Espacio H

H - espacio es una generalización del concepto de un grupo topológico de cierto tipo.

Definición

Espacio topológico conectado junto con un mapa continuo $X$

{\ estilo de visualización \ mu \ dos puntos X \ veces X \ a X}

con un solo elemento , es decir, un elemento tal que ${\ estilo de visualización e \ en X}$

{\ estilo de visualización \ mu (e, x) = \ mu (x, e) = x}

para cualquiera se llama espacio H. $x\en X$

A veces se restringen a la condición más débil que los mapeos y son homotópicos a la identidad (a veces con fijo ). $x\mapsto\mu(e,x)$ $x\mapsto\mu(x,e)$ ${\ estilo de visualización e \ en X}$
- Estas tres definiciones son equivalentes para los complejos CW .

Todo grupo topológico es un espacio H.
Para un espacio topológico arbitrario , el espacio de todas las aplicaciones continuas que son homotópicas a la identidad es un espacio H. $X$ ${\mathcal {H}}_{X}$ $X\a X$
- En este caso , se puede definir como una composición . $\mu \colon {\mathcal {H}}_{X}\times {\mathcal {H}}_{X}\to {\mathcal {H}}_{X}$ ${\ estilo de visualización \ mu (f, g) = f \ circ g}$

Entre las esferas , sólo , y son espacios H. Donde ${\ estilo de visualización \ mathbb {S} ^ {0}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {S} ^ {1}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {S} ^ {3}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {S} ^ {7}}$
- Cada uno de estos espacios forma un subconjunto de elementos de norma unitaria entre los números reales , los números complejos , los cuaterniones y los octoniones , respectivamente.
- ${\ estilo de visualización \ mathbb {S} ^ {0}}$ , y son
grupos de Lie , pero no. ${\ estilo de visualización \ mathbb {S} ^ {1}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {S} ^ {3}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {S} ^ {7}}$

Hatcher, Allen (2002), Topología algebraica , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0 , < http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html > . Sección 3.C