Espacio euclidiano

El espacio euclidiano (también espacio euclidiano ) en el sentido original es un espacio cuyas propiedades están descritas por los axiomas de la geometría euclidiana . En este caso, se supone que el espacio tiene una dimensión igual a 3, es decir, es tridimensional .

En el sentido moderno, en un sentido más general, puede denotar uno de los objetos similares y estrechamente relacionados: un espacio vectorial real de dimensión finita con un producto escalar definido positivo introducido en él ; o un espacio métrico correspondiente a dicho espacio vectorial. Algunos autores equiparan el espacio euclidiano y el pre-Hilbert . En este artículo se tomará como inicial la primera definición. $\mathbb{R} ^{n}$

$norte$ El espacio euclidiano bidimensional se suele denotar ; la notación también se usa a menudo cuando está claro por el contexto que el espacio está provisto de una estructura euclidiana natural. ${\ estilo de visualización \ mathbb {E} ^ {n}}$ $\mathbb{R} ^{n}$

Formal definición

Para definir un espacio euclidiano, es más fácil usar la noción de un producto escalar como base . El espacio vectorial euclidiano se define como un espacio vectorial de dimensión finita sobre el campo de los números reales , en cuyos pares de vectores se da una función de valor real que tiene las tres propiedades siguientes: $(\cdot,\cdot),$

Linealidad: para cualquier vector y para cualquier número real , las relaciones son válidas ; ${\ estilo de visualización \ mathbf {u, v, w}}$ $a,b$ $(a\mathbf {u} +b\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=a\mathbf {(u,w)} +b\mathbf {(v,w)}$
Simetría: para cualquier vector, la igualdad es verdadera $tú, v$ $\mathbf {(u,v)=(v,u)} ;$
Definición positiva: para cualquier y ${\ estilo de visualización \ mathbf {(u, u)} \ geqslant 0}$ $tu,$ $\mathbf {(u,u)} =0\Flecha derecha \mathbf {u} =0.$

El espacio afín correspondiente a dicho espacio vectorial se denomina espacio afín euclidiano o simplemente espacio euclidiano [1] .

Un ejemplo de un espacio euclidiano es un espacio de coordenadas que consta de todos los conjuntos posibles de números reales donde el producto escalar se define mediante la fórmula $\mathbb {R} ^{n},$ $(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}),$ $\mathbf {(x,y)} =\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2 }+\cdots +x_{n}y_{n}.$

Longitudes y ángulos

El producto escalar dado en el espacio euclidiano es suficiente para introducir los conceptos geométricos de longitud y ángulo . La longitud de un vector se define como y se denota por [2] [3] La definición positiva del producto escalar garantiza que la longitud de un vector distinto de cero es distinta de cero, y de la bilinealidad se deduce que, es decir, el las longitudes de los vectores proporcionales son proporcionales. $tu$ ${\sqrt {\mathbf {(u,u)} }}$ ${\ estilo de pantalla | \ mathbf {u} |.}$ $|a\mathbf {u} |=|a||\mathbf {u} |,$

El ángulo entre los vectores y se define como Del teorema del coseno se deduce que para un espacio euclidiano bidimensional ( el plano euclidiano ), esta definición del ángulo coincide con la habitual . Los vectores ortogonales distintos de cero , como en el espacio tridimensional, se pueden definir como vectores en un ángulo , es decir, como vectores con un producto interno cero. ${\matemáticas x}$ ${\matemáticas}$ $\arccos \mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}} .$ ${\tfrac {\pi}{2)),$

Nota

Hay que aclarar que para que se defina el arcocoseno de , es necesario y suficiente que se satisfaga la desigualdad, que sí es cierta en un espacio euclidiano arbitrario: se llama desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky . De ahí, a su vez, se sigue la desigualdad triangular : La desigualdad triangular, junto con las propiedades de longitud anteriores, significa que la longitud del vector es una norma en el espacio vectorial euclidiano, y la función establece la estructura del espacio métrico . en el espacio euclidiano (esta función se llama la métrica euclidiana ). En particular, la distancia entre los elementos (puntos) y el espacio de coordenadas viene dada por la fórmula $\mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}}$ $\left|\mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}} \right|\leqslant 1.$ $\mathbf {|u+v|\leqslant |u|+|v|} .$ $d\mathbf {(x,y)} ,$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {|xy|},}$ ${\matemáticas x}$ ${\matemáticas}$ $\mathbb{R} ^{n}$ $d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{ i}-y_{i})^{2}}}.$

Propiedades algebraicas

Bases ortonormales

Una base ortonormal en el espacio euclidiano (vectorial) es una base que consta de vectores normativos unitarios ortogonales por parejas. Las bases ortonormales son las más convenientes para los cálculos. Así, por ejemplo, el producto escalar de vectores con coordenadas y en base ortonormal se puede calcular mediante la fórmula En todo espacio euclidiano, hay una base ortonormal. Eligiendo bases ortonormales en dos espacios euclidianos y trasladando una de ellas a la otra mediante un mapeo lineal , podemos probar que dos espacios euclidianos cualesquiera de la misma dimensión son isomorfos [4] (en particular, un espacio euclidiano -dimensional es isomorfo con el producto escalar estándar). $(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})$ $(b_{1},b_{2},\ldots,b_{n})$ $(a,b)=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}.$ $norte$ $\mathbb{R} ^{n}$

Proyecciones ortográficas

Se dice que un vector es ortogonal a un subespacio si es ortogonal a todos los vectores en ese subespacio. La proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio es un vector ortogonal tal que lo representamos en la forma donde La distancia entre los extremos de los vectores y es la distancia mínima entre las distancias desde el extremo del vector hasta subespacioel Las proyecciones ortogonales en espacios de alta dimensión se utilizan, por ejemplo, en el método de mínimos cuadrados . $X$ $tu$ $h,$ $tu,$ $X$ $u+h,$ $u\en U.$ $tu$ $X$ $X$ $tu$

Espacios duales y operadores

Cualquier vector del espacio euclidiano define un funcional lineal sobre este espacio, definido como Esta comparación es un isomorfismo entre el espacio euclidiano y su espacio dual [5] y permite identificarlos sin comprometer los cálculos. En particular, se puede considerar que los operadores adjuntos actúan sobre el espacio original, y no sobre su espacio dual, y los operadores autoadjuntos se pueden definir como operadores que coinciden con sus adjuntos. En una base ortonormal, la matriz del operador adjunto se transpone a la matriz del operador original, y la matriz del operador auto-adjunto es simétrica . $X$ $x^{*}$ $x^{*}(y)=(x,y).$

Movimientos del espacio euclidiano

Los movimientos espaciales euclidianos son transformaciones del espacio sobre sí mismo que conservan la métrica (también llamadas isometrías del espacio sobre sí mismo ). Un ejemplo de movimiento es una traslación paralela en un vector que convierte un punto en un punto . Es fácil ver que cualquier movimiento es una composición de traslación y transformación paralelas que mantiene un punto fijo. Al elegir un punto fijo como origen, cualquier movimiento de este tipo puede verse como una transformación ortogonal . Las transformaciones ortogonales de un espacio euclidiano n -dimensional forman un grupo, denotado por O( n ) . Eligiendo una base ortonormal en el espacio, este grupo se puede representar como un grupo de matrices n × n que satisfacen la condición , donde es la matriz transpuesta y es la matriz identidad . ${\mathbfv}$ ${\matemáticas p}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {p+v}}$ $Q^{\mathsf {T}}Q=E$ $Q^{\mathsf {T}}$ $mi$

Ejemplos

Buenos ejemplos de espacios euclidianos son los siguientes espacios:

$\mathbb {E^{1}}$ dimensiones ( línea real - por ejemplo, un eje numérico ); $una$
$\mathbb {E^{2}}$ dimensiones ( plano euclidiano ); $2$
$\mathbb {E^{3}}$ dimensiones ( espacio tridimensional euclidiano ). $3$

Ejemplo más abstracto:

el espacio de polinomios reales , cuyos grados no superan n , con un producto interior definido como la integral de su producto a lo largo de un segmento finito (o a lo largo de toda la línea, pero con una función de peso rápidamente decreciente, por ejemplo ). ${\mathcal {P}}^{n}$ $e^{-x^{2}}$

Ejemplos de figuras geométricas en el espacio euclidiano multidimensional:

poliedros multidimensionales regulares (por ejemplo , cubo N -dimensional , octaedro N - dimensional, tetraedro N -dimensional );
hiperesfera ;
hipertoro _

Definiciones relacionadas

La métrica euclidiana puede entenderse como la métrica descrita anteriormente, así como la métrica riemanniana correspondiente .

Euclideanidad local normalmente significa que cada espacio tangente de una variedad riemanniana es un espacio euclidiano con todas las siguientes propiedades, por ejemplo, la posibilidad (debido a la suavidad de la métrica) de introducir coordenadas en una pequeña vecindad de un punto en el que la distancia se expresa (hasta cierto orden) como se describe arriba.

Un espacio métrico también se llama localmente euclidiano si es posible introducir coordenadas en él en las que la métrica será euclidiana (en el sentido de la segunda definición) en todas partes (o al menos en una región finita) - que, por ejemplo, es una variedad de Riemann de curvatura cero.

Variaciones y generalizaciones

Si no usamos el campo de los números reales, sino el campo de los números complejos como campo principal , entonces esto dará la definición de un espacio unitario (o hermitiano) .

El rechazo del requisito de dimensionalidad finita da la definición de un espacio pre-Hilbert . El rechazo del requisito de definición positiva del producto escalar conduce a la definición del espacio pseudo-euclidiano . El requisito de que un espacio anterior a Hilbert sea métrico completo conduce a la definición de un espacio de Hilbert ; el espacio de sucesiones sumables al cuadrado es un espacio de Hilbert, que puede considerarse como el espacio de vectores con un número infinito de coordenadas.

Notas

↑ Gelfand, 1998 , pág. 35.
↑ Gelfand, 1998 , pág. 39.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , pág. 118.
↑ Shilov G. E. Introducción a la teoría de los espacios lineales. - M., L., Gostekhteorizdat, 1952. - p. 182
↑ Este resultado también es cierto para espacios pseudo-euclidianos y unitarios, para espacios de Hilbert es más complicado y se llama el teorema de Riesz .

Literatura

Gelfand I. M. Conferencias sobre álgebra lineal. - 5to. - M. : Dobrosvet, MTSNMO , 1998. - 319 p. — ISBN 5-7913-0015-8 .
Kostrikin A. I. , Manin Yu. I. Álgebra lineal y geometría. — M .: Nauka , 1986. — 304 p.
Vulikh BZ Introducción al análisis funcional. - M. : Fizmatlit, 1958. - 352 p. - 7500 copias.

Vectores y matrices

Vectores

Conceptos básicos	Vector en geometría Base base ortogonal Coordenadas vectoriales colinealidad ortogonalidad Dependencia lineal Espacio de columna
Tipos de vectores	Vector unitario vector axial vector isotrópico Normal colinealidad vector cero Vector de radio Vector propio
Operaciones sobre vectores	producto escalar producto vectorial producto mixto Producto pseudoescalar Producto cruzado doble
Tipos de espacio	espacio vectorial espacio afín espacio euclidiano Espacio pseudo-euclidiano espacio normado espacio minkowski

matrices

Conceptos básicos	Multiplicación de matrices matriz transpuesta Matriz conjugada hermítica Matriz simétrica matriz inversa valor propio Polinomio característico de una matriz
Matrices especiales	Matriz de identidad Matriz cero Matriz diagonal matriz lambda
Descomposiciones de matrices	descomposición LU Descomposición de Cholesky descomposición QR descomposición LUP valor singular de descomposición Descomposición espectral de una matriz

Otro

Dimensión del espacio
Espacios por dimensión	Cero-dimensional unidimensional 2D 3D cuatro dimensiones cinco dimensiones Sixdimensional Seven-dimensional octal Nueve dimensiones n-dimensional Dimensión negativa
Politopos y figuras	símplex hipercubo teseracto Hiperrectángulo (ortotopo) Semihipercubo politopo cruzado hiperesfera
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Otros conceptos dimensionales	Dimensión Krull Dimensión de Lebesgue Dimensión inductiva Dimensión fraccionaria (dimensión de Minkowski , dimensión de Hausdorff ) dimensión fractal Grados de libertad
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