Función K
La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 2 de noviembre de 2019; la verificación requiere 1 edición .La función K , generalmente denotada , es una generalización del hiperfactorial para números complejos , similar a cómo la función Gamma es una generalización del factorial .
Formalmente, la función K se define como
![K(z)=(2\pi )^{{(-z-1)/2}}\exp \left[{\begin{pmatrix}z\\2\end{pmatrix}}+\int _{0 }^{{z-1}}\ln(t!)\,dt\right].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4302d3c378d5cd4a16bbb2839841c5c81cbd5ac)
También se define en forma cerrada:
![K(z)=\exp \left[\zeta ^{\prime }(-1,z)-\zeta ^{\prime }(-1)\right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82fbdf9734f7e2a7e05c26bd0bf87f4423791115)
donde ζ'( z ) es la derivada de la función zeta de Riemann , ζ( a , z ) es la función zeta de Hurwitz, y
![\zeta ^{\prime }(a,z)\ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\ \left[{\frac {d\zeta (s,z)}{ds}} \right]_{{s=a}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff76d2f022a344cc7f5707de8ec29ecde8b1ded9)
La función K está relacionada con la función Gamma y con la función G de Barnes ; para números enteros n uno puede escribir:
También
Para argumentos positivos, toma el valor mínimo en el punto
