Espacio K (topología)

k - espacio(generado de forma compacta) esun espacio topológicoen el que todos los conjuntos son cerrados, cuya intersección con cadasubconjuntocompactoA esto se añade a menudo espacio Hausdorff

Definición

Un espacio topológico se denomina espacio k si su topología es coherente con la familia de todos sus subespacios compactos, es decir, si se cumple una de las siguientes condiciones equivalentes para cada subconjunto: $X$ $A\subconjunto X$

Un conjunto es cerrado si y sólo si alguna de sus intersecciones con todo conjunto compacto es cerrada en este conjunto . $A$ $X$ $A\cap K$ $K\subconjunto X$ $k$
Un conjunto es abierto en si y sólo si cada intersección del mismo con todo conjunto compacto está abierta en este conjunto . $A$ $X$ $A\cap K$ $K\subconjunto X$ $k$

A menudo, se entiende que un espacio k significa solo espacios de Hausdorff que satisfacen la definición anterior.

Para los espacios de Hausdorff, se puede dar la siguiente definición equivalente de un espacio k : un espacio de Hausdorff es un espacio k si y solo si es la imagen de algún espacio de Hausdorff localmente compacto bajo el mapeo de factores (es decir, es homeomorfo a algún espacio cociente de un espacio de Hausdorff localmente compacto). $X$

Asignaciones en espacios k

Un mapeo de un espacio k en un espacio topológico arbitrario es continuo si y solo si cualquier restricción de este mapeo a un conjunto compacto es continua. $f\dos puntos X\a Y$ $X$ $Y$ $f|_{K}$ $k$

Un mapeo continuo de un espacio topológico arbitrario en un espacio k es cerrado ( abierto , cociente ) si y solo si, para cada subconjunto compacto del rango , la restricción de este mapeo es cerrada (respectivamente, abierto, cociente). $f\dos puntos X\a Y$ $X$ $Y$ $k$ $Y$ $f_{K}\dos puntos f^{{-1}}(K)\to K$

Si se dan dos mapeos factoriales y , cuyos dominios y y el producto de sus rangos son k - espacios, entonces el producto cartesiano de estos mapeos es un mapeo factorial. $f_{1}\dos puntos X_{1}\a Y_{1}$ $f_{2}\dos puntos X_{2}\a Y_{2}$ $X_{1}$ $X_{2}$ $Y_{1}\veces Y_{2}$ $f_{1}\times f_{2}\dos puntos X_{1}\times X_{2}\to Y_{1}\times Y_{2}$

Ahorro en operaciones

Todo subespacio abierto y todo subespacio cerrado de un k -espacio de Hausdorff es un k - espacio. Sin embargo, un subespacio arbitrario de un k -espacio de Hausdorff no necesita ser un k - espacio.

La suma de una familia de espacios topológicos es un k -espacio si y solo si todos los espacios de esta familia son k -espacios.

El producto de un espacio k de Hausdorff y un espacio de Hausdorff localmente compacto es un espacio k . Además, el producto de dos k -espacios no es, en general, un k -espacio.

La imagen de Hausdorff de un espacio k de Hausdorff bajo un mapeo factorial (en particular, abierto o cerrado) es un espacio k . Además, la imagen de un k - espacio de Hausdorff bajo un mapeo continuo arbitrario puede no ser un k -espacio, incluso si es perfectamente normal .

Relación con otras clases de espacios

Cada espacio Cech-completo (en particular, cada espacio de Hausdorff localmente compacto y, por lo tanto, cada variedad topológica ) es un espacio k .

Cada espacio secuencial (en particular, cualquier espacio con el primer axioma de contabilidad y, por lo tanto, cualquier espacio métrico ) es un espacio k .

Cualquier espacio de tipo contable puntual es un k - espacio.

Cada complejo CW es un espacio k .

Literatura

Engelking, R. Topología general. — M .: Mir , 1986. — 752 p.
Kelly, J. L. Topología general. — M .: Nauka, 1968.
Spanier, E. Topología algebraica. — M .: Mir , 1971. — 680 p.