cartan .

El teorema de globalización para espacios CBB(k) es una generalización del teorema de comparación de Toponogov .

Notas

↑ Wald, A. Begründung eiiner Koordinatenlosen Differentialgeometrie der Flächen (alemán) // Ergebnisse eines mathematischen Kolloquium. - 1935. - Bd. 6 _ - S. 24-46 .
↑ Aleksandrov A. D. Geometría interna de superficies convexas. - Gostekhizdat, 1948.
↑ Alexandrov A. D. Un teorema sobre triángulos en un espacio métrico y algunas de sus aplicaciones // Tr. MIAN URSS. - 1951. - T. 38 . - S. 5-23 . (Ruso)
↑ Busemann, Herbert Espacios con curvatura no positiva. ActaMath. 80, (1948). 259–310.
↑ Yu. D. Burago, M. L. Gromov, G. Ya. Perelman. Espacios de Aleksandrov con curvaturas delimitadas por debajo // Uspekhi Mat. - 1992. - T. 47 , N° 2 (284) . - S. 3-51 . (Ruso)

Literatura

Burago D.Yu., Burago Yu.D., Ivanov S.V. Curso de geometría métrica. - 2004. - ISBN 5-93972-300-4 .
Lección 5, Geometría de Alexandrov
Serguéi Ivanov . Geometría Métrica y Espacios de Alexandrov . Lectorio ( 02.10.11 ). (indefinido)
Serguéi Ivanov . Geometría de los espacios de Alexandrov . Lectorio (07.04.17). (indefinido)
Anton Petrunin, videoconferencias de geometría de Alexander
Alejandro, Stephanie; Kapovitch, Vitali & Petrunin, Anton, Invitación a la geometría de Alexandrov: espacios CAT[0], arΧiv : 1701.03483 [math.DG].