Grupo P

p -grupo - un grupo en el que el orden de cada elemento es una potencia de un número primo p .

Ejemplos

Grupo de orden cíclico y productos directos de dichos grupos. $pag^{n}$
- Todo grupo p conmutativo es isomorfo a uno de estos ejemplos.
El módulo del grupo de Heisenberg es el ejemplo más simple de un grupo p no conmutativo . $pags$
El grupo Grigorchuk es un ejemplo de un 2-grupo infinito.

Propiedades

El centro de un grupo p finito no trivial es un grupo no trivial. ${\ estilo de visualización Z (P)}$ $PAGS$
- En particular, todos los grupos p son nilpotentes .
- Además, si
un subgrupo normal en un grupo p , entonces . $H$ $PAGS$ $|H\cap Z(P)|>1$
- Esta propiedad se obtiene del teorema del centro si tenemos en cuenta que cualquier subgrupo de un p -grupo es en sí mismo un p -grupo y que un subgrupo normal es invariante bajo conjugaciones.

Si el grupo es finito, entonces su orden también es igual a alguna potencia de p (esto se deriva del primer teorema de Sylow ).

Además, cualquier grupo de orden es un grupo p (sigue del teorema de Legendre ). $pag^{n}$

Para , el número de grupos de orden no isomórfico es asintóticamente igual a

n\rightarrow\infty

pag^{n}

p^{{\frac {2}{27}}\cdot n^{3}+O(n)}

.

Véase también

Problema de Burnside

Literatura

Kurosh A. G. Teoría de grupos . - 3ra ed. — M.: Nauka , 1967. — 648 p. — ISBN 5-8114-0616-9 . (Ruso)
Salón M. Teoría de grupos. - M.: Editorial de literatura extranjera, 1962.
Gorenstein D. Grupos finitos - NY: Harper and Row, 1968.