Función exponencial integral

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Una función exponencial integral es una función especial , denotada por el símbolo . $\nombre del operador {Ei}$

Definición sobre el conjunto de los números reales

La siguiente definición es la más común (ver tabla): $\nombre del operador {Ei}$

$\operatorname {Ei} (x)=\mathrm {vp} \int \limits _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm { d} t=\gamma +\operatorname {ln} |x|+\sum \limits _{n\geq 1}{\frac {x^{n}}{n!\cdot n}},\;x\ en \mathbb {R} ,\;(1)$

donde es la constante de Euler . La integral en el sentido del valor principal en (1) tiene diferentes expansiones en serie para x positivo y negativo, lo que dificulta su continuación analítica al plano complejo [es decir, una generalización de (1) al caso de valores complejos de x]. Por esta razón, la definición (1) parece ser defectuosa; en cambio, es más apropiado usar [incompatible con (1)] $\gama$

Definición básica

Función exponencial integral : una función especial definida por la integral [1]

$\operatorname {Ei} (z)=\int \limits _{-\infty }^{z}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t=\ gamma +\nombre del operador {ln} (-z)+\sum \limits _{n\geq 1}{\frac {z^{n}}{n!\cdot n}},\;|\arg(-z )|<\pi ,\;(2)$

Al igual que la serie de la función exponencial, la suma infinita en (2) converge en cualquier punto del plano complejo. El resultado de la integración en (2) depende no solo de , sino también del camino de integración, es decir, está determinado por el número de veces que el camino de integración da la vuelta al punto , en la vecindad del cual el integrando en (2) es aproximadamente igual a . Por lo tanto, la función tiene varios valores y el punto singular es el punto de ramificación logarítmica . Como en el caso de la función logarítmica , la diferencia en los valores de las diversas ramas de la función (para un valor fijo ) es un múltiplo de . $z$ $t=0$ ${\ estilo de visualización 1/t}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Ei} (z)}$ $z=0$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {ln} z}$ $z$ $2\pi yo$

A continuación, consideraremos solo la rama principal (valor) correspondiente a la rama principal en (2). El corte convencional del plano complejo para (sobre el eje real negativo) corresponde al corte sobre el eje real positivo para la función . También arreglamos la rama principal del argumento: y luego supondremos que es una función analítica de un solo valor definida en todo el plano complejo, excepto por el corte a lo largo del eje real positivo. $\nombre del operador {Ei}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {ln}}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {ln} z}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Ei} (z)}$ $-\pi <\operatorname {arg} z\leq \pi$ $\nombre del operador {Ei}$

Ocurrencia en el cálculo de integrales $\nombre del operador {Ei}$

La integral de una función racional arbitraria multiplicada por el exponente se expresa en la forma final en términos de función y funciones elementales. [una] $\nombre del operador {Ei}$

Como un ejemplo simple de una integral que se reduce a una función exponencial integral, considere (suponiendo que ) $b>0$

$\int \limits _{0}^{+\infty }{\frac {e^{ibx}\mathrm {d} x}{x+iz))={\begin{casos}-e^{ bz}\nombre del operador {Ei} (-bz),&\nombre del operador {arg} z\not \in [\pi /2,\pi ],\\-e^{bz}\left[\nombre del operador {Ei} ( -bz)-2\pi i\right],&\operatorname {arg} z\in (\pi /2,\pi ).\end{casos}}\;(2)$

De (2) se sigue que para valores reales y $y$ $b$

$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x\cos bx\,\mathrm {d} x}{x^{2}+y^{2))}=-{ \frac {1}{2}}\left[e^{|by|}\operatorname {Ei} (-|by|)+e^{-|by|}\operatorname {Ei} _{1}(| por|)\derecha],\;(3)$

donde hay un supuesto. función exponencial integral modificada [1] : ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Ei} _ {1}}$

$\operatorname {Ei} _{1}(y)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {Ei} (y+i0)+\operatorname {Ei} (y-i0) \right]=\gamma +\operatorname {ln} y+\sum \limits _{n\geq 1}{\frac {y^{n}}{n!\cdot n}},\;y>0,\ ;\nombre del operador {Ei} _{1}(y)\in \mathbb {R} .\;(4)$

De hecho, (4) coincide con la función definida en (1) y, a menudo, la función se denota con el símbolo , lo que puede dar lugar a errores. ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Ei} _ {1}}$ $\nombre del operador {Ei}$

Al obtener el resultado (3), se utilizó el valor de la integral

$\int _{0}^{\infty }{\frac {x\sin bx\,\mathrm {d} x}{x^{2}+z^{2}}}={\frac { \pi }{2}}\nombre del operador {exp} [-bz\nombre del operador {signo} \Im z],\;b>0.$

La integral (3) se puede considerar como una función real de argumentos reales y . Es lógico exigir que tal función se exprese sólo en términos de valores reales. Este requisito justifica la introducción de un símbolo adicional [además del ya definido en (2) ] . $b$ $y$ $\nombre del operador {Ei}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Ei} _ {1}}$

El resultado (3) se puede generalizar fácilmente a valores complejos arbitrarios (excepto puramente imaginarios) del parámetro : $z$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {x\cos bx\,\mathrm {d} x}{x^{2}+z^{2))}=-{\frac {1}{2}}\left\{e^{bz}\nombre del operador {Ei} (-bz)+e^{-bz}\left[\nombre del operador {Ei} (bz)+\pi i\nombre del operador { sign} \Im z\right]\right\},\;b>0,\;\Re z\neq 0.\;(5)$

La fórmula (3) para y puede obtenerse introduciendo (5). $b>0$ $y>0$ $z=y\pm i0$

La integral (5) se puede encontrar en la página 320 del manual de Prudnikov [2] , sin embargo, la expresión dada allí solo es cierta para valores reales y siempre que se use la definición (1) para la función. $z$ $\nombre del operador {Ei}$

Cabe señalar que es peligroso confiar en los sistemas de álgebra computarizados comerciales para calcular tales integrales (especialmente para valores de parámetros complejos). Debido a la confusión con la notación (el uso del símbolo en lugar de ), tampoco se puede confiar plenamente en los libros de referencia. $\nombre del operador {Ei}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Ei} _ {1}}$

Véase también

Notas

↑ 1 2 3 Lebedev, N. N. Funciones especiales y sus aplicaciones . - 2. - 1963. (Ruso)
↑ Prudnikov A.P. , Brychkov Yu.A. , Marichev O.I. Integrales y series. - Ed. 2do. - M. : FIZMATLIT, 2003. - T. 1. - S. 320.561.622. — ISBN 5-9221-0323-7 .

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