Grupo de grigorchuk

El grupo de Grigorchuk es el primer ejemplo de un grupo de crecimiento intermedio generado finitamente (es decir, su crecimiento es más rápido que el polinómico, pero más lento que el exponencial).

Un ejemplo fue construido por Grigorchuk , el crecimiento intermedio fue probado por él en su artículo de 1984 [1] [2] . Esto respondió a la pregunta de Milnor , formulada en 1968 [3] .

Edificio

Un grupo se construye a través de su acción sobre un árbol binario completo infinito.

Árbol binario completo infinito

Considere un infinito árbol binario completo con raíces T 2 y sus automorfismos . Este árbol es isomorfo a cualquiera de sus subárboles, por lo que cualquiera de sus automorfismos se puede aplicar a cualquier subárbol.

Cada vértice del árbol T 2 puede ser etiquetado por un elemento del conjunto Σ * de todas las cadenas finitas del alfabeto Σ = {0,1}, incluida la cadena vacía Ø. La cadena vacía Ø corresponde al nodo raíz T 2 . La etiqueta del hijo izquierdo de cada nodo se obtiene sumando 0, la derecha - 1.

Cualquier automorfismo del árbol T 2 conserva el camino desde el nodo raíz a cualquier otro y no mueve ningún nodo de un nivel a otro. El cumplimiento de estas propiedades es suficiente para que una permutación del conjunto de vértices del árbol sea un automorfismo del árbol. Por lo tanto, el grupo de todos los automorfismos Aut( T 2 ) corresponde al grupo de todas esas permutaciones σ del conjunto de cadenas Σ * que conservan la longitud de la cadena (es decir, la longitud x debe ser igual a la longitud σ ( x ) ) y preservar la relación "segmento inicial de la cuerda" (es decir, si la cuerda x es el segmento inicial de la cuerda y , entonces σ ( x ) es el segmento inicial de σ ( y )).

Formativos

El grupo Grigorchuk G se define como un subgrupo del grupo Aut( T 2 ) generado por ciertos cuatro elementos a, b, c, d , es decir . $G=\langle a,b,c,d\rangle <\mathrm {Aut} (T_{2})$

En términos de conversión de cadenas que constan de 0 y 1, los automorfismos a, b, c, d se definen recursivamente de la siguiente manera:

un (0 x ) = 1 x , un (1 x ) = 0 x ;
b (0 x ) = 0 a ( x ), b (1 x ) = 1 c ( x );
c (0 x ) = 0 a ( x ), c (1 x ) = 1 d ( x );
re (0 x ) = 0 x , re (1 x ) = 1 segundo ( x )

para cada x en Σ*. Por ejemplo:

un (11101) = 01101
b (11101) = 1 c (1101) = 11 d (101) = 111 b (01) = 1110 a (1) = 11100
c (11101) = 1 d (1101) = 11 b (101) = 111 c (01) = 1110 a (1) = 11100
re (11101) = 1 b (1101) = 11 c (101) = 111 re (01) = 11101

En términos de transformación de árbol binario, el elemento a intercambia los subárboles izquierdo y derecho del árbol sobre el que actúa. Los elementos restantes actúan por separado en cada uno de estos dos subárboles, estos elementos se pueden representar recursivamente en pares (los dos elementos del par corresponden a la acción en los subárboles izquierdo y derecho):

b = ( un , c ),
c = ( un , re ),
re = ( 1 , segundo ).

Aquí b = ( a , c ) significa que b no cambia la raíz T 2 , actúa en el subárbol izquierdo como a , y en el derecho como c . Aquí 1 denota el mapeo de identidad .

En una representación no recursiva, la acción de los elementos b , c , d se ve así: comenzando desde la raíz, nos movemos hacia abajo, eligiendo el hijo correcto en cada paso; al mismo tiempo, la operación a se aplica cada vez al subárbol izquierdo (intercambiando dos de sus subárboles), excepto cada tercer paso, comenzando desde el tercer, segundo y primer paso para b , c y d , respectivamente [4] .

Propiedades del generador

A continuación se presentan las principales consecuencias de esta construcción [5] .

Cada uno de los elementos a, b, c, d tiene orden 2 en G.
Los elementos b, c, d conmutan en pares, y bc = cb = d, bd = db = c, dc = dc = b .
- En particular, es un grupo abeliano de orden 4; es isomorfo al producto directo de dos grupos cíclicos de orden 2. ${\ estilo de visualización \ langle b, c, d \ rangle}$
El grupo G es generado por a y dos cualesquiera de los tres elementos b, c, d (por ejemplo, ). $G=\langle a,b,c\rangle$
En la notación recursiva anterior . $aba=(c,a),\aca=(d,a),\ada=(b,1)$
El estabilizador St G [1] en G es el subgrupo generado por b, c, d, aba, aca, ada . El subgrupo St G [1] es un subgrupo normal de índice 2 en G , y G = StG [ 1] a StG [ 1]. $\sqcup$
Cada elemento de G se puede escribir como una palabra (positiva) de letras a, b, c, d sin subpalabras de la forma aa, bb, cc, dd, cd, dc, bc, cb, bd, db .
- Tales palabras se llaman abreviadas .
- “Palabra positiva” aquí significa que no hay elementos a −1 , b −1 , etc.
Una palabra abreviada es un elemento del estabilizador St G [1] si y solo si esta palabra incluye un número par de ocurrencias de a .
Si w es una palabra abreviada de longitud par con un número par positivo de ocurrencias a , entonces hay algunas palabras u, v escritas como a, b, c, d (no necesariamente abreviadas) tales que G tiene w = (u, v ) y | tu | ≤ | w |/2, | v | ≤ | w |/2.
- Si w es una palabra abreviada de longitud impar con un número par positivo de ocurrencias de a , entonces esta afirmación también es verdadera, pero las desigualdades toman la forma: | tu | ≤ (| w | + 1)/2, | v| ≤ (| w | + 1)/2.

La última propiedad juega un papel clave en muchas demostraciones, ya que permite el uso de la inducción sobre la longitud de una palabra.

Propiedades

El grupo G es infinito. [2]
El grupo G es residualmente finito . [2]
El grupo G es un grupo de 2 , es decir, cada elemento en G tiene un orden finito , que es una potencia de 2. [1]
El grupo G tiene una altura intermedia . [2]
- En particular, el grupo G es susceptible . [2]
- Grigorchuk demostró que el crecimiento del grupo G , , se encuentra entre y . ${\ estilo de visualización \ gamma (n)}$ $\exp n^{s_{1)),\ s_{1}=1/2$ $\exp n^{s_{2}},\ s_{2}=\log _{32}31\aproximadamente 0{,}991$
- Posteriormente se encontró el valor exacto del exponente en el exponente en : donde es la raíz real del polinomio [6] . $norte$ ${\ estilo de visualización \ gamma (n)}$ $\lim _{n\to \infty }{\frac {\log \log \gamma (n)}{\log n))=1/\log _{2}x\approx 0,7674$ $X$ ${\ estilo de visualización x^{3}-x^{2}-2x-4}$
Todo grupo cociente G por un grupo normal no trivial es finito.
Todo subgrupo generado finitamente está cerrado en la topología pro-finita en G . [7]
Cada subgrupo máximo en G tiene un índice finito . [ocho]
El grupo G es finitamente generado, pero no finitamente dado . [2] [9]
El centralizador de un elemento se genera finitamente si y solo si el elemento es conjugado con el elemento generador "a" [10]
Los índices de los miembros de la fila central inferior están delimitados desde arriba por el número 4 [11]
Se encontraron ejemplos de subgrupos localmente finitos máximos, resultaron ser infinitos [12]

Véase también

Referencias

↑ 1 2 R. I. Grigorchuk, "Sobre el problema de Burnside en grupos periódicos" Archivado el 25 de enero de 2021 en Wayback Machine , Funct. análisis y sus aplicaciones, 14:1 (1980), 53-54
↑ 1 2 3 4 5 6 R. I. Grigorchuk, "Grados de crecimiento de grupos generados finitamente y la teoría de las medias invariantes" Archivado el 20 de septiembre de 2016 en Wayback Machine , Izv. Academia de Ciencias de la URSS. Ser. Mateo 48:5 (1984), 939-985
↑ John Milnor, Problema núm. 5603, Revista Matemática Estadounidense , vol. 75 (1968), págs. 685-686.
↑ Rostislav Grigorchuk, Igor Pak. Grupos de crecimiento intermedio: una introducción : [ ing. ] // L'Enseignement Mathematique. - 2008. - Vol. 54. - Pág. 251-272. — arXiv : matemáticas/0607384 . -doi : 10.5169 / sellos-109938 .
↑ Pierre de la Harpe. Temas de teoría de grupos geométricos. Conferencias de Chicago en Matemáticas. Prensa de la Universidad de Chicago, Chicago. ISBN 0-226-31719-6 ; cap. VIII, El primer grupo de Grigorchuk, pp. 211–264.
↑ Anna Erschler y Tianyi Zheng. Crecimiento de grupos periódicos de Grigorchuk // Inventiones mathematicae. - 2020. - Vol. 219.—Pág. 1069–1155. -doi : 10.1007/ s00222-019-00922-0 .
↑ RI Grigorchuk y JS Wilson. Una propiedad estructural relativa a la conmensurabilidad abstracta de subgrupos. Archivado el 24 de mayo de 2011 en Wayback Machine Journal of the London Mathematical Society (2), vol. 68 (2003), núm. 3, págs. 671–682.
↑ E. L. Pervova. En todas partes subgrupos densos de un grupo de automorfismos de árboles // Tr. MIAN. - 2000. - T. 231. - S. 356-367.
↑ I. G. Lysenok, "El sistema de definición de relaciones para el grupo Grigorchuk" Copia de archivo del 13 de febrero de 2018 en Wayback Machine , Mat. notas, 38:4 (1985), 503-516
↑ AV Rozhkov. Centralizadores de elementos en un grupo de automorfismos de árboles // Izv. CORRIÓ. Ser. estera .. - 1993. - T. 57 , No. 6 . - S. 82-105 . Archivado el 26 de octubre de 2020.
↑ AV Rozhkov. Serie central inferior de un grupo de automorfismos de un árbol // Matemáticas. notas .. - 1996. - T. 60 , No. 2 . — S. 225-237 . Archivado desde el original el 23 de julio de 2018.
↑ AV Rozhkov. Subgrupos máximos localmente finitos en el grupo Grigorchuk // Matemáticas. notas .. - 1998. - T. 63 , No. 4 . — S. 617–624 . Archivado el 25 de noviembre de 2020.