Cohomología Alexandrov-Cech

La cohomología de Alexandrov-Cech es una teoría de la cohomología basada en las propiedades de las cubiertas abiertas de un espacio topológico . Tal cohomología resulta conveniente en el estudio de espacios patológicos.

La idea de la construcción es que si la cubierta de un espacio está compuesta por conjuntos suficientemente pequeños, entonces la cohomología del nervio de la cubierta es una buena aproximación a la cohomología del propio espacio.

El nombre de Aleksandrov y Cech . Generalmente marcado con . ${\marcar {H}}^{*}$

Edificio

Sea un espacio topológico y sea una cubierta abierta de . Indicar por el nervio que cubre . $X$ ${\ matemáticas {V))$ $X$ $N_{\mathcal {V))$ ${\ matemáticas {V))$

Supongamos que la cubierta está inscrita en la cubierta , es decir, cualquier conjunto desde está contenido en algún conjunto desde . Elijamos un mapeo que se asocie con cada conjunto del conjunto que lo contiene de . Este mapeo induce el mapeo nervioso . El homomorfismo inducido de los anillos de cohomología no depende de la elección de . (Dado que estamos trabajando con complejos simpliciales, no importa qué teoría de cohomología elijamos). ${\ matemáticas {W}}$ ${\ matemáticas {V))$ ${\ matemáticas {W}}$ ${\ matemáticas {V))$ ${\ matemáticas {W}}$ ${\ matemáticas {V))$ $f\colon N_{\mathcal {W}}\to N_{\mathcal {V}}$ $f^{*}\colon H^{*}(N_{\mathcal {V)),G)\to H^{*}(N_{\mathcal {W)),G)$ $F$

Los anillos de cohomología con homomorfismos forman un sistema inverso. Esto hace posible ir al límite inverso $H^{*}(N_{\mathcal {V)),G)$ ${\ estilo de visualización f ^ {*}}$

{\check {H}}^{*}(X,G)=\varprojlim H^{*}(N_{\mathcal {V}},G).

El anillo resultante se denomina cohomología Cech del espacio con coeficientes en . ${\check {H}}^{*}(X,G)$ $X$ $GRAMO$

Relación con otras teorías de cohomología

Para espacios patológicos, la cohomología Cech puede diferir de la cohomología singular.
- Por ejemplo, si X es un círculo polaco , entonces , mientras que ${\check {H}}^{1}(X;\mathbb {Z} )=\mathbb {Z}$ $H^{1}(X;\mathbb {Z} )=0.$
Si X es una homotopía equivalente a un complejo CW , entonces la cohomología Cech es naturalmente isomorfa a la cohomología singular . ${\marcar {H}}^{*}(X;A)$ $H^{*}(X;A)$
Si X es una variedad suave , entonces la cohomología de Cech es naturalmente isomorfa a la cohomología de De Rham . ${\check {H}}^{*}(X;\mathbb {R} )$

Enlaces

Alexandrov P. S., “Ann. de Matemáticas, 1928, v. 30, pág. 101-87;
Sech E., "Fundam. matemáticas.", 1932, t. 19, pág. 149-83;
Bott, Raoul ; Loring Tu. Formas Diferenciales en Topología Algebraica (indefinido) . - Nueva York: Springer, 1982. - ISBN 0-387-90613-4 .
Hatcher, Allen Topología algebraica (indefinida) . - Prensa de la Universidad de Cambridge , 2002. - ISBN 0-521-79540-0 .
Wells, RaymundoAnálisis diferencial en variedades complejas . - Springer-Verlag , 1980. - ISBN 0-387-90419-0 . Capítulo 2 Apéndice A