k - espacio(generado de forma compacta) esun espacio topológicoen el que todos los conjuntos son cerrados, cuya intersección con cadasubconjuntocompactoA esto se añade a menudo espacio Hausdorff
Un espacio topológico se denomina espacio k si su topología es coherente con la familia de todos sus subespacios compactos, es decir, si se cumple una de las siguientes condiciones equivalentes para cada subconjunto:
A menudo, se entiende que un espacio k significa solo espacios de Hausdorff que satisfacen la definición anterior.
Para los espacios de Hausdorff, se puede dar la siguiente definición equivalente de un espacio k : un espacio de Hausdorff es un espacio k si y solo si es la imagen de algún espacio de Hausdorff localmente compacto bajo el mapeo de factores (es decir, es homeomorfo a algún espacio cociente de un espacio de Hausdorff localmente compacto).
Un mapeo de un espacio k en un espacio topológico arbitrario es continuo si y solo si cualquier restricción de este mapeo a un conjunto compacto es continua.
Un mapeo continuo de un espacio topológico arbitrario en un espacio k es cerrado ( abierto , cociente ) si y solo si, para cada subconjunto compacto del rango , la restricción de este mapeo es cerrada (respectivamente, abierto, cociente).
Si se dan dos mapeos factoriales y , cuyos dominios y y el producto de sus rangos son k - espacios, entonces el producto cartesiano de estos mapeos es un mapeo factorial.
Todo subespacio abierto y todo subespacio cerrado de un k -espacio de Hausdorff es un k - espacio. Sin embargo, un subespacio arbitrario de un k -espacio de Hausdorff no necesita ser un k - espacio.
La suma de una familia de espacios topológicos es un k -espacio si y solo si todos los espacios de esta familia son k -espacios.
El producto de un espacio k de Hausdorff y un espacio de Hausdorff localmente compacto es un espacio k . Además, el producto de dos k -espacios no es, en general, un k -espacio.
La imagen de Hausdorff de un espacio k de Hausdorff bajo un mapeo factorial (en particular, abierto o cerrado) es un espacio k . Además, la imagen de un k - espacio de Hausdorff bajo un mapeo continuo arbitrario puede no ser un k -espacio, incluso si es perfectamente normal .
Cada espacio Cech-completo (en particular, cada espacio de Hausdorff localmente compacto y, por lo tanto, cada variedad topológica ) es un espacio k .
Cada espacio secuencial (en particular, cualquier espacio con el primer axioma de contabilidad y, por lo tanto, cualquier espacio métrico ) es un espacio k .
Cualquier espacio de tipo contable puntual es un k - espacio.
Cada complejo CW es un espacio k .